Dr. José Guzmán Hernández Departamento de Matemática Educativa Cinvestav-IPN jguzman@cinvestav.mx

1. Reflexiones en torno al uso de la tecnología como recurso didáctico: énfasis en la resolución de problemas Dr. José Guzmán Hernández Departamento de Matemática Educativa Cinvestav-IPN jguzman@cinvestav.mx

2. Introducción En el ambiente educativo, existen tres puntos de vista respecto al uso de la tecnología en la resolución de problemas: • contra de su uso, porque se considera que inhibe el aprendizaje de quien los resuelve; • un entusiasmo desbordado de su uso, pues se cree que la tecnología juega un papel fundamental en el aprendizaje de conceptos; • la tecnología debe ser usada sólo con fines de cálculo. ¿Cuál es la influencia que tienen los profesores, investigadores y autoridades educativas en la promoción implícita o explícita de estos puntos de vista?

3. Resolución de problemas Uno de los primeros enfoques de la enseñanza de las matemáticas, en un ambiente de resolución de problemas, fue dado por G. Polya en su libro “Howtosolveit” (1945), donde expone un modelo para el desarrollo de habilidades de los estudiantes en la resolución de problemas. habilidad: capacidad y disposición para hacer algo (DRAE, 2001) Fases a considerar en la resolución de problemas (Polya, 1945): a) comprensión, b) diseño de un plan de solución, c) ejecución del plan y d) visión retrospectiva.

4. Resolución de problemas A partir del modelo de Polya, se produjeron nuevos acercamientos. Estos fueron centrados en el análisis de estrategias y heurísticas del estudiante (Mason, 1982; Schoenfeld, 1985; Santos, 2002). Estrategia: conjunto de reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento (DRAE, 2001) Heurística: manera de buscar la solución de un problema mediante métodos no rigurosos, por ejemplo: tanteo, reglas empíricas (DRAE, 2001).

5. Resolución de problemas A pesar de que la didáctica de las matemáticas había progresado en sus reflexiones teóricas en la década de los ochenta, tenía poca influencia en los profesores de matemáticas. Por ejemplo, el NCTM en su Yearbook de 1988 (Can your algebra class solve this?), propuso 30 problemas puramente algebraicos que no propiciaban ni la articulación entre representaciones, ni el uso de tecnología. Las versiones posteriores de los Estándares del NCTM están mejor articuladas. Por ejemplo, los Estándares del año 2000.

6. Resolución de problemas La enseñanza tradicional (clase magistral) de las matemáticas da prioridad a la representación algebraica y otorga un valor mínimo a otras representaciones de un mismo concepto. He aquí un ejemplo clásico: Problema. Determina todos los valores reales de x tales que

7. La representación algebraica prioritaria en la enseñanza tradicional a) Una estrategia para resolverlo es dividir el problema en partes, analizando: cuando b) cuando c) En este problema se solicita al estudiante un trabajo de tipo algebraico

8. Resolución de problemas ¿Qué es un ejercicio y qué es un problema? Ejercicio: Cuando la lectura de un enunciado matemático induce el recuerdo de un procedimiento a seguir para resolverlo, se puede decir que se trata de un ejercicio. Esta clasificación no es del todo rigurosa, pues depende del nivel educativo del estudiante. Por ejemplo, para un estudiante de bachillerato calcular la derivada de una función puede ser un ejercicio, pero no para un estudiante de secundaria.

9. Resolución de problemas ¿Qué es un problema? Si un enunciado no implica el uso determinado de un procedimiento, y la lectura del mismo obliga a la construcción de representaciones particulares internas que permitan realizar una conexión con el enunciado, y a través de tratamientos particulares de esas representaciones y de conversiones entre representaciones se llegue a la solución, entonces a eso se le llama un problema.

10. Uso de la tecnología en la educación El uso de la tecnología con fines didácticos: ¿qué papel desempeña el uso de la tecnología en la construcción de conceptos? ¿Qué es un concepto? ¿Cómo aprender conceptos? Algunas opiniones de expertos, respecto al enfoque de la enseñanza y el aprendizaje de conceptos matemáticos mediante la resolución de problemas; mediado por la utilización de la tecnología.

11. Opinión de autoridades académicas • La mayoría de los conceptos o generalizaciones se pueden introducir eficazmente mediante un problema que ayude a los alumnos a considerar aspectos importantes de estas ideas para ser generalizados. Por ejemplo, el profesor puede empezar preguntando, ¿cómo calcularías el volumen de una esfera de 10 cm de radio? En lugar de decir: “recuerden que el volumen de una esfera…” NCTM (2000/2002, p. 341) • Una cita interesante: “Enseñar es en sí misma una actividad de resolución de problemas”. (NCTM, 2000/2002, p. 347)

12. Opinión de los investigadores Guin & Trouche (1999, pp. 195-196): "no más de 15% de los profesores incluyen calculadoras gráficas en su enseñanza, a pesar del hecho de que todos los estudiantes tienen una calculadora gráfica en las clases científicas [nivel pre-universitario]. Los profesores tienen una tendencia a oponerse, incluso a la integración de nuevas tecnologías a nivel elemental." ¿Qué tipo de problemas podemos resolver usando CAS? Por ejemplo, la calculadora TI_92 Plus u otra similar. Con este tipo de herramienta ¿cómo debe cambiar la enseñanza de las matemáticas?

13. Opinión de los investigadores Guin & Trouche (1999, p. 197): A dos grupos de 50 estudiantes (pre-universitarios) se les solicitó calcular el siguiente límite: Con calculadora: 10% de éxito Sin calculadora: 90% de éxito

14. Opinión de los investigadores Tall (2000, p. 213): A dos grupos de estudiantes (pre-universitarios) se les solicitó proporcionar una explicación conceptual de: Grupo DERIVE: 0% de éxito Grupo No-DERIVE: 100% de éxito

15. Pensamiento divergente y tecnología Pensamiento divergente o pensamiento creativo: es la generación de nuevas ideas o conceptos, o de nuevas asociaciones entre ideas y conceptos conocidos, que habitualmente producen soluciones originales (Wikipedia). Algunos profesores e investigadores utilizan viejos problemas y los resuelven en ambientes tecnológicos. Por ejemplo:dadas dos rectas no paralelas y un punto p sobre una de ellas, muestre cómo construir, usando regla y compás, una circunferencia tangente a ambas rectas y que tengan a p como punto de tangencia. (Schoenfeld, 1985) La pregunta es: ¿qué tipos de problemas podemos utilizar, de manera que estos potencien el uso de la tecnología? ¿Cómo podemos plantearlos de modo que no sea trivial resolverlos usando tecnología?

16. Continuación… • Con el uso de la tecnología, para resolver problemas, ¿debemos olvidar las técnicas usuales de lápiz y papel para resolverlos? • ¿Cómo podemos aprovechar el efecto sorpresa que produce en los estudiantes cuando resuelven problemas usando algún CAS? • Ejemplos que pueden llevar al estudiante a reflexiones teóricas al momento de resolver problemas algebraicos usando la calculadora TI-92 Plus u otra similar.

17. Conclusiones • Debemos aprovechar todos los recursos disponibles en el salón de clases, de modo que podamos resolver los problemas propuestos de forma óptima. • No es pertinente menospreciar las soluciones de los estudiantes, pues con frecuencia ellos dan pistas interesantes que pueden conducir a reflexiones teóricas profundas en el campo de las matemáticas. • No pensemos que la tecnología resuelve todos nuestros problemas; lo interesante es cómo plantearlos de manera que susciten interés en los estudiantes para resolverlos.

18. Continuación • ¿Qué ventajas da el uso de la tecnología para resolver problemas comparada con las técnicas usuales de papel y lápiz? • ¿Qué hacer con la enseñanza de los algoritmos en las aulas de clase ahora que los CAS lo hacen casi de manera automática? • ¿Qué sucede con los problemas rutinarios si los resolvemos con alguna herramienta tecnológica? • ¿Debemos pensar en unas nuevas matemáticas? Si la respuesta es afirmativa, ¿de qué tipo serían? Si la respuesta es negativa, ¿por qué?

19. Gracias