第八章  概率与数理
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第八章 概率与数理. 统计初步. 8.2 离散型随机变量的概率分布. 一、 离散型随机变量的分布. 二、 三种典型分布. 一、 离散型随机变量的分布. 我们首先通过硬币试验了解随机事件的统计规律. 如果用 表示正面向上 , 表示正面向下 , 则. 从一副扑克牌中任意摸取一张 , 每一张牌的概率都是. 可以看出 , 随着投掷次数的不断增大 , 正面出现的. 频率越趋近于 0.5. 简单的古典概率考虑的一种情况是:. 如果随机变量只有. n 个取值 , 则取到每个值的概率都是 1 / n.

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Presentation Transcript


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第八章 概率与数理

统计初步


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8.2 离散型随机变量的概率分布

一、 离散型随机变量的分布

二、 三种典型分布


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一、 离散型随机变量的分布

我们首先通过硬币试验了解随机事件的统计规律.


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如果用 表示正面向上, 表示正面向下,则

从一副扑克牌中任意摸取一张,每一张牌的概率都是

可以看出,随着投掷次数的不断增大,正面出现的

频率越趋近于0.5.

简单的古典概率考虑的一种情况是:

如果随机变量只有

n个取值,则取到每个值的概率都是1/n .


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例1袋内装有五个白球,三个黑球,从中任取两个球,

计算取出的两个球都是白球的概率.

解: 从8个球中任取2个球,可能的结果共

由于是任取两个球,因此取到每两个球的概率都是

取出的两个球都是白球的结果为

因此取出的两个球都是白球的概率为


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一般地,如果随机变量 的所有可能取值为

取值是 的概率是 ,即

为随机变量 的概率分布(列),简称分布.

则称

(1)pk 0, k=1, 2, … ;

(2)

用这两条性质判断

一个函数是否是

概率分布


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1

2

3

4

5

6

例2 在一个均匀正方体的六个面上分别标上数字

1,2,3,4,5,6,随机抛掷这个正方体,用表示朝上

的那个面上的数字,求的概率分布.

正方体是均匀的表示六个面哪个面朝上的可能性

解:

都是均等的.

因此


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二、三种典型分布

1. 两点分布(也称(0-1)分布)

随机变量ξ只可能取0与1两个值,其分布律为:

凡是随机试验只有两个可能的结果,常用0 - 1分布描述,如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.

应用场合

概率论与数理统计

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例3 某批产品共100件,其中98件是合格品,2件是不合

格品.现从中任意抽取1件,用 表示抽到的是合格

用 表示抽到的是不合格品,求 的概率分布.

解:


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2. 二项分布

在n次独立试验中,如果事件在每次试验中发生的概率为p, ξ表示A在n次试验中发生的次数,则ξ的分布为:

其中,

称ξ服从参数为n, p的二项分布.


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其中 .

例4 某批产品的不合格品率为p,现从中有放回地抽取

3件,试求三件中恰有二件不合格品的概率.

解:

“有放回”是指每次试验完成后都把试验品放回原产

品中,因此三次抽取可看作是三次独立试验.

用ξ表示抽取的三件产品中不合格品的件数,则


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例5 一批出口商品共10000件,已知该批商品的不合格

品率为2%.商检部门抽检方案是,从中抽取30件样品,如

不合格品数不大于3,则判定该批商品合格,从而接受该

批商品,否则拒绝.求该批商品被接受的概率。

解:商品数10000较样品数30很大,设ξ表示30件样品中

不合格品的件数,则


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依题意,该批商品被接受的概率为 ,即


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3. 泊松分布

法国数学家泊松在研究二项分布的近似计算时发现,如果n较大, p较小, 二项分布为:

其中

实际计算时,只要n>10, p<0.1近似程度就很高了.


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例5中,

,查泊松分布表

如果随机变量ξ的分布列为

则称ξ服从参数为λ的泊松分布,记作


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