Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia:

1. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza;lacirconferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio si chiama apotema del poligono. • inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino • nello stesso punto che è il centro della circonferenza Poligoni inscritti e circoscritti Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia: • circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si • intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza. 1

2. un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari A+D = π E+B = π • un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. Caso dei quadrilateri Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti: AB + DE ≅AE + BD 2

3. un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile • un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono supplementari • un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo (quindi è circoscrittibile) Caso dei quadrilateri Conseguenze: • un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti non è congruente alla somma degli altri due 3

4. ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati • è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta • hanno lo stesso centro Poligoni regolari Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare. Se un poligono è regolare allora: • ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati 4

5. Poligoni regolari Inoltre: • i punti di una circonferenza che la dividono in n archi congruenti sono i vertici di un poligono regolare • le rette tangenti ad una circonferenza condotte per i punti che la dividono in n parti congruenti, intersecandosi, formano un poligono regolare di n lati 5

6. gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, • centro della circonferenza circoscritta al triangolo Punti notevoli dei triangoli Punti notevoli di un triangolo: • le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto • incentro, centro della circonferenza inscritta • le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro 6

7. Punti notevoli dei triangoli • le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel caso del triangolo equilatero. 7