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化归思想

化归思想. 化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易 . 如将分式方程化为整式方程 , 将代数问题化为几何问题 , 将四边形问题转化为三角形问题等 . 实现这种转化的方法有 : 待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等。. 【 例 1】 如图，反比例函数 y=- 与一次函数 y= － x+2 的图象交于 A 、 B 两点． （ 1 ）求 A 、 B 两点的坐标； （ 2 ）求△ AOB 的面积．. 1. 一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题． 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：

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  1. 化归思想

  2. 化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等。化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等。

  3. 【例1】如图，反比例函数y=- 与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点． （1）求 A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积．

  4. 1.一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．1.一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题． 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法： (x2-x)2-8(x2-x)+12=0． 学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗? 老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点? 学生乙：老师，我发现方程中x2 -x是整体出现的，最好不要去括号! 老师：很好，如果我们把x2 -x看成一个整体，用y表示，即x2-x=y，那么原方程就变为y2-8y+12=0． 全体学生：(同学们都特别高兴)噢，这不是我们最熟悉的一元二次方程吗?! 老师：大家真会观察和思考，太棒了!显然一元二次方程y2-8y+12=0的根是y1=6，y2=2，那么就有x2-x=6或x2-x=2． 学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根，x1 =3，x2 =-2，x3 =2， x4 =-1，嗬，有这么多根啊! 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法． 全体同学：OK，换元法真神奇! 现在，请你用换元法解下列分式方程：

  5. 2.阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：2.阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 ，其中ｎ是正整数。 现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…＝？ 观察下面三个特殊的等式: ; ; . 将这三个等式的两边相加，可以得到 1×2+2×3+3×4＝. 读完这段材料，请你思考后回答：

  6. 读完这段材料，请你思考后回答： ⑴ . ⑵ . ⑶ . （只需写出结果，不必写中间的过程）

  7. 3.阅读材料：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，3.阅读材料：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象， 它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3） 就是方程组 的解，所以这个方程组的解为在直角坐标 系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③。 y y 3 P(1,3) y x x O l x O l O l x=1 y=2x+1 x=1 7-2题图① y=2x+1 7－2题图② 7－2题图③

  8. 回答下列问题： (1)在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出 方程组 的解； (2)用阴影表示 ，所围成的区域。

  9. 4. 阅读下表并探究，完成填空： (1)将你发现的结论一般化，并写出来． (2)根据你所发现的结论,在实数范围内将二次三项式 因式分解

  10. 5.已知：如图8，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则△CDQ是等腰三角形。5.已知：如图8，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则△CDQ是等腰三角形。 对上述命题证明如下： 证明：连结OC ∵OA＝OC ∴∠A＝∠1 ∵CD切O于C点 ∴∠OCD＝90° ∴∠1＋∠2＝90° ∴∠A＋∠2＝90° 在RtQPA中，QPA＝90° ∴∠A＋∠Q＝90° ∴∠2＝∠Q ∴DQ＝DC 即CDQ是等腰三角形。 问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

  11. 6．我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：6．我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： ……① （其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）。 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： ……② （其中） (1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。 (2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。

  12. 7.阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、 c． 过A作AD⊥BC于D(如图)，则 ， 即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC， 即 ．同理有 ， ． 所以 ………(*) 即：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等．

  13. (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A， 运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个 未知元素c、∠B、∠C， 请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件a、b、∠A ∠B； 第二步：由条件 ∠A、∠B． ∠C； 第三步：由条件．_________ ________ c (2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30° 的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按 北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处， 此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向 上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB (结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．

  14. 1.阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（a），小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（b）；1.阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（a），小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（b）； （a） （b） （c） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为： ， ； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条，请在图（c）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？

  15. 2.阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 . (1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小； (3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

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