Aula 09

1. Aula 09

2. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

3. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação y y tyz tzx sz ttz trz sz x x z z

4. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem na direção tangencial (t) - cortante atua no plano r-t. Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t. r y sz tensões na seção transversal plano da superfície do contorno tzt trz trt x trz tzt sz z z ttr ttz tzr plano da seção longitudinal plano da seção transversal t

5. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na seção transversal, as tensões de cisalhamento são tangenciais ao contorno. y sz ttz tzt x plano da seção longitudinal r z

6. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de sz As deformações provocadas pelo esforço cortante são muito inferiores às provocadas pelo momento fletor. Desprezando essas deformações e considerando como na Flexão Pura

7. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : y A tensão de cisalhamento ttz, na seção transversal, decompõe-se e tzx e tyz. y Vy Devido à simetria, tzx Mx qy x tyz y e x Mx+dMx Vy Mx Vy+dVy As tensões tzx são de baixo valor e autoequilibradas; as tensões tyz resultam em Vy dz

8. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Componente tyz sz sz+dsz qy y tzy tzy Mx+dMx z by dz Vy Mx Vy+dVy dz

9. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Componente tyz y A* y* y x by

10. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Componente tyz y Igualando (1) e (2): A* y* y x by Fórmula de Zhuravski

11. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Simétricas em relação ao plano de carregamento : Perfis Abertos e Fechados y Fórmula de Zhuravski: Nestes casos, como a tensão é sempre tangencial ao contorno, a fórmula de Zhuravski fornece a tensão resultante tz. A* y* tz tz y x t t na direção da LM by=2t

12. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: Nestes casos, as tensões de cisalhamento resultam num binário em torno de z. A solicitação torna-se uma flexo-torção. y My Para que não haja momento torsor, é necessário que o plano de carregamento (plano de ação do esforço cortante resultante) seja tal que provoque um momento que venha a equilibrar aquele provocado pelas tensões devidas ao cortante. Vy Vx Mx x T

13. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: O novo ponto de aplicação das componentes do esforço cortante chama-se Centro de Cisalhamento da seção. y My Reduzindo, assim, os esforços ao CG da seção, o momento torsor se anula. Vy xc yc x xc e yc são as coordenadas do CC. CC Vx Mx Dentre as seções usuais as mais recorrentes são as dos Perfis Abertos.

14. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação de ttz Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento: Perfis Abertos: y Para o caso geral VxK0 e VyK0, t ds dF r Vy é o fluxo cisalhante. Vx x CG

15. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos onde S é o comprimento da LM da seção. y t ds dF r Vy Vx x CG

16. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos y t Se T = 0, não haverá torção na seção. ds dF r O momento torsor somente será nulo se Vx e Vypassarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC. Vy Vx x CG

17. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos y t ds Se T = 0, não haverá torção na seção. CC yc xc dF O momento torsor somente será nulo se Vx e Vypassarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC. Vy x CG Vx r

18. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos y t ds dF CC Vy yc xc Estas integrais serão resolvidas por partes, com base em uma mudança de variáveis. x CG Vx r

19. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Seja P um ponto qualquer contido no plano da seção transversal do perfil e O e A pontos quaisquer da linha média da seção. y Se O é a origem a partir da qual se mede a variável s sobre a linha média e r a distância do ponto P ao ponto A, define-se área setorial do ponto A como O A ds r s x P O ds A

20. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Área Setorial w de um ponto da Linha Média: O conceito de área setorial de um ponto depende, portanto, dos pontos arbitrários O e P. y O A ds r O é a origem e P o pólo. x P é a variação da área setorial e equivale ao dobro da área do triângulo infinitesimal de base ds e altura r. O s ds A

21. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Área Setorial w de um ponto da Linha Média: Assim, a área setorial do ponto A da linha média é o dobro da área varrida pelo raio-vetor PO, a partir da origem O até o ponto A. y O A ds r x O P A w = 2* Área POA O s ds A P

22. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Área Setorial w de um ponto da Linha Média: Convenção de Sinais: y O A ds r dw < 0 dw > 0 x O A P A O O s ds A P P

23. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Área Setorial w de um ponto da Linha Média: O gráfico wxsé chamado Diagrama de Áreas Setoriais y O A y ds O r (+) s Observar que, na origem, x P w = 0. O x s P (-) w ds A

24. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Área Setorial w de um ponto da Linha Média: y y O A A' ds r ds dy A B x P y O s P x x dx ds A

25. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Área Setorial w de um ponto da Linha Média: y y O A A' ds r ds dy A B x P y O s P x x dx ds A

26. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Variação da Área Setorial com a Origem: y e O A ds onde s0 é a distância O1O2. r s1 O1 s0 s2 O2 Logo, x P onde = constante ds A

27. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Variação da Área Setorial com a Origem: y O A ds r Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da linha média. x P A diferença entre as áreas setoriais de um mesmo ponto é constante para todos os pontos. s1 O1 s0 s2 O2 ds A

28. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Variação da Área Setorial com o Pólo: P2 y a b O A ds r y2 y1 x1O y1O x y2 P1 A O y1 x1 a x2 x2 P2 b P1 x1

29. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Variação da Área Setorial com o Pólo: P2 y a b O A ds r y2 y1 x1O y1O ou x y2 P1 A O y1 x1 a x2 x2 P2 b P1 x1

30. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Variação da Área Setorial com o Pólo: P2 y a b O A ds r y2 y1 Alterando-se o pólo, a área setorial de um ponto varia com sua posição relativa à origem. x1O y1O x y2 P1 A O y1 x1 a x2 x2 P2 b P1 x1

31. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Propriedades Geométricas Setoriais: Momento Estático Setorial: y O A ds r y x ds P t r x

32. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Propriedades Geométricas Setoriais: Momentos Setoriais Lineares: y O A ds r y x ds P t r x

33. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Propriedades Geométricas Setoriais: Momento de Inércia Setorial: y O A ds r y x ds P t r x

34. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Propriedades Geométricas Setoriais: Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM. y O A ds r Logo, para cada pólo arbitrado, haverá uma origem tal que Sw = 0. x A área setorial calculada com base nesta origem é dita Área Setorial Principal. P Se o pólo é o CG da seção, a área setorial é dita Área Setorial Central Principal.

35. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Como visto, o momento torsor resultante da ação dos esforços cortantes é determinado por y t ds CC dF r yc xc Vy Este momento será nulo se Vx x CG

36. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Estas integrais serão resolvidas por partes, a partir da seguinte mudança de variável: y t ds e CC dF r yc xc Vy Vx x CG

37. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Assim, y t ds CC dF r yc xc onde e Vy Vx x CG Logo, e

38. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Substituindo estes valores na integral, 0 y* y t ds CC dF r yc xc Vy Vx x CG Logo, e

39. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Desta forma, y ou t ds CC y* dF r yc xc Vy Analogamente, Vx x CG

40. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Conclusão: o momento torsor gerado pelos esforços cortantes vale: y t ds CC y* dF r yc xc Vy Vx x CG e somente será nulo se

41. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Para que os momentos setoriais lineares sejam nulos, é necessário escolher o pólo adequadamente. y Para tanto, toma-se inicialmente o CG como pólo, e determina-se os momentos setoriais lineares Iwx e Iwy. t ds CC y* dF r yc xc Por meio de mudança de pólo, determina-se os novos momentos setoriais lineares que devem, por sua vez, ser nulos. Este novo pólo é o CC e por ele devem passar Vx e Vy. Vy Vx x CG

42. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos A área setorial para um novo pólo será: y onde t ds w é a área setorial tomando o CG como pólo, dF CC Vy xc e yc são as coordenadas do novo pólo e yc xc xO e yO as coordenadas da origem arbitrária. x CG Vx r

43. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos O momento setorial linear Iwxc será, então: y t ds Desenvolvendo-se esta expressão, tem-se: dF CC Vy yc xc x CG Vx r

44. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Como x e y são os eixos centrais principais, y t ds Assim, dF CC Vy yc xc x CG Vx Analogamente, r

45. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Assim, se o momento o torsor é nulo em relação ao eixo com origem em xc e yc, y t ds e dF CC Vy yc xc x CG Vx r

46. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Observações: • Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. y t ds De fato, ela pode ser qualquer, pois alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM e, consequentemente, os momentos setoriais lineares não se alteram, quando o pólo é o CG da seção. dF CC Vy yc xc x CG Vx r

47. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Observações: • Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. y t ds dF CC Vy yc xc x CG Vx r Se o pólo é o CG da seção, Sx = 0 e, consequentemente,

48. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Observações: • Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária. y t ds Analogamente, dF CC Vy yc xc x CG Vx r e, se o pólo é o CG da seção, Sy = 0 e, consequentemente,

49. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Observações: b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. y t ds De fato, sendo a origem arbitrária, pode-se imaginá-la sobre o eixo de simetria. Logo, se o pólo é o CG, a área setorial w é anti-simétrica. dF CC Vy yc xc x CG Vx r

50. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.3. Flexão Simples de Barras Cálculo das Tensões Determinação do CC em Perfis Abertos Observações: b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem. y t ds dF Sendo x um eixo de simetria, CC Vy yc xc y x x CG Vx y r x -y x