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MECÂNICA - ESTÁTICA. Momentos de Inércia Cap. 10. Objetivos. Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área. Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área. Discutir o momento de inércia de massa.

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MECÂNICA - ESTÁTICA

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Presentation Transcript


MECÂNICA - ESTÁTICA

Momentos de Inércia

Cap. 10


Objetivos

  • Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área.

  • Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área.

  • Discutir o momento de inércia de massa.


10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

O centróide de um corpoéobtidopelocálculo do primeiromomento de área:

O momento de inérciaéobtidopelocálculo do segundomomento de área:


10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

Um exemplo onde o momento de inércia é utilizado:

A figura mostra a pressão p de um líquido atuando na superfície de uma placa submersa.


10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

Para os momentos de inércia de uma área qualquer:

JO é o segundo momento de área em torno do ponto O ou do eixo z, chamado momento polar de inércia:


Problema 10.A

  • Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos:

  • x

  • y


x

dy

y

Problema 10.A - Solução


dx

y

x

Problema 10.A - Solução


10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

O momento de inércia de uma área em relação a um eixo (x e y) é igual ao momento de inércia desta área em relação ao eixos paralelos passando pelo centróide (C) da área (x´ e y´) mais o produto da área (A) pelo quadrado da distância entre os eixos (dx ou dy).


10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área


Exemplo 10.1

  • Determine o momento de inércia da área retangular mostrada com relação a:

  • eixo centroidal x´

  • eixo xb passando pela base do retangulo

  • polo ou eixo z´  ao plano x´- y´ passando pelo centróide C.


Exemplo 10.1


dx´

C

Exemplo 10.1


10.4 Momentos de Inércia de uma Área por Integração

As vezes o elemento infinitesimal de área não está orientado paralelamente ao eixo para o qual se calcula o momento de inércia.

Nesse caso pode ser usado o teorema dos eixos paralelos (quando esta orientação é vertical) ou simplesmente usar a expressão correta do diferencial do momento de inércia e integrar.


Problema 10.8

  • Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos:

  • x

  • y


(x,y)

y

y=y/2

dx

Problema 10.8 - Solução


(x,y)

y

y=y/2

dx

Problema 10.8 - Solução


(x,y)

y

y=y/2

dx

Problema 10.8 - Solução


10.3 Raio de Giração de uma Área

O raio de giração de uma área plana possui a unidade do comprimento sendo um valor muito usado para o projeto de pilares


Problema 10.B

Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y.


dx

y

x

Problema 10.B - Solução


dx

y

x

Problema 10.B - Solução


10.5 Momentos de Inércia de Área Compostas

  • Um corpo composto consiste de um conjunto de corpos de formas simples.

  • Um corpo pode ser dividido em partes.

  • O momento de inércia de um corpo composto é igual a soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes.


Problema 10.34

  • Determine o centro de gravidade e o momento de inércia da área mostrada em relação aos:

  • eixo x

  • eixo y


Problema 10.34 - Solução

I = I1 - I2 - I3

Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3

Iy = (Iy)1 – (Iy)2 – (Iy)3

2

-

=

1

3

-


Problema 10.34 - Solução

A = A1 - A2 - A3

xg = (A1xg1 – A2xg2 – A3xg3) / A

yg = (A1yg1 – A2yg2 – A3yg3) / A

2

-

=

1

3

-


y

6 in

1

3 in

10 in

5 in

x

Problema 10.34 - Solução


y

3 in

5 in

6 in

2

8 in

x

Problema 10.34 - Solução


Problema 10.34 - Solução

y

3

raio (r) = 2 in

3 in

4 in

x


2

-

-

3

1

Problema 10.34 - Solução


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