第三讲动量和能量

第三讲动量和能量 牛顿运动定律与动量观点和能量观点通常称作解决力学问题的三把金钥匙。其实它们是从三个不同的角度来研究力与运动的关系。解决力学问题时，选用不同的方法，处理问题的难易、繁简程度可能有很大差别，在很多情况下，用动量和能量的观点来解题，会更快捷、更有效。

一、动量和能量概述 冲量基本概念动量更多资源xiti123.taobao.com 动量动量定理基本规律动量守恒定律功功率基本概念动能重力势能弹性势能势能能量电势能动能定理基本规律机械能守恒定律功能原理

二、两个定理 1、动量定理： I合=Δp或F合t=mv2-mv1 2、动能定理： W合=ΔEK或F合S=mv22/2-mv12/2 动量定理：F合t=Δp，描述的是“力在时间上的积累效果”——改变物体的动量；该式是矢量式，即动量的变化方向与合冲量的方向相同。动能定理：F合S=ΔEK，描述的是“力在空间上积累效果”——改变物体的动能；该式是标量式。用动量定理、动能定理解题关键：（1）正确地分析研究对象的受力（2）准确地分析物体的运动。对系统用动量定理分析受力只分析系统外力；对系统用动能定理分析受力不仅分析系统外力，还要考试系统内力做功，一般指系统内滑动摩擦力做功。

例与练 1、钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n 倍，求(1)钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h的比值 H∶h =? (2)钢珠在空中下落的时间T与陷入泥中的时间t的比值T∶t=？析与解 (1)对钢球运动全过程，由动能定理 mg(H+h)－nmgh=0 H + h = n h ∴H : h = n - 1 (2)对钢球运动全过程，由动量定理 mg(T+t)－nmgt=0 T + t = n t ∴ T : t = n - 1

例与练 2、在水平面上有两个完全相同的物体A、B处于静止状态，用水平恒力F1和F2（F1>F2）分别作用在A、B上一段时间后撤去，A、B最后都停下，已知A、B运动的总位移相等。则关于F1和F2的冲量大小P1与P2，下列说法中正确的是( ) （A）P1<P2（B）P1>P2 （C）P1=P2（D）以上情况都有可能对每个物体运动的全过程，动量变化为零，因而合外力的冲量为零。即析与解 P1—ft1=0，P2—ft2=0 要比较P1、P2，只需比较A、B运动的总时间t1、t2.

析与解 在同一个速度—时间图象上作出两个物体的运动图象，因为F1>F2，开始A的加速度大于B的加速度，都撤去外力作用后，A、B的加速度相同，运动图线平行,如图所示。由于A、B两个物体的总位移相等，则两个图线与坐标轴围成的面积也应相同，从而很容易确定：B所用时间t2要长则ft1<ft2，即P1<P2

例与练 3、在北戴河旅游景点之一的南戴河滑沙场有两个坡度不同的滑道AB和AB1（均可看作斜面）．甲、乙两名旅游者分别乘两个相同完全的滑沙撬从A点由静止开始分别沿AB1和AB滑下，最后都停在水平沙面BC上，如图所示．设滑沙撬和沙面间的动摩擦因数处处相同，斜面与水平面连接处均可认为是圆滑的，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙撬上不动．则下列说法中正确的是( ) A．甲在B点的速率一定大于乙在B1点的速率 B．甲滑行的总路程一定大于乙滑行的总路程 C．甲全部滑行的水平位移一定大于乙全部滑行的水平位移 D．甲在B点的动能一定大于乙在B1点的动能

V0 A B C 例与练 4、如图所示，三块完全相同的木块固定在水平地面上，设速度为v0子弹穿过木块时受到的阻力一样，子弹可视为质点，子弹射出木块C时速度变为v0/2.求： (1) 子弹穿过A和穿过B 时的速度v1=? v2=? (2)子弹穿过三木块的时间之比t1∶t2∶t3 =? 析与解 (1)由动能定理: f · 3l = mv02/2- m(v0 /2)2/2 f ·2l = mv02/2- mv22/2 f · l = mv02/2- mv12/2

析与解 (2)由动量定理: f t1 = mv0 - mv1 f t2 = mv1 – mv2 f t3 = mv2 – mv0/2

例与练 5、光滑水平桌面上有两个相同的静止木块，枪沿两个木块连线方向以一定的初速度发射一颗子弹，子弹分别穿过两个木块。假设子弹穿过两个木块时受到的阻力大小相同，忽略重力和空气阻力的影响，那么子弹先后穿过两个木块的过程中( ) （Ａ）子弹两次损失的动能相同（Ｂ）每个木块增加的动能相同（Ｃ）因摩擦而产生的热量相同（Ｄ）每个木块移动的距离不相同

析与解 设木块的长度为L，子弹穿过木块过程中对木块的作用力为f。子弹穿过木块过程中，子弹和木块阻力组成的系统克服阻力做功为fL，所以两次系统损失的动能相同，因摩擦而产生的热量相同。在同一个速度时间图象上作出子弹和木块的运动图象，如图所示。从图象可知，子弹的运动图线与木块的运动图线与坐标轴围成的面积等于木块的长度L，两次应相同，但子弹第二次穿过木块时初速度小，因而时间长;木块第二次的位移大，木块增加的动能多;子弹损失的动能的动能也多。

例与练 6、如图所示，质量为M的木板静止在光滑的水平面上，其上表面的左端有一质量为m的物体以初速度v0，开始在木板上向右滑动，那么：( ) (A)若M固定，则m对M的摩擦力做正功，M对m的摩擦力做负功； (B)若M固定，则m对M的摩擦力不做功，M对m的摩擦力做负功； (C)若M自由移动，则m和M组成的系统中摩擦力做功的代数和为零； (D)若M自由移动，则m克服摩擦力做的功等于M增加的动能和转化为系统的内能之和。

例与练 7、如图所示，质量为M的火箭，不断向下喷出气体，使它在空中保持静止,火箭质量可以认为不变。如果喷出气的速度为v，则火箭发动机的功率为（） (A) Mgv； (B) Mgv； (C) Mv2； (D) 无法确定. 析与解对气体： FΔt= Δmv 对火箭：F=Mg 对气体：PΔt=Δmv2/2=FΔt v/2 ∴ P= F v/2= Mg v/2

三、两个守恒定律 1、动量守恒定律：公式： p =p′或Δp 1=-Δp2 或m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2 ′ 成立条件—（1）系统不受外力或合外力为零；（2）系统所受合外力不为零，但沿某个方向的合外力为零，则系统沿该方向的动量守恒；（3）系统所受合外力不为零，但合外力远小于内力且作用时间极短，如爆炸或瞬间碰撞等。动量守恒定律表达式m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2 ′是矢量式，解题时要先规定正方向。各速度是相对于同一个惯性参考系的速度。v1、v2必须是作用前同一时刻的速度，v1'、v2' 必须是作用后同一时刻的速度。

三、两个守恒定律 2、机械能守恒定律：公式： E =E′或ΔEp= －ΔEk 或成立条件——只有重力（或弹簧的弹力）做功。如果除了重力（或弹簧的弹力）做功以外，还有其它力做功W非，机械能不守恒；机械能变化ΔE =W非特别要指出，系统内滑动摩擦力做功Wf =- fS相，这里分两种情况：（1）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，S相为相对位移大小；（2）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，S相为相对路程。

例与练 8、如图示的装置中，木块与水平面的接触是光滑的，子弹沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中（） A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量不守恒，机械能守恒 C. 动量守恒，机械能不守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒析与解子弹射入木块过程系统要克服介质阻力做功，机械能不守恒；整个过程墙壁对弹簧有向右的弹力，系统合外力不为0，动量不守恒。

A B C D 例与练 9、如图示:质量为M的滑槽静止在光滑的水平面滑槽的AB部分是半径为R的1/4的光滑圆弧,BC部分是水平面,将质量为m 的小滑块从滑槽的A点静止释放,沿圆弧面滑下,并最终停在水平部分BC之间的D点,则( ) • 滑块m从A滑到B的过程,物体与滑块组成的系统动量守恒、机械能守恒 • B. 滑块滑到B点时，速度大小等于 • C. 滑块从B运动到D的过程，系统的动量和机械能都不守恒 • D. 滑块滑到D点时，物体的速度等于0

例与练 10、一个质量为30kg 的小孩和质量为50kg的小车以5m/s的速度在光滑水平面上运动，若小孩以相对于车4m/s的水平速度从小车的尾部跳下后，小车的速度多大？析与解注意：要把小孩跳下车后的速度转化为对地速度 V人对地=V人对车+V车对地=V1+V2 且V1 = - 4m/s v2为小孩跳下车后小车的速度,以小车的运动方向为正方向，由动量守恒定律

例与练 11、一个不稳定的原子核、质量为M，开始时处于静止状态、放出一个质量为m的粒子后反冲，已知放出粒子的动能为E0，则反冲核的动能为 ( ) (A) E0 (B) (C) (D) 析与解又由动量守恒：p-p0=0

v=5m/s M=70kg m=20kg u=5m/s 例与练 12、一个人坐在光滑的冰面的小车上，人与车的总质量为M=70kg，当他接到一个质量为m=20kg以速度v=5m/s迎面滑来的木箱后，立即以相对于自己u=5m/s的速度逆着木箱原来滑行的方向推出，求小车获得的速度。析与解整个过程动量守恒，但是速度u为相对于人的速度，规定木箱原来滑行的方向为正方向对整个过程由动量守恒定律， mv =MV+m v箱对地= MV+ m( u+V) V=2.2m/s 方向跟木箱原来滑行的方向相同

V0=2m/s V0=2m/s 乙甲例与练 13、甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg．游戏时，甲推着一质量为m=15km的箱子，和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行．乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免和乙相碰？

乙 V0=2m/s Vx V0=2m/s V0=2m/s v1 v1 v1 乙甲甲甲乙析与解甲、乙不相撞的临界条件是速度相同。对甲、乙和箱由动量守恒定律（向右为正） (M+M+m)V1=(M+m-M)V0 (M+m)V0=MV1+mvx 对甲和箱（向右为正）对乙和箱（向右为正） -MV0+mvx =(M+m)V1 VX=5.2m/s V1=0.4m/s

v0 例与练 14、平直的轨道上有一节车厢，车厢以12m/s的速度做匀速直线运动，某时刻与一质量为其一半的静止的平板车挂接时，车厢顶边缘上一个小钢球向前滚出，如图所示，平板车与车厢顶高度差为1.8m，设平板车足够长，求钢球落在平板车上何处？（g取10m/s2）

v0 析与解两车挂接时，因挂接时间很短，可以认为小钢球速度不变，以两车为对象，由动量守恒 Mv0=(M＋M/2)v ∴v=2v0 /3 = 8m/s 钢球落到平板车上所用时间为 t时间内平板车移动距离 s1=vt=4.8m t 时间内钢球水平飞行距离 s2=v0t=7.2m 则钢球距平板车左端距离 x=s2－s1=2.4m。

例与练 15、质量为M=4.0kg的平板小车静止在光滑的水平面上，如图所示，当t=0时，两个质量分别为mA=2kg、mB=1kg的小物体A、B都以大小为v0=7m/s。方向相反的水平速度，同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时，没有相碰，A、B与车间的动摩擦因素μ=0.2，取g=10m/s2,求：（1）A在车上刚停止滑动时，A和车的速度大小（2）A、B在车上都停止滑动时车的速度及此时车运动了多长时间。（3）画出小车运动的速度—时间图象。

析与解 （1）当A和B在车上都滑行时， A向右减速，B向左减速，小车向右加速，所以首先是A物块速度减小到与小车速度相等。设A减速到与小车速度大小相等时，所用时间为t1，其速度大小为v1，则： v1=v0-aAt1μmAg=mAaB v1=a车t1μmAg-μmBg=Ma 则v1=1.4m/s t1=2.8s （2）根据动量守恒定律有： mAv0-mBv0=(M+mA+mB)v 则v=1m/s 总动量向右，当A与小车速度相同时，A与车之间将不会相对滑动了。设再经过t2时间小物体A与B、车速度相同，则： -v=v1-aBt2μmBg=mAaB则t2=1.2s 则A、B在车上都停止滑动时，车的运动时间为t=t1+t2=4.0s

析与解 （3）作小车运动图象，首先要分析小车的运动过程；再求出各个过程的初末速度和经历的时间。由（1）可知t1=2.8s时，小车的速度为v1=1.4m/s，在0~t1时间内小车做匀加速运动。在t1~t2时间内小车做匀减速运动，4s末速度为v=1.0m/s,小车的速度—时间图如图所示：

四、碰撞中的动量守恒和能量守恒 完全弹性碰撞—— 动量守恒，动能不损失（质量相同，交换速度）完全非弹性碰撞—— 动量守恒，动能损失最大。（以共同速度运动）非完全弹性碰撞— 动量守恒，动能有损失。碰撞后的速度介于上面两种碰撞的速度之间. 碰撞的分类

v0 m2 m1 例与练 16、如图所示，光滑水平面上质量为m1=2kg的小球以v0=2m/s的初速冲向质量为m2=6kg静止的足够高的光滑的斜劈体，斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧。求：（1）小球m1滑到的最大高度（2）小球m1从斜面滑下后，二者速度（3）若m1= m2小球m1从斜面滑下后，二者速度

析与解 （1）以向右为正，对上升过程水平方向由动量守恒 m1V0 =（m1+m2）V V= m1V0/ （m1+m2） =0.5m/s 对系统上升过程由机械能守恒 h=0.15m （2）以向右为正，对系统全过程由动量守恒对系统全过程由机械能守恒

析与解 联立以上两式，可得（3）若m1= m2 m1< m2 , v1<0 m1反向。注意m1= m2交换速度。

例与练 17、如图所示，质量为m的有孔物体A套在光滑的水平杆上，在A下面用足够长的细绳挂一质量为M的物体B。一个质量为m0的子弹C以v0速度射入B并留在B中，求B上升的最大高度。 v0 C

析与解 向左为正，对B、C碰撞由动量守恒得向左为正，对A、B、C全过程水平方向由动量守恒得注意:对A、B、C全过程由机械能守恒吗? 对A、B、C上升过程由机械能守恒得

例与练 18、在光滑的水平面上，有A、B两个小球向右沿同一直线运动，取向右为正方向，两球的动量分别为pA＝5kgm/s，pB＝7kgm/s，如图所示。若两球发生正碰，则碰后两球的动量变化量ΔpA、ΔpB可能是（） A、ΔpA＝3 kgm/s，ΔpB＝3 kgm/s B、ΔpA＝－3 kgm/s，ΔpB＝3 kgm/s C、ΔpA＝3 kgm/s，ΔpB＝－3 kgm/s D、ΔpA＝－10 kgm/s，ΔpB＝10 kgm/s

析与解 可以排除选项A 由A、B碰撞动量守恒由A、B位置关系，碰后ΔpA<0， ΔpB>0 排除选项C 设A、B的质量分别为mA、mB 设ΔpA＝－10 kgm/s，ΔpB＝10 kgm/s 则碰后pA＝－5 kgm/s，pB＝17 kgm/s 则碰后VA＝－5 / mA，VB＝17/mB 则碰后A、B总动能为而碰前A、B总动能为很明显碰后A、B总动能大于碰前A、B总动能，不可能，排除D，选B。

L S v0 v0 m m V M M 例与练 19、质量为m＝20Kg的物体，以水平速度v0＝5m/s的速度滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量为M＝80Kg，物体在小车上滑行L＝4m后相对小车静止。求：（1）物体与小车间的滑动摩擦系数。（2）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动的距离。 V=1m/s （m+M)V=mv0 析与解由动量守恒定律物体与小车由动能定理 -μmg L = (m+M)V2/2 - mv02/2 ∴μ= 0.25 对小车μmg S =MV2/2 ∴ S=0.8m

S=2m m b v0 M a 例与练 20、如图，长木板ab的b端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg，a、b间距离s=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态。现令小物块以初速v0 =4.0m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。

析与解 设木板和物块最后共同的速度为v ，由动量守恒 mv0 =(m+M)v ① 设全过程损失的机械能为ΔE，木块在木板上相对滑动过程损失的机械能为 W=fΔs=2μmgs ③ 注意：Δs为相对滑动过程的总路程碰撞过程中损失的机械能为

C O R m I B A M 例与练 21、如图所示，M=2kg的小车静止在光滑的水平面上．车面上AB段是长L=1m的粗糙平面，BC部分是半径R=0.6m的光滑1/4圆弧轨道，今有一质量m=1kg的金属块静止在车面的A端．金属块与AB面的动摩擦因数μ=0.3．若给m施加一水平向右、大小为I=5N·s的瞬间冲量，（g取10m/s2）求: （1）金属块能上升的最大高度h （2）小车能获得的最大速度V1 （3）金属块能否返回到A点？若能到A点，金属块速度多大？ ∴ h=0.53 m

C O R m I B A M 析与解 I=mv0 v0=I/m=5m/s （1）到最高点有共同速度水平V 由动量守恒定律 I= (m+ M)V 由能量守恒定律 mv02/2 =(m+ M)V2/2+μmgL+mgh ∴ h=0.53 m

C O R m I B A M 析与解（2）当物体m由最高点返回到B点时，小车速度V2最大,向右为正，由动量守恒定律 I= - mv1+ MV1 由能量守恒定律 mv02/2 = mv12/2+ MV12/2+ μmgL 解得：V1=3m/s （向右）或v1=-1m/s （向左）思考：若R=0.4m，前两问结果如何？

C O R m I B A M 析与解（3）设金属块从B向左滑行s后相对于小车静止，速度为V，以向右为正，由动量守恒 I = (m+ M)V 由能量守恒定律 mv02/2 = (m+ M) V2 /2 + μmg（L+s）解得：s=16/9m＞L=1m 能返回到A点由动量守恒定律I = - mv2+ MV2 由能量守恒定律 mv02/2 = mv22 /2 + MV22 /2 + 2μmgL 解得：V2=2.55m/s （向右） v2=-0.1m/s （向左）

五、与弹簧关联的动量和能量问题 与弹簧关联的动量和能量问题的解题要点：（1）首先要准确地分析每个物体在运动过程中的受力及其变化情况，准确地判断每个物体的运动情况。（2）注意确定弹簧是处于伸长状态还是压缩状态，从而确定物体所受弹簧弹力的方向。（3）注意临界状态：弹簧最长或最短及弹簧恢复原长状态。（4）判断系统全过程动量和机械能是否守恒，如果守恒则对全对象全过程用动量守恒定律和机械能守恒定律。若全过程机械能不守恒，则考虑分过程用机械能守恒定律或动能定理。

例与练 22、如图所示，光滑的水平轨道上，有一个质量为M的足够长长木板，一个轻弹簧的左端固定在长木板的左端，右端连着一个质量为m的物块，且物块与长木板光滑接触。开始时，m和M均静止，弹簧处于原长。现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1、F2，从两物体开始运动以后的整个过程中，对m、M和弹簧组成的系统（弹簧形变不超过弹性限度），下列说法正确的是（） A、由于F1、F2等大反向，故系统动量守恒 B、由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒 C、由于F1、F2分别对m、M做正功，故系统机械能不断增大 D、当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时， m、M动能最大 F1 m F2 M

v1 F F F1 F2 m M v2 F F F1 F2 m M 析与解由于F1和F2等大反向，对m、M和弹簧组成的系统，合外力为0，故系统动量守恒。　　　　由于F1和F2分别对m、M做功，故系统机械能不守恒开始弹簧弹力F小于拉力 F1和F2 ， m、M分别向右、向左加速运动，系统弹性势能和总动能都变大，总机械能变大。 v1 当弹簧弹力F大于拉力 F1和F2后， v2 m、M分别向右、向左减速运动，系统弹性势能变大，总动能变小，但总机械能变大。

F F F2 m M 析与解当m、M速度减为0以后， m、M分别向左、向右加速运动，　　　　这时F1和F2分别对m、M做负功，系统机械能变小。　　　　 v1 所以系统机械能不是一直变大。　　　　 F1 v2 讨论：　　（1）系统总动能最大时总机械能是否最大？　　弹簧弹力F大小等于拉力F1和F2时 m、M速度最大，系统总动能最大；当m、M速度都为0时系统总机械能最大。　　（2）弹性势能最大时，系统的总机械能是否最大？　　当m、M速度都为0时系统总机械能和弹性势能都最大。

V0 A B C 例与练 23、如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平面上。B、C间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块A以初速度v０沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B、C粘合在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离，脱离弹簧后C的速度为v０. 求弹簧所释放的势能ΔE.

析与解 向右为正，对A、B、C碰撞过程由系统动量守恒：　　　　 mv0 =3mv1 得v1 =v0/3 当弹簧恢复原长时，C脱离弹簧，向右为正，对A、B、C全过程由系统动量守恒：　　　　 mv0 =2mv2+ mv0 得v2 =0 对A、B、C碰撞以后的过程由机械能守恒：　　　　注意：A、B碰撞过程有机械能损失！　　　　 V1 V1 A B C

例与练 24、如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平面上。B、C用轻弹簧相连处于静止状态。物块A以初速度v０沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B粘合在一起。求：（1）弹簧的最大弹性势能Ep. （2）以后AB会不会向左运动？ V0 A B C

V1 AB C V1 V2 F F AB C V1 V2 AB C V1 V2 F F AB C V2 V1 AB C 析与解先分析AB、C的受力和运动情况：　　　　 V1↓ V2↑ V1↓ V2↑ V1↑ V2 ↓ V1↑ V2 ↓ 小结：　　　　（1）两物体速度相同时，弹簧最短（或最长），弹簧弹性势能最大，系统总动能最小。　　　　（2）弹簧恢复原长时，两物体速度分别达到极限。

第三讲 动量和能量