数学实验之十二
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数学实验之十二 迭代(2)---分形. 中国科学技术大学数学系 陈发来. 实验内容. 什么是分形? 图形迭代 函数迭代 IFS 迭代 分形的应用. 1、什么是分形. 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何 —正则 微积分,复变函数---光滑 反例 1 , Cantor 集合. Cantor 集合 中点数不可数(比有理数还多!),但其区间长度为零! 反例 2 , Weierstrass 函数 其中 1< s<2 且 , W(x) 是处处连续、 处处不可微的函数。对应 s=1.4, 的图象是.

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数学实验之十二 迭代(2)---分形

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Presentation Transcript


2

数学实验之十二迭代(2)---分形

中国科学技术大学数学系

陈发来


2

实验内容

  • 什么是分形?

  • 图形迭代

  • 函数迭代

  • IFS迭代

  • 分形的应用


2

1、什么是分形

  • 分形发展简史

    欧氏几何、解析几何、微分几何—正则

    微积分,复变函数---光滑

    反例 1,Cantor集合


2

Cantor 集合 中点数不可数(比有理数还多!),但其区间长度为零!

反例 2,Weierstrass函数

其中 1<s<2 且 ,W(x) 是处处连续、

处处不可微的函数。对应 s=1.4,

的图象是


2

反例 3,Van Koch 雪花曲线


2

大自然的不规则性:

树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不

规则的。晶体的生长,分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它?

B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van

Koch 曲线的关系,提出了一门描述大自

然的几何形态的学科---分形(Fractal)

英国的海岸线有多长?


2

  • B. B. Mandelbrot


2

  • 分形的特性

  • 1、具有无限精细的结构

  • 2、局部与整体的相似性

  • 3、具有非拓扑维数,并且它大于对应的

  • 拓扑维数

  • 4、具有随机性

  • 5、在大多数情况下,分形可以用非常

  • 简单的方法确定,可能由迭代产生。


2

  • 分形的维数

  • 1、相似维数:设分形 F 是自相似的,即 F 由 m 个子集构成,每个子集放大 c 倍后同 F一样,则定义 F 的维数为

  • 例如,对于Cantor集,

  • 对于Van Koch 雪花曲线,


2

  • 对于一条直线段,将它等分,每段长度为原来的1/N,共分为N段。

  • 将一个正方形每边等分成N段,共有N^2个小正方形。

  • 将一个立方体每边等分成N段,共有N^3个小立方体。

  • 一般地,设一图形可分解为m个与之相似的子图形,每个子图形是原来的1/c. 则图形的维数D满足:c^D=m.


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2、盒子维数:设 是有界集合,其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子维数为

例如,对于 Weierstrass处处连续、处处不可微的函数,其分形维数为 s.


2

  • 分形的应用领域

  • 1、数学:动力系统

  • 2、物理:布朗运动,流体力学中的湍流

  • 3、化学:酶的构造,

  • 4、生物:细胞的生长

  • 5、地质:地质构造

  • 6、天文:土星上的光环

  • 其他:计算机,经济,社会,艺术等等


2

2、图形迭代生成分形

  • 给定初始图形 ,依照某一规则

    对图形反复作用

    得到图形序列

    其极限图形是分形,作用规则 称为生成元。


2

例如,Cantor 集的生成元是

Van Koch 雪花曲线的生成元是

其它实例


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2、Minkowski “香肠”


2

3、Sierpinski地毯


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4、龙曲线


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5、Hilbert曲线


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6、花草树木(L系统)

  • 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合:

    其中:V是一些运动过程集合,

    w是初始形状,

    P是生成式。


2

  • 例如,F表示向前距离d, +表示左转弯a,

    -表示右转弯,[表示压栈,]表示出栈。


2

6、花草树木(L 系统)


2

3、函数迭代产生的分形

用Z表示复数,定义在复平面上的函数

f(Z)称为复变函数。

任意给定初始复数值 ,定义复数序列

对于什么样的初始值 ,复数序列

收敛或有界?


2

  • Julia集

  • 考虑复变函数迭代

  • 固定复参数 c,使得迭代序列  有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集,亦即

  • 迭代序列 有界}


2

  • Mandelbrot集

  • 固定初值 ,使得迭代序列(2)有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即

  • 迭代序列 有界}

  • 则(2)变为


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  • Julia 集的绘制方法:

  • 1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K.

  • 2、设定区域的界值

  • 3、将区域   分成 的网格,分别以每个网格点为初值 利用(3)做迭代。如果对所有的 都有   ,则将象素(i, j) 置为黑色。如果从某一步 n 开始,    ,则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。


2

4、IFS迭代产生分形

  • 混沌游戏

     给定平面上三点A, B, C。再任意给定初始点 , 做下列迭代

当掷出的硬币呈正面

当掷出的硬币呈反面

当掷出的硬币呈侧面

按上述方式迭代数百次,呈现极不规则的图形。故称为混沌游戏。


2

  • IFS迭代

  • IFS--Iterated Function System

  • 取定 n 个仿射变换

  • 以及 n 个概率

  • 任给初值 ,以概率 选取变换

  • 进行迭代

  • 则点集 的聚点集合称为一个IFS吸引子。


2

  • 用IFS绘制分形的方法

  • 1、设图形可视区域为

  • 假设采用L 级灰度的图像绘制,总迭代次数为N。

  • 2、将 V 分成   的网格,格点为 用        表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入  中点的个数。记 则象素 (i,j)的灰度为


2

  • 一些实例

  • Cantor 树 


2

龙曲线


2

  • 利用IFS迭代可以得到图象压缩的有效方法。对给定的图像,利用 IFS 迭代原理,确定一系列仿射变换 ,使得对任给的概率 ,由

    确定的IFS的吸引子就是给定的图像。即要解 IFS 迭代的逆问题。


2

5、分形欣赏


2

分形时装


2

分形音乐

  • 相关主页:

  • www.geocities.com/SiliconValley/Haven/4386

  • http://www.fractal.com.cn/fxiy/index.htm


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分形影院

  • http://www.fractal.com.cn/fxyy/fs/fs005.htm


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