Hoofdstuk 6

1. Hoofdstuk 6 Inleiding tot inferentie

2. Statistische inferentie : = op basis van steekproef uitspraken over populatie + mate van vertrouwen die men aan die conclusies mag hechten • Bij gebruik van statistische inferentie :  data komen van een aselecte steekproef of van een gerandomiseerd experiment

3. 6.1. Schatten met betrouwbaarheid • Steekproefgemiddelde x is een schatter van de populatieverwachting µ • als de waarde = 36 : hoe betrouwbaar is deze schatting ? • Grotere steekproeven steeds betere schatting • steeds naast gemiddelde een indicatie van de variabiliteit nodig

4. A. Statistische betrouwbaarheid • 68 - 95 - 99.7 regel : kans dat gemiddelde binnen een afstand van 2 standaardafwijkingen van de verwachte score van de populatie (µ) ligt is 95% • µ binnen een afstand van 2 standaard-afwijkingen van x • in 95% van alle steekproeven zal het interval x - 2keer stand.afw. tot x + 2keer stand.afw. de werkelijke µ bevatten

5. Op die manier wordt het vertrouwen uitgedrukt in de resultaten van een enkelvoudige steekproef • Voorbeeld : • gemiddelde van steekproef is 461 en standaardafwijking is 4,5 • met 95% betrouwbaarheid ligt de onbekende verwachte score van de populatie tussen • 461 - 9 = 452 • 461 + 9 = 470 • slechts 5% van de steekproeven liggen hierbuiten

6. We weten echter niet of onze steekproef tot die 95% of tot die 5% zal behoren • DUS : • “populatiegemiddelde ligt met 95% betrouwbaarheid tussen x en y” • wil eigenlijk zeggen • “we hebben x en y gevonden volgens een methode die in 95% van de gevallen correcte resultaten geeft”

7. B. Betrouwbaarheidsintervallen • Interval van getallen tussen x en y is het betrouwbaarheidsinterval voor µ • Betrouwbaarheidsinterval = schatting  foutmarge • foutmarge toont iets van de accuraatheid die we onze schatting toekennen, gebaseerd op de variabiliteit van de schatting

8. betrouwbaarheidsniveau = 95% niveau : laat zien hoeveel vertrouwen we hebben dat we met de methode µ zullen bevatten • Elk betrouwbaarheidsinterval : • interval (uit de data) • betrouwbaarheidsniveau (kiezen, meestal > 90%) • Betrouwbaarheidsniveau 95% is C=0.95 • Onbekende parameter wordt  (Griekse letter theta) genoemd

9. Een betrouwbaarheidsinterval van niveau C voor een parameter , is een interval berekend uit de steekproefdata, volgens een methode die kans C heeft om een interval op te leveren dat de werkelijke waarde van  bevat.

10. C. Betrouwbaarheidsinterval voor een populatieverwachting • Constructie van een betrouwbaarheids-interval van niveau C voor de populatieverwachting µ • Populatie : N (µ,  ) dan heeft de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde x een verdeling : steekpoef : N (µ, / n)

11. Om voor elk betrouwbaarheidsinterval van niveau C te weten hoeveel keer we de standaardafwijking moeten nemen kunnen we Tabel D gebruiken C p z* 50% .25 0.674 90% .05 1.645 95% .025 1.960 99% .005 2.576

12. Oppervlakte = C Oppervlakte = 1-C = p 2 Oppervlakte = 1-C 2 - z* 0 z*

13. p is de oppervlakte van de rechterstaart dus gelijk aan : (1 - C) / 2 aangezien er ook nog een linkerstaart is die even groot is bij betrouwbaarheidsinterval • de oppervlakte tussen -z* en +z* is gelijk aan C • het getal z* met rechts daarvan de kans p, wordt de bovenste p-kritieke waarde genoemd (waarbij p = (1-C)/2)

14. De onbekende populatieverwachting µ ligt tussen x - z* (_) n en x + z* (_) n = betrouwbaarheidsinterval van niveau C • Naarmate n groter is zal de foutmarge kleiner zijn en dus het interval korter

15. D. Het gedrag van betrouwbaarheidsintervallen • Betrouwbaarheidsniveau kiest de gebruiker • Best : grote betrouwbaarheid en kleine foutmarge • Grote betrouwbaarheid = bijna altijd correcte antwoorden • Kleine foutmarge = parameter is heel nauwkeurig gelokaliseerd

16. Voor dezelfde data : • grotere betrouwbaarheid impliceert bereidheid om grotere foutmarge te aanvaarden • want : voor grotere betrouwbaarheid : grotere waarde voor z* • Maar voor andere data : • bij stijging van n zal de foutmarge dalen • door wortel in de formule, moeten we n met 4 vermenigvuldigen om de foutmarge door 2 te laten delen (=halveren)

17. E. Het bepalen van de steekproefomvang • op voorhand proberen om : grote betrouwbaarheid en kleine foutmarge te krijgen • foutmarge = z* ( /  n) • nu zoeken naar welke grootte van steekproef ik moet hebben bij een gewenste foutmarge m n = [ (z* ) / m ]2

18. Voorbeeld : formule : n = [ (z* ) / m ]2 betrouwbaarheid 95% en resultaten tot op 0.005 nauwkeurig n = [(1.96)(0.0068) / 0.005] 2 = 7.1 ofwel 8 metingen nodig

19. F. Enkele waarschuwingen • data uit randomisatie en enkelvoudig aselecte steekproef • geldt niet voor getrapte of gestratificeerde steekproeven • geldt niet voor lukraak verzamelde data • aangezien x niet resistent is, spelen uitschieters een belangrijke rol • verdeling moet normaal zijn zeker bij steekproeven kleiner dan 15

20. De standaardafwijking van de populatie  moet gekend zijn, wat irrealistisch is, als n voldoende groot is kan s, de standaardafwijking van de steekproef gebruikt worden • De gebruikte foutmarge geldt enkel voor aselecte steekproeven, drop-out, nonrespons, enz… zorgen voor extra fouten • 95% interval wil zeggen : volgens een methode die voor 95% correcte resultaten geeft

21. 6.2. Significantietoetsen • Doel : beoordelen van data ten gunste van de een of andere bewering omtrent de populatie • Voorbeeld : Kan het dat iemand die niet getraind is toch 6m25 ver springt ? • Kans dat iemand dat zonder training kan is 0.001 • Dus : het is heel waarschijnlijk dat die persoon wel getraind was • Maar : het zou kunnen dat die persoon niet getraind is, maar die kans is zo klein dat het niet waarschijnlijk is

22. A. De redenering bij significantietoesten • Significantietoets = procedure om data te vergelijken met hypothese • Hypothese = bewering over parameters in een populatie • Uitkomst van een significantietoets : uitgedrukt in termven van een kans die aangeeft hoe goed data en hypothese met elkaar overeenkomen

23. B. Formuleren van hypothesen • Vraag : is een effect aanwezig ? • Hypothese : het effect is niet aanwezig = de NULHYPOTHESE (geen effect, geen verschil, …) • Significantietoets om de sterkte van het bewijs tegen de nulhypothese vast te stellen

24. Formuleren van hypothesen • Nulhypothese is H0 • voorbeeld : H0 : A = B of H0 : µ = 23 of H0 :  (rho) = 0 (corr = 0) • Alternatieve hypothese is Ha • waarvan wij verwachten dat ze juist is • voorbeeld : Ha : A > B of Ha : µ < 23 of Ha :  (rho)  0 (wel een verband)

25. Hypothesen verwijzen altijd naar één of andere populatie : dus in populatieparameters • Eenzijdig alternatief : als de richting is aangegeven • Tweezijdig alternatief : als er op voorhand geen duidelijke richting is • Als H0 waar is, heeft de schatter waarden dicht tegen H0 • Waarden die verder van H0 zijn verwijderd vormen een bewijs tegen H0 en voor Ha

26. C. Overschrijdingskansen • Hoe verder de waargenomen uitkomst van H0, dus hoe onwaarschijnlijker dat H0 waar is, hoe sterker de indicatie voor Ha. • Significantietoets meet de kans op het krijgen van een uitkomst die even extreem is of nog extremer dan de waargenomen uitkomst = de overschrijdingskans (p) van de toets

27. Hoe kleiner de overschrijdingskans p, hoe sterker het bewijs tegen H0 • p = 0.03 • p = 0.002 • p = 0.24 • Overschrijdingskans (p) niet zelf kunnen berekenen, wel computeroutput

28. D. Statistische significantie • Soms op voorhand vaststellen hoeveel bewijs we zullen eisen = de beslissende waarde van de overschrijdingskans = het significantieniveau () alpha • Kiezen we  =0.05 dan eisen we dat in niet meer dan 5% van de gevallen H0 toch waar kan zijn

29. Als de overschrijdingskans kleiner dan of gelijk is aan  , zeggen we dat de data statistisch significant zijn op niveau . • De resultaten waren significant (p < 0.01) • Indien p = 0.03, dan zijn de resultaten significant op niveau  = 0.05, maar niet op niveau  = 0.01.

30. Stappen bij een significantietoets : • Formuleer H0 en Ha • Specificeer het significantieniveau  • Doe de statistische berekeningen bv. bereken de correlatie, t-waarde, F-waarde, … • Bepaal de bijhorende p-waarde, de overschrijdingskans. Is de p-waarde kleiner of gelijk aan , dan is het toetsresultaat significant op niveau 

31. E. Toetsen voor een populatieverwachting • z-toets voor een populatieverwachting • H0 : µ = µ0 (µ0 is een bepaalde waarde) • Ha: µ < µ0 eenzijdig : P (Z  z) • Ha: µ > µ0 eenzijdig : P (Z  z) • Ha: µ  µ0 tweezijdig : 2 P (Z  |z| ) • omzetten in z-waarde z = (x- µ0 )  /  n en kijken in tabel A

32. F. Tweezijdige significantie-toetsen en betrouwbaarheidsintervallen • Bij tweezijdig toetsten de p-waarde die in de tabel gevonden wordt vermenigvuldigen met 2 • Computer geeft standaard tweezijdige toets • Tabel geeft standaard de eenzijdige toets • p-waarde (eenzijdig) maal 2 is tweezijdig • p-waarde (tweezijdig) gedeeld door 2 is eenzijdig

33. G. Overschrijdingskansen versus vast niveau  • De overschrijdingskans p is het kleinste niveau  waarbij de data significant zijn. • Deze p-waarde wordt door de computer gegeven of opzoeken in Tabel • Bij vast niveau  enkel beslissen : onder of boven : gemakkelijker maar je hebt minder informatie

34. 6.3. Gebruik en misbruik van toetsen • Uitvoeren van een significantietoets is zeer eenvoudig, zeker met computer • Toetsen moeten wel verstandig gebruikt worden • Onderzoekers doen soms te gemakkelijk toetsen zonder eerst stil te staan bij wat ze doen

35. A. Kiezen van een significantieniveau • Ha is meestal de onderzoekshypothese die bij een lage overschrijdingskans wordt bevestigd • Als H0 een jarenlang aanvaarde waarheid is (plausibiliteit), of als verwerping vergaande consequenties heeft (consequenties), zal  klein moeten zijn

36. Meest gangbaar 10%, 5%, en 1% • Afhankelijk van inhoud van onderzoek deze  kiezen • Meestal wordt 5% gebruikt, dit is eigenlijk een artificiële grens, er is geen breuk tussen wel en niet significant, enkel een bewijs die in sterkte toeneemt • Dus niet zomaar altijd 5% nemen en dit als een definitief BEWIJS zien, steeds als een kans

37. B. Wat statistische significantie niet betekent • “Statistische significantie is niet hetzelfde als praktische significantie” want bij grote steekproeven vinden we vlug significantie • Bv. correlatie van 0.09 kan bij een steekproef van 1000 pp. een p =0.03 geven • Gewoonlijk is het verstandig ook grafisch te kijken • Geef beter ook een betrouwbaarheidsinterval, geeft meer info dan enkel significantie

38. C. Negeer het ontbreken van significantie niet • Het NIET significant zijn kan even belangrijke informatie geven, maar wordt zelden gepubliceerd • Door deze niet te rapporteren gaan andere onderzoekers opnieuw op zoek, zonder effect. • Kan ook niet significant zijn omdat het onderscheidingsvermogen van de toets te zwak was (zie later)

39. D. Statistische inferentie is niet voor alle data geldig • Enkel op correct verzamelde gegevens betekenen significantietoetsen iets • Experimenten • Aselecte steekproef • Dikwijls dit niet voorhanden : telkens op voorhand goed nagaan hoe data verkregen zijn (zie hoofdstuk 3)

40. E. Ga niet zoeken naar significantie • Op voorhand hypothese stellen en dan toetsen, niet op zoek gaan naar alle mogelijke significanties : op 100 toetsen automatisch 5% significant door toeval • Computer is hier probleem : op enkele minuten honderden toetsen uitvoeren : steeds blijven nadenken • Beter : eerst exploratief en op ANDERE data deze hypothese toetsen

41. 6.4. Onderscheidingsvermogen en inferentie bij beslissingsproblemen • Onderscheidingsvermogen van een toets of de power van de toets : is de toets sterk genoeg om de nulhypothese te kunnen verwerpen • Sterke link tussen onderscheidings-vermogen en aantal subjecten : hoe meer subjecten, hoe groter het onderscheidingsvermogen

42. 80% onderscheidingsvermogen is standaard aan het worden, of power van .80 • Als het onderscheidingsvermogen te klein is zal de nulhypothese niet kunnen worden verworpen, zelfs indien de werkelijke waarde ver weg ligt van de nulhypothese • Berekenigen van onderscheidingsvermogen of power enkel met computer

43. Fouten van type 1 en type 2

44. Het significantieniveau  is de kans op een fout van het type 1, of  is kans dat de toets de nulhypothese zal verwerpen terwijl die in feite juist is • Het onderscheidingsvermogen van een significantietoets is 1 - de kans op een fout van de tweede soort : de toets is niet gevoelig genoeg om de nulhypothese te kunnen verwerpen