Арифметические основы ЭВМ
Download
1 / 50

Арифметические основы ЭВМ - PowerPoint PPT Presentation


  • 394 Views
  • Uploaded on

Арифметические основы ЭВМ. ЭВМ являются арифметическими машинами, реализующими алгоритмы путем выполнения последовательных арифметических действий.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Арифметические основы ЭВМ' - arden-foley


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Арифметические основы ЭВМ

ЭВМ являются арифметическими машинами, реализующими алгоритмы путем выполнения последовательных арифметических действий.

Арифметические действия производятся над числами, представленными в принятой для ЭВМ системе счисления, в заданных формах и форматах с использованием специальных машинных кодов.


Системы счисления

  • Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).


Системы счисления

Позиционные

Непозиционные


Непозиционные системы счисления

  • Количественное значение символа определяется только его изображением и не зависит от его места в числе. Например, римская система счисления:I-один, V-пять, X-десять, L-пятьдесят, C-сто, D-пятьсот, M-тысяча.

  • Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр (II-два, XXX-тридцать, CC-двести).

  • Если же большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если наоборот – вычитаются (VII)-семь, IX-девять).


Позиционные системы счисления

  • Количественное значение символа зависит от его места (позиции или разряда).

  • Характерным является наличие основания системы (любое целое число не менее 2). Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная и т.д.).

  • Основание позиционной системы счисления показывает, какое число различных цифр входит в ограниченный набор, называемый алфавитом системы счисления.


Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощьюПРАВИЛА СЧЕТА:

  • Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа(означает замену ее следующей по величине на 1 или на 0);если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее.


Любое число в любой позиционной системе счисления можно записать в общем виде:

или представить степенным рядом:


ПРИМЕРЫ: системе счисления можно записать в общем виде:

Разряды3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1, 12 = 1*23 + 0*22 +1*21 +1*20 +1*2-1

Разряды 2 1 0 -1 -2

Число 2 7 6, 5 28 = 2*82 +7*81 + 6*80 + 5*8-1 +2*8-2

Разряды 1 0 -1

Число B9, F16 =11*161 + 9*160 + 15*16-1


Почему компьютеры пользуются двоичной системой счисления?

  • Для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока и т.п.).

  • Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

  • Возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

  • Двоичная арифметика намного проще десятичной.


Недостаток двоичной системы – двоичной системой счисления?

  • Быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел


Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины.

Для этого и разработаны 8-ричная и 16-ричная системы (в этих системах числа требуют соответственно в 3 и в 4 раза меньше разрядов, чем в двоичной системе).


Перевод 8-ричных и 16-ричных чисел в двоичную систему:

  • Примеры:

    537,18=101 011 111, 0012=101011111,0012

    5 3 7 1

    1А3,F16=1 1010 0011,11112=110100011,11112

    1 A 3 F

    Самостоятельно: перевести число 10101001,101112 в восьмеричную и шестнадцатиричную позиционную систему счисления.


ПРОВЕРКА: в двоичную систему:

  • 10 101 001,101 1102=251,568

  • 1010 1001,1011 10002=А9,В816


Перевод в двоичную систему:целого десятичного числа в любую другую позиционную систему счисления с основанием q:

  • его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.


75 10 2 8 16
Пример: в двоичную систему:перевести число 7510 в 2-ую, 8-ую, 16-ую системы счисления

75 2 75 8 75 16

74 37 2 72 9 8 64 4

1 36 18 2 3 8 1 11

1 18 9 2 1

0 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1

0

Ответ: 7510=10010112=1138=4В16


Перевод в двоичную систему:правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q:

  • Необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

  • Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку.


0 35 10 2 8 16
Пример: в двоичную систему:перевести число 0,3510 в 2-ую, 8-ую, 16-ую системы счисления

  • 0, 35 0, 35 0, 35

    2 8 16

    0 70 2 80 5 60

    2 8 16

    1 40 6 40 9 60

    2 8

    0 80 3 20

    2

    1 60

    2

    1 20

    2

    0 40 Ответ: 0,3510=0,010112=0,2638=0,5916


8 16 10
Перевод числа в двоичную систему: из двоичной(8-ичной, 16-ичной)системы счисления в 10-ую:

  • осуществляется представлением числа в виде суммы степеней основания его системы счисления.


Примеры: в двоичную систему:

1)Разряды 3 2 1 0 -1

число 1011,12=1·23+0·22+1·21+1·20+1·2-1=11,510

2)Разряды 2 1 0 -1

число 276,58=2·82+7·81+6·80+5·8-1=190,62510

3)Разряды 2 1 0

число 1F316=1·162+15·161+3·160=49910


1 8 16
Задание1: в двоичную систему:Переведите следующее число из двоичной системы счисления в 8- ричную и 16-ричную.

  • 101010101

  • 110101011

  • 1000001010

  • 10101001,1010101

  • 101010100000001,1001010100101


Задание2: в двоичную систему:Расположите следующие числа в порядке возрастания:

  • 784510

  • 42318

  • 101012

  • АС316


Задание3: в двоичную систему:Переведите следующие десятичные числа в 2-ичную, 8-ичную, 16-ичную системы счисления с точностью до 3 знака после запятой.

  • 365,75

  • 413,25

  • 825,54

  • 511,375

  • 392,75


Задание4: в двоичную систему:Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную.

  • 100111101,10001

  • 1010001,11

  • 10000111,101

  • 111111100

  • 10101010

  • 100,100


5 8 2 16
Задание5: в двоичную систему:Переведите следующие числа из 8-ричной системы счисления в десятичную, а затем в 2-ую и 16-ую.

  • 5364,45

  • 2542,2

  • 56251,235

  • 6541,11

  • 123,432


6 16 2 8
Задание6: в двоичную систему:Переведите следующие числа из 16-ричной системы счисления в десятичную, а затем в 2-ую и 8-ую.

  • FA2,B

  • C73,A

  • DB5,9

  • 71A,3

  • BC2,1


Арифметические операции в позиционных системах счисления


Сложение: позиционных системах счисления

Таблицы сложения легко составить, используя ПРАВИЛО СЧЕТА.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он пере носится влево.


1 141 5 10 59 75 10
Пример 1: позиционных системах счислениянайти сумму чисел 141,510 и 59,7510

1 1 1

141,50

59,75

201,25

0+5=5

5+7=12=10+2

1+9+1=11=10+1

4+5+1=10=10+0

1+1=2

+


2 10001101 1 2 111011 11 2
Пример 2: позиционных системах счислениянайти сумму чисел 10001101,12 и 111011,112

1 1 1 1 1 1 1

10001101,1

111011,11

11001001,01

1+1=10=10+0

1+1+1=10+1

1+1=10=10+0

1+1=10=10+0

1+1+1=10+1

1+1=10=10+0

1+1=10=10+0

+


3 215 4 8 73 6 8
Пример 3: позиционных системах счислениянайти сумму чисел 215,48 и 73,68

1 1 1

215,4

73,6

311,2

4+6=10=8+2

5+3+1=9=8+1

1+1+7=9=8+1

+


4 8 d 8 16 3 b c 16
Пример 4: позиционных системах счислениянайти сумму чисел 8D,816 и 3B,C16

1 1

8D,8

3B,C

C9,4

8+12=20=16+4

D+B+1=13+11+1=24+1=25=16+9

1+8+3=12=C

+


Задание: позиционных системах счислениявыполнить сложение в 2-ичной системе счисления

  • 101101, 11 и 1011,011

  • 10011110 и 1111,111

  • 111111,111 и 1000,011 и 10110,101

  • 1010101,111 и 1000,111 и 101101,011


Задание: позиционных системах счислениявыполнить сложение в 8-ичной системе счисления

  • 357,2 и 44,6

  • 1755,23 и 467,26

  • 342,55 и 21 и 253,77

  • 7722,44 и 5533,66 и 11111,22


Задание: позиционных системах счислениявыполнить сложение в 16-ичной системе счисления

  • AB5,DC и 3A,5B

  • 52E,43F и 79,9A

  • 68D,37 и4AA5,EF и 75,CD


1 59 75 10 201 25 10
Вычитание. позиционных системах счисленияПример1:Вычтем число 59,7510 из числа 201,2510

1 1 1

201,25

59,75

141,50

5-5=0

10+2-7=5

10-9=1

9-5=4

2-1=1


2 11001001 01 2 111011 11 2
Пример 2: позиционных системах счислениянайти разность чисел 11001001,012 и 111011,112

1 1 1 1 1

11001001,01

111011,11

10001101,10

1-1=0

2-1=1

2-1=1

1-1=0

1-0=1

2-1=1

1-1=0

1-1=0

0-0=0


3 311 2 8 73 6 8
Пример 3: позиционных системах счислениянайти разность чисел 311,28 и 73,68

1 1 1

311,2

73,6

215, 4

8+2-6=4

8-3=5

8-7=1

2-0=2


4 c9 4 16 3 b c 16
Пример 4: позиционных системах счислениянайти разность чисел C9,416 и 3B,C16

1 1

C9,4

3B,C

8D,8

16+4-12=8

16+8-11=13=D

12-1-3=8


Умножение: позиционных системах счисления

В различных позиционных системах счисления при умножении используется обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.


1 115 10 51 10
Пример 1: позиционных системах счислениянайти произведение чисел 11510 и 5110

115

51

115

575

5865

х

+


2 1110011 2 110011 2
Пример 2: позиционных системах счислениянайти произведение чисел 11100112 и 1100112

1110011

110011

1110011

1110011

1110011

1110011

1011011101001

х

+


3 163 8 63 8
Пример 3: позиционных системах счислениянайти произведение чисел 1638 и 638

163

63

531

1262

13351

Х

+


Деление: позиционных системах счисления

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в 10-ой системе.

В 2-ичной системе деление выполняется особенно просто: ведь очередная цифра частного может быть только 0 или 1.


1 35 10 14 10
Пример 1: позиционных системах счисленияразделить число 3510 на число 1410

35 14

28 2,5

70

70

0

-


2 100011 2 1110 2
Пример 2: позиционных системах счисленияразделить число 1000112 на число 11102

100011 1110

1110 10,1

1110

1110

0

-


3 43 8 16 8
Пример 3: позиционных системах счисленияразделить число 438 на число 168

43 16

34 2,4

70

70

0

-


1110 позиционных системах счисления2+10012;

678+238;

AF16+9716;

11102-10012;

678-238;

AF16-9716;

11102*10012;

678*238;

AF16*9716;

1010:102;

748:248;

5A16:1E16.

Задание 1:выполните арифметические операции:


Задание 2: позиционных системах счисленияНайти значение выражения:

(A+B)·(C-D),

где A=FA916,

B=10001101,112,

C=775328,

D=A3,216


Задание позиционных системах счисления3:В какой системе счисления справедливо равенство?

  • 23+25=52?

  • 56+44=133?


ad