复变函数
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复变函数 补充讲. 本文件可从网址 http://www.appmath.cn 上下载. 平面场的复势. 1. 用复变函数表示平面的向量场 这里 , 只讨论平面定常向量场 . 向量场中的向量都平行于某个平面 S , 而且在垂直于 S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的 ; 场中的向量也都是与时间无关的 . 显然 , 这种向量场在所有平行于 S 的平面内的分布情况是完全相同的 , 因此它完全可以用一个位于平行于 S 的平面 S 0 内的场来表示. S. y. A. A y. A x. x. O. S 0.

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复变函数 补充讲

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复变函数补充讲

本文件可从网址

http://www.appmath.cn

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平面场的复势

  • 1. 用复变函数表示平面的向量场 这里, 只讨论平面定常向量场. 向量场中的向量都平行于某个平面S, 而且在垂直于S的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的; 场中的向量也都是与时间无关的. 显然, 这种向量场在所有平行于S的平面内的分布情况是完全相同的, 因此它完全可以用一个位于平行于S的平面S0内的场来表示.


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S

y

A

Ay

Ax

x

O

S0


S 0 xoy

在平面S0内取定一直角坐标系xOy, 于是场中

  • 每一个具有分量Ax与Ay的向量A=Axi+Ayj便可用复数

  • A=Ax+iAy(2.4.1)

  • 来表示. 由于场中的点可用复数z=x+iy来表示, 所以平面向量场A=Ax(x,y)i+Ay(x,y)j可以借且于复变函数

  • A=A(z)=Ax(x,y)+iAy(x,y)

  • 来表示, 反之, 已知某一复变函数w=u(x,y)+iv(x,y), 由此也可作出一个对应的平面向量场.


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平面向量场与复变函数的这种密切关系, 不仅

  • 说明了复变函数具有明确的物理意义, 而且使我们可以利用复变函数的方法来研究平面向量场的有关问题. 在应用中特别重要的是如何构造一个解析函数来表示无源无旋的平面向量场, 这个解析函数就是所谓平面向量场的复势函数.


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2. 平面流速场的复势 设向量场v是不可压缩的(即流体的密度是一个常数)定常的理想流体的流速场:v=vx(x,y)i+vy(x,y)j,其中速度分量vx(x,y)与vy(x,y)都有连续的偏导数. 如果它在单连域B内是无源场(即管量场), 那末


V y d x v x d y y x y d y x y v y d x v x d y

从而可知-vydx+vxdy是某一个二元函数y(x,y)的全微分, 即dy(x,y)=-vydx+vxdy.由此得


V b rot v 0

如果v又是B内的无旋场(即势量场), 那末,rotv=0,即

  • 这说明了表达式vxdx+vydy是某一个二元函数j(x,y)的全微分, 即

  • dj(x,y)=vxdx+vydy.

  • 由此得

从而有gradj = v.


J x y v j x y c 2 v 2 4 3 2 4 5

j(x,y)就称为场v的势函数(或位函数). 等值线j(x,y)=c2就称为等势线(或等位线).因此对于即无源又无旋的向量场v, (2.4.3)和(2.4.5)同时成立, 将它们比较一下, 即得

  • 而这就是柯西-黎曼方程. 因此, 可作解析函数

  • w=f(z)=j(x,y)+iy(x,y),

  • 称之为平面流速场的复势函数, 简称复势.


F z f z j x y i y x y

作业的做法:给定复势函数f(z), 则将其分解为实部和虚部的形式:f(z)=j(x,y)+iy(x,y)则流动的速度(流速场)为

流线方程为 y(x,y)=c1

等势线方程为 j(x,y)=c2


1 f z az a 0

例1 设一平面流速场的复势为f(z)=az(a>0为实常数), 试求该场的速度, 流函数和势函数.


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}

等势线

y

{

线

x

O


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例2由场论的观点, 流速场中散度div v 0的点, 统称为源点(有时称使div v > 0 的点为源点, 而使div v < 0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常流速场的复势, 并画出流动图象.[解] 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷远处保持静止状态. 由该场的对称性容易看出, 场内某一点z0处的流速具有形式v=g(r)r0,其中r=|z|, r0是指向点z的向径上的单位向量, 可用复数表示为 , g(r)是一待定函数.


R 1 z r 2 z r 1 z r 2

由于流体的不可压缩性, 流体在任一以原点为中心的圆环域r1<|z|<r2内不可能积蓄, 所以流过圆周|z|=r1与|z|=r2的流量应相等, 故流过圆周的流量为

因此, 它是一个与r无关的常数, 称为源点的强度. 由此得


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而流速可表示为

显然, 它符合"在无穷远处保持静止状态"的要求. 由(2.4.6)式可知, 复势函数f(z)的导数为

其中c=c1+ic2为复常数.


2 4 2 5

该场的流动图像如图2.4和2.5所示(实线表示流线, 虚线表示等势线.

c=c1+ic2为复常数. 将实部与虚部分开, 就分别得到势函数和流函数为


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图2.4

y

(N<0)

O

x


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图2.5

y

(N>0)

O

x


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§7 解析函数与调和函数的关系


J x y d laplace

如果二元函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯(Laplace)方程

则称j(x,y)为区域D内的调和函数.

调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要的应用. 下面的定理说明了调和函数与解析函数的关系.


D d w f z u iv d

定理 任何在区域D内解析的函数, 它的实部和虚部函数都是D内的调和函数.[证] 设w=f(z)=u+iv为D内的一个解析函数, 则

根据解析函数高阶导数定理, u与v具有任意阶的连续偏导数, 所以


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从而

同理

因此u与v都是调和函数.

[证毕]


U x y d u iv d v x y u x y d

设u(x,y)为区域D内给定的调和函数, 把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 换句话说, 在D内满足柯西黎曼方程

的两个调和函数中, v称为u的共轭调和函数. 因此, 上面的定理说明: 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.


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应当指出, 如果已知一个调和函数u, 那末就可以利用柯西-黎曼方程(3.7.1)求得它的共轭调和函数v, 从而构成一个解析函数u+iv. 下面举例说明求法. 这种方法可以称为偏积分法.例1证明u(x,y)=y3-3x2y为调 和函数, 并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数.[解] 1) 因为

所以


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2) 由


W y 3 3 x 2 y i x 3 3 xy 2 c w f z i z 3 c

从而得到一个解析函数w=y3-3x2y+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为w=f(z)=i(z3+c)


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作业 第二章习题

第68页开始

第24题


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