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1. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合 ) 的三视图 , 能识别上述三视图所 表示的立体模型 , 会用斜二测画法画出它们的直观图 . PowerPoint PPT Presentation


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1. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合 ) 的三视图 , 能识别上述三视图所 表示的立体模型 , 会用斜二测画法画出它们的直观图 . 2. 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的 三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式 . 3. 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公 式(不要求记忆公式). 空间几何体. 1.(2009· 陕西 ) 若正方体的棱长为 则以该正方体 各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( ) A. B.

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1. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合 ) 的三视图 , 能识别上述三视图所 表示的立体模型 , 会用斜二测画法画出它们的直观图 .

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Presentation Transcript


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1.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、

棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所

表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.

2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的

三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

3.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公

式(不要求记忆公式).

空间几何体


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1.(2009·陕西)若正方体的棱长为 则以该正方体

各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( )

A. B.

C. D.

解析 由题意可知,此几何体是由同底面的两个正四

棱锥组成的,底面正方形的边长为1,每一个正四棱锥

的高为 所以V=

B


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2.(2009·山东)一空间几何体的三视图如图所示,则

该几何体的体积为 ( )

A. B.

C. D.


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解析 该空间几何体为一圆柱体和一四棱锥组成,圆

柱的底面半径为1,高为2,体积为 四棱锥的底面边

长为 ,高为 ,所以体积为 所以该

几何体的体积为

答案 C


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3.(2009·海南)一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥

的全面积(单位:cm2)为 ( )

A. B.

C. D.


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解析 该三棱锥底面是以6 cm为直角边的等腰直角

三角形,且顶点在底面上的射影是等腰直角三角形斜

边的中点,棱锥的高为4 cm,易算出斜高为5 cm,所以

全面积为S全=

答案 A


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4.(2009·天津)如图是一个几何体的三视图,若它的

体积是 则a=____.

解析 由已知正视图可以知道这个几何体是竖着的

直三棱柱,两个底面是等腰三角形,且底边为2,等腰

三角形的高为a,侧棱长为3,结合体积公式可以得到

V=Sh= 解得a= .


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题型一 三视图

【例1】(2009·广东)某高速公路收费站入口处的安

全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥P-

EFGH,下半部分是长方体ABCD—EFGH.图(2)、图

(3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.


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(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

(2)求该安全标识墩的体积;

(3)证明:直线BD⊥平面PEG.


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(1)解 侧视图如下图所示.

(2)解 该安全标识墩的体积为V=VP—EFGH+VABCD—EFGH

= ×402×60+402×20=32 000+32 000=64 000(cm3).


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(3)证明 如图,连结EG、HF及BD,

设EG与HF相交于O点,连结PO,由

正棱锥的性质可知,PO⊥

平面EFGH,

∴PO⊥HF,

又∵EG⊥HF,

∴EG∩PO=O,HF⊥平面PEG.

又∵BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.

【探究拓展】通过三视图间接给出几何体的形状,并

给出相关数据通过计算解决相关问题,体现了新课程

的理念.


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变式训练1如下的三个图中,上面的是一个长方体截

去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图

在下面画出(单位:cm).


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(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面

体的俯视图;

(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

(3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG.

(1)解 如图所示


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(2)解 所求多面体体积

V=V长方体-V正三棱锥

(3)证明 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,

连接AD′,则AD′∥BC′.

因为E,G分别为AA′,A′D′

的中点,

所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.

又BC′平面EFG,所以BC′∥平面EFG.


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题型二 几何体的表面积和体积

【例2】(2009·安徽)如图,

ABCD是边长为2的正方形,

直线l与平面ABCD平行,E

和F是l上的两个不同点,

且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD内的两点,

EE′和FF′都与平面ABCD垂直.

(1)证明:直线E′F′垂直且平分线段AD;

(2)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体ABCDEF

的体积.


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(1)证明 连结E′A、E′D,

由EA=ED,知Rt△EE′A≌Rt△EE′D,

故在平面ABCD中,E′A=

E′D,

因此E′在线段AD的垂线

上,同理,F′在线段BC的

中垂线上.由于ABCD是正方形,BC的中垂线就是AD

的中垂线,所以F′也在AD的中垂线,由于E′、F′

都在AD的中垂线上,所以E′F′就是AD的中垂线,因

此E′F′垂直且平分线段AD.


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(2)解 因为EE′∥FF′,所以E、F、E′、F′四点

共面.

因为EF∥平面ABCD,所以EF∥E′F′.

又E′F′∥AB,所以EF∥AB.又EF=AB=2,故四边形

ABFE是平行四边形.

同理,四边形CDEF是平行四边形.

∠DAE=60°,知△ADF是等边三角形.

连结BE,又由AB=AE,∠EAB=60°,

知△ABE是等边三角形.

由EA=EB=ED,知点E在面ABCD上的射影E′为正方形

ABCD的中心.

连结EC,故EA=EC.


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因此,△CDE、△BEF、△CEF、△BCE、△BCF都是

等边三角形,四面体BCEF是棱长为2的正四面体.

因为AD∥BC,AE∥BF,所以平面ADE与平面BCF平行.

又因为AB∥CD∥EF,所以多面体ABCDEF是三棱柱

ADE—BCF,其底面积为 且与正四面体E—BCF同

高,因为正四面体E—BCF的边长为2,得高为

所以V多面体ABCDEF=

【探究拓展】求几何体的体积问题,可以多角度、全

方位地考虑问题,常采用的方法有“换底法”、“分

割法”、“补体法”等,尤其是“等积转化”的数学

思想方法应高度重视.


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变式训练2如图所示,四棱锥P—

ABCD的底面ABCD是半径为R的

圆的内接四边形,其中BD是圆的

直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,

△ADP∽△BAD.

(1)求线段PD的长;

(2)若PC= 求三棱锥P—ABC

的体积.


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解(1)∵BD是圆的直径,

∴∠BAD=90°,

又∵△ADP∽△BAD,

∴DP的长为3R.


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(2)在Rt△BCD中,CD=BDcos 45°=

∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2,

∴PD⊥CD,又∠PDA=90°,AD∩CD=D,

∴PD⊥底面ABCD,

则S△ABC= AB·BCsin(60°+45°)

所以三棱锥P—ABC的体积为

VP—ABC= ·S△ABC·PD


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题型三 球

【例3】(2009·全国Ⅱ)设OA是球O的半径,M是OA的

中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到

圆C,若圆C的面积等于 则球O的表面积等于____.

解析 如图,设O′为截面圆的

圆心,设球的半径为R,则OM=

又∠O′MO=45°,∴OO′=

Rt△O′OB中,OB2=O′O2+O′B2,


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【探究拓展】涉及到球与棱柱、棱锥的切、接问题时,

一般过球心及多面体的特殊点或线作截面,把空间问

题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何中

元素间的关系.

变式训练3 (2009·全国Ⅰ)已知OA为球O的半径,过

OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆

M的面积为 则球O的表面积等于____.

解析 设球半径为R,圆M的半径为r,

则r2=3,又OM=


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【考题再现】

(2009·海南)如图,在三棱锥

P—ABC中,△PAB是等边三

角形,∠PAC=∠PBC=90°.

(1)证明:AB⊥PC;

(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P—

ABC的体积.


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【解题示范】

解 (1)因为△PAB是等边三角形,所以PB=PA.

因为∠PAC=∠PBC=90°,

PC=PC,

所以Rt△PBC≌Rt△PAC,

所以AC=BC.

如图,取AB中点D,连结PD、CD,

则PD⊥AB,CD⊥AB,又PD∩CD=D,

所以AB⊥平面PDC,所以AB⊥PC. 6分


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(2)作BE⊥PC,垂足为E,连结AE.

因为Rt△PBC≌Rt△PAC,

所以AE⊥PC,AE=BE.

由已知,平面PAC⊥平面PBC,

故∠AEB=90°. 8分

因为∠AEB=90°,∠PEB=90°,AE=BE,AB=PB,

所以Rt△AEB≌Rt△BEP,

所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形.

由已知PC=4,得AE=BE=2,△AEB的面积S=2.

因为PC⊥平面AEB.

所以三棱锥P—ABC的体积V= 12分


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1.几何体中计算问题的方法与技巧:①在正棱锥中,正

棱锥的高、侧面、等腰三角形的斜高与侧棱构成两

个直角三角形,有关计算往往与两者相关.②正四棱

台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、

下底及梯形高的计算,另外,要能将正三棱台、正四

棱台的高与其斜高,侧棱在合适的平面图形中联系

起来.③研究圆柱、圆锥、圆台等问题,主要方法是

研究其轴截面,各元素之间的关系,数量都可以在轴

截面中得到.④多面体及旋转体的侧面展开图是将立

体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段.


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2.三视图及应用:①画立体几何的三视图首先要明确

各自的投影方向,画法要求是“长对正,宽相等,高平

齐”.②由几何体的三视图画几何体的直观图,需要

发挥空间想象能力,仍是从正视图出发,然后是侧视

图、俯视图,画出后检验,依然仍是“高平齐,长对

正,宽相等”,做到检查修补.特别提醒:无论几何体

(或直观图)作三视图,还是由三视图还原几何体(或

画出相应的直观图),都要注意线要虚实分明.

3.空间立体几何体积的求法:①公式法:即根据题意直

接套用相关几何体的体积公式计算.②作差法:将原

几何体转化为两个易求体积的几何体的差,通过体积


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差来计算原几何体的体积.③割补法:通过对原几何体

分割或补形,将原几何体分割或补成较易计算的几何

体,从而求出原几何体的体积.④等体积变换法:即从

不同角度看待几何体,通过改变顶点和底面,利用体积

不变的原理,来求原几何体的体积.


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一、选择题

1.将正三棱柱截去三个角(如图1所示),A,B,C分别是

△GHI三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按

图2所示方向的侧视图(或称左视图)为 ( )


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解析 由题意可知,侧视图应为A.

答案 A


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2.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该

几何体的表面积是 ( )

A. B. C. D.

解析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体,

D


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3.(2009·辽宁)正六棱锥P—ABCDEF中,G为PB的中

点,则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为

( )

A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2

解析 由题意可知,平面GAC⊥平面ABCDEF,所以

点D到平面GAC的距离等于正六边形的边长,而点P

到平面GAC的距离等于正六边形边长的一半.

C


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4.(2009·湖北)如图所示,在三棱柱

ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,

∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,侧棱

CC1=1,则该三棱柱的高等于 ( )

A. B. C. D.

解析 如图过点C1作底面ABC的垂

线C1H,作HF⊥BC,HE⊥AC,连接

C1E、C1F,则C1E⊥AC,C1F⊥BC,

又∠ACB=90°,∠ACC1=60°,

∠BCC1=45°,CC1=1,所以四边形ECFH是矩形,则

EC=FH= C1F= 所以

A


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5.(2008·重庆)如图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小

正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.

现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块

⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,

能够完成任务的为 ( )


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A.模块①,②,⑤ B.模块①,③,⑤

C.模块②,④,⑤ D.模块③,④,⑤

解析 观察得先将⑤放入⑥中的空缺,然后上面可放

入①②,其余可以验证不合题意.

答案 A

6.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面

得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等

于 ( )

A.1 B. C. D.2


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解析 如图所示,设球的球心为O,两截面圆的圆心分

别为A、B,相交弦为CD,取CD的中点E,

则BE⊥CD,AE⊥CD,

∴CD⊥平面ABE.

又OA⊥⊙A,OB⊥⊙B,

∴OA⊥CD,OB⊥CD,

∴CD⊥平面OAB.

∴O、A、E、B四点共面,且四边形OAEB是矩形.

∴AB=OE.

连结OC,OD,则OC=OD,OE⊥CD.

∵OC=CD=2,∴OE= .

答案 C


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二、填空题

7.(2009·浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图

所示,则此几何体的体积是_____cm3.

解析 该几何体是由二个长方体组成,下面体积为1

×3×3=9,上面的长方体体积为3×3×1=9,因此其几

何体的体积为18.

18


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8.(2009·全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都

在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此

球的表面积等于_____.

解析 在△ABC中,由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB

·AC·cos 120°=4+4-2×2×2× =12,

∴BC= .

由正弦定理知△ABC的外接圆半径r满足

∴r=2,由题意知球心到平面ABC的距离为1,设球的

半径为R= ∴S球=


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9.连结球面上两点的线段称为球的一条弦,半径为4的

球的两条弦AB、CD的长度分别等于 每条弦

的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大

值为____.

解析 设球心为O,由球的弦长知

令Q在线段CD上,则2≤|OQ|≤4;令P在线段AB上,

则3≤|OP|≤4.


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∴M可能在线段CD上,但N不能在线段AB上,

又由三角形性质,若M、O、N三点不共线,

则|MN|<|OM|+|ON|=5,|MN|>|OM|-|ON|=1,

若O在线段MN上,则|MN|=|OM|+|ON|=5,

若O在线段MN的延长线上,

则|MN|=|OM|-|ON|=1,

∴1≤MN≤5.

答案 5


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10.等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三

条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形

的斜边长为_____.

解析 一个等腰直角三角形DEF的

三个顶点分别在正三棱柱的三条侧

棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱

的底面边长为AB=2,则该三角形的

斜边EF上的中线DG=

∴斜边EF的长为


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三、解答题

11.(2009·福建)如图所示,平行四

边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,

AD=4.将△CBD沿BD折起到

△EBD的位置,使平面EDB⊥平

面ABD.

(1)求证:AB⊥DE;

(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.


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(1)证明 因为∠DAB=60°,AB=2,AD=4.

在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB

=22+42-2×2×4× =12,即BD=

所以有BD2+AB2=AD2成立,则BD⊥AB,

所以BD⊥CD,则BD⊥ED,

又因为平面EDB⊥平面ABD,

所以ED⊥平面ABD,则AB⊥ED.


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(2)解 由(1)知,BD⊥AB且AB=CD=DE=2,

BD= AD=4,又ED⊥平面ABD,

所以ED⊥AD,ED⊥BD,

则EB2=ED2+BD2=16,即EB=4,

又因为平面EDB⊥平面ABD且AD⊥BD,所以AB⊥BE.

所以三棱锥E—ABD的侧面积等于

S△ABE+S△ADE+S△DBE


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12.如图在四棱锥P—ABCD中,平

面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,

△PAD是等边三角形,已知BD=

2AD=8,AB=2DC=

(1)设M是PC上的一点,证明:平

面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱锥P—ABCD的体积.


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(1)证明 在△ABD中,由于AD=4,BD=8,AB=

所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,

BD平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,

又BD平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.


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(2)解 过P作PO⊥AD交AD于O,

由于平面PAD⊥平面ABCD,

所以PO⊥平面ABCD.

因此PO为四棱锥P—ABCD的高,

又△PAD是边长为4的等边三角形.

因此

在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为

此即为梯形ABCD的高,

所以四边形ABCD的面积为

故VP—ABCD=

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