Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 113

Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde PowerPoint PPT Presentation


  • 96 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde. Inhoud De grens van onze kennis De ruimtetijd tegenover de kwantumpakketjes De kosmische symfonie Het weefsel van ruimtetijd en de snarentheorie Een Theorie voor Alles. The Elegant Universe.

Download Presentation

Snaren Theorie Dr. Ronald Westra Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

Snaren Theorie

Dr. Ronald Westra

Universiteit Maastricht, vakgroep Wiskunde


The elegant universe

  • Inhoud

  • De grens van onze kennis

  • De ruimtetijd tegenover de kwantumpakketjes

  • De kosmische symfonie

  • Het weefsel van ruimtetijd en de snarentheorie

  • Een Theorie voor Alles

The Elegant Universe


Snarentheorie

LEZING 5:Een Theorie voor Alles

Snarentheorie


0 korte samenvatting

0. Korte samenvatting


Wat zijn snaren

0. Korte samenvatting van voorgaande

Wat zijn snaren?

Snaren zijn erg klein: 1,6x10-35 m

Melkweg: 1021 m

Zichtbare heelal: 1027 m

Virus: 6x10-8 m

snaar: mens ≈ virus : zichtbare heelal


0 korte samenvatting van voorgaande

0. Korte samenvatting van voorgaande


Muzikale noten en de vioolsnaar

0. Korte samenvatting van voorgaande

Muzikale noten en de vioolsnaar

Massa’s en ladingen en de elementaire snaar


Zwaartekracht en qm met snaren

0. Korte samenvatting van voorgaande

Zwaartekracht en QM met snaren

Dat heeft een belangrijke consequentie:

Als niets in de natuur op kleinere schaal dan h (= de Planck-constante) kan ‘aftasten’, dan hebben de catastrophale effecten op schalen kleiner dan h ook geen enkele invloed!!!

Het gevolg is dat de oneindigheden in QM en SM nu geheel verdwijnen !!! Er is geen quantumschuim.

Filosophisch: geen manier om kleiner dan h te kijken.

(Dus bestaat het niet???)


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

0. Korte samenvatting van voorgaande


Interacties

0. Korte samenvatting van voorgaande

Interacties


Rondtollende spinoren

0. Korte samenvatting van voorgaande

Rondtollende spinoren

Een spin of een spinor is een rondtollende deeltje.

Het heeft een draairichting en een grootte (draaisnelheid).

Maar wat is de spin van een puntmassa?

Dat is niet voor te stellen en heet daarom maar een intrinsieke grootheid.


Supersymmetrie en superpartners

0. Korte samenvatting van voorgaande

Supersymmetrie en superpartners

In 1971 begreep men dat rotaties, dus de spin, een wezenlijke extra symmetrie in de Natuurwetten konden opleveren.

Deze mogelijk extra wiskundige symmetrie in de noemt men nu super-symmetrie, afkorting: SUSY.


Supersymmetrie v r st

0. Korte samenvatting van voorgaande

Supersymmetrie vóór ST

Supersymmetrie is tot nu toe nog nooit waargenomen!

Het zou echter vreemd zijn als de Natuur een symmetrie zomaar laat liggen!

Bovendien, zelfs in puntmassa-theorien als het SM blijken allerlei netelige kwesties elegant oplosbaar als we SUSY aannemen.

Met name allerlei processen vergden zeer nauwe zetting van de SM-natuurconstanten, 1 op de 1015, maar met SUSY verdween dit.


Supersymmetrie in st

0. Korte samenvatting van voorgaande

Supersymmetrie in ST

De oorspronkelijke snaartheorie (ST) (Veneziano en Susskind) ging over bosonen (=geheeltallige spins), later kwamen er ook STs voor fermionen (halftallige spins).

Vanaf 1971 combineerde men die in één ST.

Toen (1977) bleek – tot ieders verrassing – dat fermion- en boson-vibraties altijd samengingen: voor elke fermion moest een boson ontstaan en vv

Maw: Deze ST was automatisch en gratis SUSY !!!


Het bedriegelijke van het bekende

0. Korte samenvatting van voorgaande

Het bedriegelijke van het bekende

Intuitie ‘leert’ ons dat de ruimte 3 dimensies heeft, en dat tijd 1 dimensionaal is.

Einstein leerde ons met de ART dat zwaartekracht een ‘illusie’ is van een gekromde 4D-ruimtetijd.

De truck is dus dat de zwaartekracht vervangen kan worden door kromming te introduceren in 4D ruimtetijd

De extra dimensie is compect: opgerold, heel klein.


De compacte dimensie

0. Korte samenvatting van voorgaande

De compacte dimensie

P 192


Meer dimensionale modellen

0. Korte samenvatting van voorgaande

Meer-Dimensionale Modellen

Vanaf 1975 veel interesse in meer-dimensionale modellen, de zg Kaluza-Klein theorie.

Met name de SUSY modellen en de zg Super-Gravity SUGR

De hoger-dimensionale theorien gaven krachten die veel op EM, Zwak en Sterk leken, SUSY zorgde dat de divergenties mild bleven, maar andere zaken (chiraliteit: verschil links en rechts) kreeg men er niet in.


Meer dimensies en snarentheorie

0. Korte samenvatting van voorgaande

Meer dimensies en snarentheorie

In ST zijn deze extra dimensies ooknoodzakelijk, want pas vanaf 10 ruimtelijke dimensies zijn er stabiele snaar-vibraties, in minder dimensies bestaan geen stabiele snaren!

ST heeft dus echt minimaal 10 dimensies nodig: daarvan is 1 tijd en de rest ruimtelijke dimensie.

Zonder die 10 dimensies is er geen zinvolle ST !!!


Hoe zien de opgerolde dimensies er uit

0. Korte samenvatting van voorgaande

Hoe zien de opgerolde dimensies er uit?

De extra ruimtelijke dimensies kunnen niet zomaar lukraak opgerold worden.

In 1984 vond men dat slechts een bepaalde meetkundige klasse van 6-D objecten aan alle noodzakelijke voorwaarden voldeed.

Dit zijn de zg Calabi-Yau ruimten.


Hoe zien de opgerolde dimensies er uit1

0. Korte samenvatting van voorgaande

Hoe zien de opgerolde dimensies er uit?

Een 6D Calabi-Yau ruimte geprojecteerd op 3D ziet er zo uit:


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

0. Korte samenvatting van voorgaande

Op elk punt van de ruimtetijd zit nu zo’n 6-dimensionale Calabi-Yau ruimte. Het is dus in deze totale 10-D ruimte dat de supersnaren moeten trillen!


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

0. Korte samenvatting van voorgaande

Wat gebeurt er als we de ruimte laten krimpen of groeien?

In de klassieke puntdeeltjes-natuurkunde is er geen beperking hoe klein het heelal kan worden.

Verder laat de Riemann-meetkunde dus de AR theorie toe dat de ruimtetijd willekeurig klein kan worden gemaakt (of althans gedacht).

Nieuw aan de snaartheorie is dat de snaren verhinderen dat de ruimte willekeurig klein worden. Zowel open, gesloten, als gewonden snaren.


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

0. Korte samenvatting van voorgaande

Gesloten snaren kunnen om de gekromde dimensie zitten.

Dat heeft grote gevolgen


Interacties1

0. Korte samenvatting van voorgaande

Interacties


Interacties2

0. Korte samenvatting van voorgaande

Interacties


Interacties3

0. Korte samenvatting van voorgaande

Interacties


Het spectrum van snaar states

0. Korte samenvatting van voorgaande

Het Spectrum van Snaar-states

Ordinare vibraties: gewone trillingen in de snaar

: omgekeerd evenredig met straal R van opgerolde dimensie (dus 1/R)

: recht evenredig met het trillingsgetal T

Uniforme vibraties: bewegingen van de gehele snaar

: recht evenredig met straal R van opgerolde dimensie (dus R)

: recht evenreding met windingsgetalW

p239


Snaar spectra

0. Korte samenvatting van voorgaande

Snaar spectra


Snaar spectra1

0. Korte samenvatting van voorgaande

Snaar spectra


Het spectrum van snaar states1

0. Korte samenvatting van voorgaande

Het Spectrum van Snaar-states

Hierdoor zijn straat R en straal 1/R on-onderscheidbaar geworden

Het is onmogelijk on een fysisch

experiment te bedenken waarmee

je kunt testen of het heelal een

straal R dan wel 1/R heeft

(NB voor gemak h even op

1 gesteld)


De kleinste afstand

0. Korte samenvatting van voorgaande

De kleinste afstand

Om te meten hebben we alleen het lichtste soort foton beschikbaar; dat is de ongewonden in een groot heelal (R groter dan h ), en de gewonden in een klein heelal (R kleiner dan h ).

Beide methoden geven lengten voor de ruimtestraal groter dan h. Op deze manier blijven wederom lengten kleiner dan de Planck-schaal h onbereikbaar.

Dit komt omdat het fysisch begrip ‘afstand’ subtiel is. Bij opgerolde dimensies kleiner dan h, past toch een heelal met kromtestraal groter dan h.


De spiegelsymmetrie

0. Korte samenvatting van voorgaande

De Spiegelsymmetrie

De ruimtetijd is de klankkast van de strings en bepaalt hoe we ze waarnemen: de natuurwetten.

We zagen net dat gekromde ruimten met straal R en straal 1/Rononderscheidbaar zijn. We kunnen niet door een experiment beslissen in welke we zitten. Daardoor lijkt het alsof steeds in een groot heelal zitten.

Zijn er meer klassen van ruimte die topologisch ‘anders’ zijn, maar die we niet kunnen onderscheiden?


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

0. Korte samenvatting van voorgaande

Denk eraan, dit is een 3D-projectie van een 6D-plaatje!

Het kan zijn dat dit gat in zijn definitie 5D nodig heeft

En dit gat 4D

En dit gat 2 D

En dit gat 6D

En dit 3D

Totaal 5 gaten: 3 in even aantal, 2 in oneven aantal D


Orbifolding calabi yau ruimten

0. Korte samenvatting van voorgaande

Orbifolding Calabi-Yau ruimten

CYR1

CYR2

Het aantal even-D gaten in CYR1 = het aantal oneven-D gaten in CYR2

Het aantal oneven-D gaten in CYR1 = het aantal even-D gaten in CYR2

Het totaal aantal gaten in CYR1 = Het totaal aantal gaten in CYR2


De spiegelsymmetrie1

0. Korte samenvatting van voorgaande

De Spiegelsymmetrie

Spiegel-varieteit: (Greene, Plesser, Candelas, 1987)

Spiegel-paren:

Topologischverschillende CYRn die natuurkundig equivalent zijn (dus dezelfde natuurwetten geven).

p 255

Spiegel-paren


De natuurkunde van spiegelsymmetrie

0. Korte samenvatting van voorgaande

Spiegel-paren

makkelijk

moeilijk

De Natuurkunde van Spiegelsymmetrie

Wiskundigen werkten al aan Calabi-Yau ruimten (CYRn) ver voor de snarentheorie in de z.g. Algebraische Geometrie.

Sommige eigenschappen van CYRn waren echter veel te moeilijk om op te lossen. Maar dankzij spiegel-varieteiten uit snaartheorie is er een leuke oplossing. De spiegel-varieteit van een ‘moeilijke’ CYR blijkt een makkelijke CYR!

p 259


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

0. Korte samenvatting van voorgaande

  • Kan ruimtetijd plaatselijk scheuren tgv grote krachten of drukken?

  • ‘Scheuren’ is hier in de topologische betekenis van het woord.

  • In de Algemene Relativiteits Theorie van Einstein kan de ruimte niet scheuren.

  • Maar kan dit wel in snaartheorie?

  • In ST blijkt de ruimte wel te kunnen scheuren!


Het spiegel perspectief

0. Korte samenvatting van voorgaande

boven: ruimte-scheurende flop-overgang

A

A’

B

B’

onder: vanuit het spiegelperspectief

Het Spiegel-perspectief

Bewijs dat als B het SP van A is dat A’ het SP van B’ is.

En dat de fysica van A’ en B’ hetzelfde zijn.

Dit blijkt precies waar te zijn! Dus kan de ruimte echt scheuren! Maar waarom merken we daar niets van???


De verklaring volgens witten

0. Korte samenvatting van voorgaande

De Verklaring volgens Witten

Waarom merken we niet dat de ruimte scheurt?

Edward Witten liet zien dat als een snaar de scheur omcirkeld (iets wat een puntdeeltje niet kan doen) dat deze de catastrophale effecten van de scheur voor de rest van de kosmos afschermd.


De verklaring volgens witten1

0. Korte samenvatting van voorgaande

De Verklaring volgens Witten

Maar wat als er geen snaar is die de scheur omcirkeld ?

Denk aan het wezenlijke kenmerk van de Quantum Mechanica: alle mogelijke paden van begin tot eind worden feitelijk bewandeld!


Sommeren over alle mogelijke paden

0. Korte samenvatting van voorgaande

Sommeren over alle mogelijke paden


De gevolgen van scheurende ruimten

0. Korte samenvatting van voorgaande

De gevolgen van scheurende ruimten

Er zijn geen drastische gevolgen van scheuren in de ruimte , wel varieren de massa’s van de deeltjes licht maar niet abrupt.

Kunnen deze scheuren ook in de ‘echte’ grote dimensies gebeuren?

Ja, wederom vanwege de dualiteit tussen groot en klein

Kunnen deze scheuren ook vandaag of morgen gebeuren, of in het verleden?

Ja, maar de massa’s van elementaire deeltjes blijkt heel erg stabiel te zijn. Misschien zitten we wel in zo’n breuk.


Scheuren en discontinuiteiten

0. Korte samenvatting van voorgaande

Scheuren en discontinuiteiten


Vervolg

VERVOLG


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

Een Theorie voor Alles


1 de tweede superstringrevolutie

1. De tweede superstringrevolutie


De ultieme theorie

1. De tweede superstringrevolutie

De Ultieme Theorie

Is er misschien maar één enkele manier waarop de Natuurwetten logisch in elkaar kunnen zitten, zodanig dat zelfs God geen enkele vrijheid had om andere te maken dan deze?

(Einstein, in zijn speurtocht naar de “Grand Unified Theory”)

p 283


De ultieme theorie1

1. De tweede superstringrevolutie

De Ultieme Theorie

Zou het zo kunnen zijn dat er dus geen andere theorie mogelijk is dan de enige ultieme? Dat andere theorieen paradoxen of tegenspraken bevatten.

(D it doet aan Descartes denken …)

Maar waarom zijn er dan vijf verschillende van?

p 283


5 snaartheorie n

1. De tweede superstringrevolutie

5 Snaartheorieën

Het grote probleem in snaartheorie is dat er 5 totaal verschillende snaartheorieen (STs) zijn.

Tot 1995 was er een sektarische strijd tussen de vijf STs en dacht men dat er een waar was en de anderen niet.

In 1995 beschreef Edward Witten hoe die 5 STs samen met Superzwaartekracht SUGR samen één enkele theorie vormen: de zg M-theorie.

p 283


Meerduidige snaartheorie n

1. De tweede superstringrevolutie

Meerduidige Snaartheorieën

  • Wat was de verwarring? Snaartheorien staan op twee verschillende manieren meerdere oplossingen toe.

  • [1] Er zijn vijf verschillende snaartheorieen.

  • Ze hebben veel overeenkomsten: de manier waarop ze vibreren, de massa’s en (hyper)ladingen, de struktuur van de ruimte die ze opleggen (Calabi-Yau), maar ook wezenlijke verschillen


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

1. De tweede superstringrevolutie


Vijf snaartheorie n

1. De tweede superstringrevolutie

Vijf Snaartheorieën


Type ii snaartheorie n

1. De tweede superstringrevolutie

Type II Snaartheorieën

Beide type II STs zijn supersymmetrisch. Echter, in type IIA zijn klokrichting en tegenklokrichting rotaties anders, terwijl deze in type IIB identiek zijn (verschillende fysische eigenschappen, bv vibratiepatronen).


Heterotische snaartheorie n

1. De tweede superstringrevolutie

Heterotische Snaartheorieën

Beide Heterotische STs zijn zeer verschillend maar ook SUSY. Voor kloksgewijze rotaties zijn de snaren identiek aan type II snaren. Maar voor tegen-kloksgewijze rotaties zijn ze gelijk aan de originele 26D Bosonische snaren (van Suskind uit 1969). Deze schijnbare tegenspraak (Grieks: heterosis) valt enigszins te begrijpen doordat de extra 16D zeer compact zijn opgerold. Er zijn twee manieren waarop die extra 16D opgevouwen kunnen zijn: (Heterotic SO(32): H-O en Heterotic E8xE8: H-E) – dit is de reden van hun verschillende naam.

p XXX


Type i snaartheorie

1. De tweede superstringrevolutie

Type I Snaartheorie

Het type I ST lijkt veel op type IIB ST, maar hier zijn ook open snaren toegestaan, terwijl in type II alleen gesloten snaren zijn.


Meerduidigheid in sts

1. De tweede superstringrevolutie

Meerduidigheid in STs

  • Behalve dat er vijf verschillende STs zijn nog dit:

  • [2] Elke snaartheorie lijkt meerdere oplossingen te hebben.

  • Bijvoorbeeld de vergelijking:

  • twee maal een bepaald getal is 10 (dat is: 2X = 10)

  • heeft één oplosing: 5 (X = 5).

  • Maar de vergelijking:

  • nul maal een bepaald getal is 0 (dat is: 0X = 0)

  • heeft oneindig veel oplossingen (want elk getal keer nul is nul).

  • p 284


Meerduidige snaartheorie n1

1. De tweede superstringrevolutie

Meerduidige Snaartheorieën

Ook deze meerduidigheid is van toepassing; de STs staan meerdere oplossingen toe, en welke daarvan beschrijven onze wereld?

Nu is duidelijk dat dit veroorzaakt wordt omdat we alleen met benaderde vergelijkingen werken, domweg omdat we de echte vergelijking nog niet kennen.

Ook is duidelijk dat de vijf verschuillende STs in een ‘betere’ opzet gewoon facetten van één enkele theorie (‘M’) zijn.

p 285


Nieuw in de 2e ssrev

1. De tweede superstringrevolutie

Nieuw in de 2e SSRev

Edward Witten heeft geschetst hoe de 5 STs samenhangen, namelijk door dualiteiten. Wezenlijk is het volgende:

1. Op deze manier zijn al deze 10D-theorieen onderdeel van één enkele11D-theorie – de M-theorie. Net als bij ART en in Kaluza-theorie de ene extra D verschillende krachten verenigd, kan deze ene extra D de verschillende STs verenigen.

Deze extra D is er echter niet kunstmatig bijgehaald maar eerder over het hoofd gezien.

p 287


Nieuw in de 2e ssrev1

1. De tweede superstringrevolutie

Nieuw in de 2e SSRev

2. De ‘ingredienten’ in M-theorie zijn niet alleen de 1D-strings, maar ook 2D-membranen (genaamd branen of 2-branen), 3D-bubbels (3-branen) en nog meer complexe en hoger-dimensionale ‘dingen’ (de zg p-branen).

Op deze manier biedt M-theorie een prachtig overkoepelende theorie die alle vijf STs verenigd.

Grootste probleem: M-theorie bestaat nog niet!

We kennen alleen enkele groffe corrspondenties.

p 288


De vergelijkingen van de sts

1. De tweede superstringrevolutie

De Vergelijkingen van de STs

Elk van de STs zijn vanuit een fysisch redelijk standpunt geformuleerd. De verwachting was dat ze allen eigenlijk equivalent zouden moeten zijn.

In de klassieke natuurkunde was dat al eerder gebeurd, zowel de (i) Newton-, (ii) Lagraniaan-, (iii) Hamiltoniaan-, (iv) ‘kleinste actie’-, en (v) ergoden- methode geven allemaal oplossingen die exact analoog zijn hoewel de wiskundige beschrijving geheel anders is. Het zijn als het ware andere invalshoeken. Bv: Newton geeft de geparameteriseerde baan terwijl de lagrangiaan de curve geeft.

p 288


De vergelijkingen van snaartheorie

1. De tweede superstringrevolutie

De vergelijkingen van snaartheorie

Bij elk van de STs zijn niet alleen de beschrijvingen anders, ook de oplossingen zijn totaal anders! Zijn dus echt verschillend!

Dat gegeven werd (voor 1995) nooit goed begrepen en gold als een serieus tegenagument tegen ST in het geheel!

p 295


De vergelijkingen van snaartheorie1

1. De tweede superstringrevolutie

De vergelijkingen van snaartheorie

Wat we zoeken is één vergelijking die de interactie tussen snaren beschrijft.

Elk van de STs heeft zo’n impliciete vergelijking, en die bevat een vrije constanteg die de sterktevan de koppeling tussen snaren beschrijft – de zg koppelingsconstante.

p 295


Storingsrekening

1. De tweede superstringrevolutie

Storingsrekening

De vergelijkingen voor de STs zijn zo algemeen dat alleen met groffe benaderingen ruwweg iets benaderd kan worden.

Onze kennis over de vijf STs is gebaseerd op zg perturbatie-methoden oftewel “storingsrekening”.

Dit gaat vaak aan de hand van termen:

* term 1 (lineair) is al heel dichtbij de ‘echte’ oplossing – zeg 95% correct

* term 2 (kwadratisch) geeft een kleine correctie op term 1 – tot zeg 98%

* term 3 (3e macht) geeft nog kleinere correctie – tot zeg 99,5%

In principe zijn er oneindig veel termen, maar hun bijdrage wordt progressief kleiner.

p 288


Storingsrekening1

1. De tweede superstringrevolutie

Storingsrekening

De storingsrekening werkt dus in ontwikkeling van storingstermen. De bijdrage van elke term wordt bepaald door de zg koppelingsconstante g.

In het algemeen ziet de schatting eruit als:

schatting ≈ term0 + g.term1 + g2.term2 + g3.term3 + …

p 288


Storingsrekening2

1. De tweede superstringrevolutie

Storingsrekening

schatting ≈ term0 + g.term1 + g2.term2 + g3.term3 + …

Als de koppelingsconstante g kleiner is dan 1 werkt dit prima, bv als alle termen 1 zijn en de g = 0.1:

schatting ≈ 1 + 0.1.1 + 0.01.1 + 0.001.1 + … = 1.111111

Als de koppelingsconstante g echter groter is dan of gelijk 1 werkt dit totaal niet, bv als alle termen 1 zijn en de g = 10:

schatting ≈ 1 + 10.1 + 100.1 + 1000.1 + … = 1111… = ∞

Voor storingsreeksen is de waarde de koppelingsconstante g dus van groot belang – ze moet kleiner dan 1 zijn!!!

p 288


Storingsrekening3

1. De tweede superstringrevolutie

Storingsrekening

Storingsrekening wordt al eeuwen met succes toegepast, bv bij het berekenen van kometenbanen:

term0 = invloed van zon

term1 = invloed van Jupiter

etcetera …

De koppelingsconstante g is hier:

totale_massa_planeten/massa_zon

p 288


Storingsrekening4

1. De tweede superstringrevolutie

Storingsrekening

Als de koppelingsconstante

g = totale_massa_planeten/massa_zon

niet kleiner dan 1 is werk deze aanpak niet!

Bv: het drielichamen-probleem

p 288


Storingsrekening5

1. De tweede superstringrevolutie

Storingsrekening

Ander probleem: met storingsreeksen kom je niet tot complex, niet-lineair gedrag.

Voorbeeld: de niet-harmonische slinger

De koppelingsconstante g is hier ≈ v2/g

Voor kleine uitwijkingen (v2/g <<1)

krijgen we de bekende slingerbeweging

p 288


De vergelijkingen van snaartheorie2

1. De tweede superstringrevolutie

De vergelijkingen van snaartheorie

Als we dus storingsreeksen (perturbatietheorie) willen toepassen op ST moeten we weten hoe groot de koppelingsconstante g is.

Als we echter proberen te berekenen hoe groot die g is krijgen we een vergelijking als:

0xg = 0

Dat betekent dat we de koppelingsconstante gniet op deze manier kunnen berekenen! En dus niet weten of storings-rekening mag worden toegepast!

p 295


De vergelijkingen van snaartheorie3

1. De tweede superstringrevolutie

De vergelijkingen van snaartheorie

Wat betekent dit voor ST?

1. De vergelijkingen laten echt meerdere oplossingen toe

2. De koppelingsconstante g is gewoon niet kleiner dan 1 en dus mogen we geen storingsontwikkeling toepassen, en daarom verschillen de 5 STs.

3. De koppelingsconstante g is wel kleiner dan 1 maar de termen (term1, term2, ..) worden steeds groter zodanig dat het niet sommeert tot een eindig getal.

p 296


De vergelijkingen van snaartheorie4

1. De tweede superstringrevolutie

De vergelijkingen van snaartheorie

Dit alles betekent dat we echt behoefte hebben aan een andere exacte aanpak voor ST die niet gebaseerd is op stroringsreeksen.

p 297


2 duale partners

2. Duale partners


Wat is dualiteit

2. Duale partners

Wat is dualiteit?

Natuurkundige gebruiken het begrip dualiteit als (twee) verschillende modellen dezelfde natuurkundige werkelijkheid beschrijven.

Voorbeeld 1: translatie van 1 m (of wat dan ook) maakt geen verschil voor de natuurwetten, ook niet voor een rotatie, of zelfs voor een eenparige beweging (Einstein’s inertiaal-stelsels).

Voorbeeld 2: Een natuurkundige theorie in Chinees of Nederlands vertellen (nou ja ...)

p 298


Wat is dualiteit1

2. Duale partners

Wat is dualiteit?

Deze voorbeelden heten triviale dualiteiten.

We hebben al eerder (vorige lezing) twee niet-triviale dualiteiten gezien:

* groot-klein (R versus 1/R) (de zg T-dualiteit)

* spiegel-symmetrie van Calabi-Yau ruimten in 6D.

p 298


Wat is dualiteit2

2. Duale partners

Wat is dualiteit?

Edward Witten heeft in 1995 laten zien dat er verscheidene dualiteiten bestaan tussen bepaalde STs, en dat ze dus eigenlijk één werkelijkheid weergeven.

De reden waarom we 5 STs zien, is omdat ze allemaal verschillend zijn voor kleine waarden van hun koppelingsconstanten (gI, gIIA, gIIB, gHO, gHE) – typisch de waarden waarop we storingsrekening konden uitvoeren.

Dat heet als een ST zg zwak-gekoppeld is – dat is g << 1.

p 299


Wat is dualiteit3

2. Duale partners

Wat is dualiteit?

Wat bleek nu (dankzij Witten 1995) tot ieders verbazing?:

dat een bepaalde zwak-gekoppelde ST de duale beschrijving is van een andere sterk-gekoppelde theorie (dat is g >> 1).

Vergelijk dit met drie mensen waarvan een alleen water, een andere alleen ijs, en een derde alleen stoom kent. Alle drie hebben een ander beeld van deze stof – tot ze er achter komen dat alle drie modellen één stof beschrijven: H2O.

p 300


De kracht van symmetrie

2. Duale partners

De kracht van symmetrie

Symmetrie maakt dat we meer weten over de oplossing:

Als je een deel van de oplossing kent kun je mbv symmetrie het geheel volledig reconstrueren.

p 300


De kracht van symmetrie1

2. Duale partners

De kracht van symmetrie


De kracht van symmetrie2

2. Duale partners

De kracht van symmetrie

Het is door gebruik te maken van zulke sterke symmetrieën dat Witten de dualiteiten tussen de STs kon ontdekken.

Hij gebruikte nl de zg BPS-states, en die zijn gebaseerd op supersymmetrie SUSY.

p 300


Bps states

2. Duale partners

BPS states

BPS-toestanden: E. Bogolny, Prasad, en Sommerfield konden door gebruik te maken van SUSY (super-symmetrie) en van het gegeven van de minimale massa-per-lading uniek de identiteit van een deeltje (= snaar) bepalen – zonder storingsrekening! Dus om een deeltje in een doos met gegeven lading de kleinst-mogelijke massa geven. Zulke toestanden heten naar hen: BPS-states.

Dit is natuurlijk een heel klein deel van M-theorie, maar dit kunnen we tenminste helemaal exact berekenen!!!

p 303


De kracht van symmetrie3

2. Duale partners

De kracht van symmetrie

BPS-toestanden:

De Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfeld grens is een ongelijkheid voor de oplossingen voor een dynamisch systeem.

Als we aanemen dat de toestand verzadigd is dan geldt het gelijk-teken ( = ) en kunnen we dus de ondergrens E exact berekenen. Deze verzadigde oplossingen heten BPS states en zijn dus zonder storingsreeksen te berekenen!!!


Van bps naar dualiteit in st

2. Duale partners

Van BPS naar dualiteit in ST

Laten we eens kijken naar bv een type I-snaar met zwakke koppeling (gI << 1). Laten we nu eens naar de BPS-states kijken van deze snaar – die kunnen we tenminste berekenen onafhankelijk van gI.

Wat blijkt nu: de sterke koppelings eigenschappen van type I (gI >>1) zijn exact gelijk aan de zwakke koppelings-eigenschappen van de Heterotic-O snaar (gHO <<1)!!!

Sterker nog blijkt dat: gHO* gI = 1 !!!

HO en I zijn dus duale theorieen!!!

p 304


Van bps naar dualiteit in st1

2. Duale partners

Van BPS naar dualiteit in ST

De BPS-states bieden nu een anker (of hefkraan) om de STs te onderzoeken onafhankelijk van de waarden van de koppelingsconstanten.

p 304


Dus wat is de dualiteit in sts

2. Duale partners

Dus wat is de dualiteit in STs?

Sommige van de STs zijn op deze manier verbonden door dualiteiten (dit is de zg sterk-zwakke dualiteit of S-dualiteit):

p 306


3 superzwaartekracht

3. Superzwaartekracht


11d sugra

3. Superzwaartekracht

11D SUGRA

Superzwaartekracht (ENG: supergravity theory: SUGRA) is een kwantumveldentheorie die de principes van lokale SUSY (supersymmetrie) en ART (algemene relativiteitstheorie) combineert.

p 307


11d sugra1

3. Superzwaartekracht

11D SUGRA

Werner Nahm toonde aan dat 11 dimensies het grootste aantal dimensies was dat consistent is met een enkelvoudige graviton, en dat een theorie met meer dimensies ook deeltjes zou hebben met spins groter dan 2. (of je moet multiple-tijden toelaten) → D ≤ 11

Iets later toonde Ed Witten aan dat 11 het kleinste aantal dimensies was dat groot genoeg was om de zg ijkgroepen van het Standaard Model te bevatten → D ≥ 11.

Dus: D = 11 !!!

p 307


Intermediaire koppelings waarden

3. Superzwaartekracht

Intermediaire koppelings-waarden

In 1995 liet Witten zien dat voor bv type IIA snaar de koppelingsconstante laten toenemen tot waarden ver voorbij 1, dat de BPS-verzadigde states in lage-energie benadering gelijk is aan 11D-SUGRA!!!

Met andere woorden:

11D-SUGRA is de benadering van de werkelijkheid als de energieën veel kleiner zijn dan de Planck-schaal – en de snaren dus puntmassa’s lijken.

p 308-309


11d sugra2

3. Superzwaartekracht

11D SUGRA

Dit verklaart ook (achteraf) waarom er vier SUGRAs waren:

SUGRA-1 : type IIA ST

SUGRA-2 : type IIB ST

SUGRA-3 : type Heterotic-E ST

SUGRA-4 : type I + Heterotic-O STs

In alle gevallen zijn de SUGRAs de lage-energie benaderingen van de STs.

Overigens laat de laatste equivalentie (achteraf) al de dualiteit tussen type I + Heterotic-O STs zien.

p 308


De rol van de koppelingsconstanten

3. Superzwaartekracht

De rol van de koppelingsconstanten

Ed Witten liet zien dat de lage-energie benadering van 11D- SUGRA blijft behouden voor alle waarden van de koppelingsconstanten. (Hij deed dat door gebruik te maken van verzadigde BPS-states)

Daarmee toonde hij aan dat de natuur van alle STs wezenlijk 11D is!

Die 11e D was vanwege de storingsreeks nooit duidelijk geworden!

p 308/309


De rol van de koppelingsconstanten1

3. Superzwaartekracht

De rol van de koppelingsconstanten

Maar er is iets geheels nieuws en onverwachts aan de hand:

Als we een koppelings-constante laten toenemen, komt er opeens een nieuwe dimensie bij!!!

Dit is een nieuwe – tiende – ruimtelijke dimensie, dus met tijd erbij totaal 11Ds.

p 309


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

3. Superzwaartekracht


De rol van de koppelingsconstanten2

3. Superzwaartekracht

De rol van de koppelingsconstanten

Hieruit blijkt ook dat de HE-snaar eigenlijk een 2D lint is ipv een 1D elastiekje. De breedte van dit HE-membraan wordt bepaald door de koppelingsconstante gHE. Als gHE = 0 dan is het een pure snaar, anders een lint.

Analoog bij type IIA, daar vervormt de snaar tot een torus met doorsnede gIIA. Een soort ‘interne’ dimensie.

Verdere analyse liet zien dat de nieuwe extra dimensie speciaal was:ze is niet toegankelijk voor vibraties van de snaar!

Daardoor blijven alle conclusies van de 10D-STs gewoon overeind.

p 310


De rol van de koppelingsconstanten3

3. Superzwaartekracht

De rol van de koppelingsconstanten

Hieruit blijkt dat de nieuwe extra dimensie de snaar/membraan zeer zwaar maakt, ze zullen dus erg zeldzaam zijn.

Des te meer reden waarom de 10D-STs van belang blijven!


De rol van de koppelingsconstanten4

3. Superzwaartekracht

De rol van de koppelingsconstanten

Wat nu is de 11D theorie? Voor lage energieën is het de 11D-SUGRA, maar wat voor hoge energieën?

NIEMAND DIE HET WEET!

Om die reden noemde Witten de theorie ‘M’-theorie met M van:

Mysterious, mother, matrix, membrane, maar ook ‘murky’ en ‘missing’.

p 311-312


4 de m van m theorie

4. De ‘M’ van M-theorie


Een spinneweb van relaties

4. De ‘M’ van M-Theorie

Een spinneweb van relaties

We kunnen nu een web van relaties tussen de STs schetsen:

T-dualiteit tussen type I en type HO, en tussen M-theorie en HE en type IIA.

Verder is type IIB zelf-duaal: het is duaal aan zichzelf.

S-dualiteit bestaat tussen HO en HE en type IIA en type IIB.

Zo komen we tot het volgende web:

p 313


Titel

4. De ‘M’van M-theorie

Titel

De S en T dualiteiten tussen de STs en M-theorie.


Het gehele plaatje

4. De ‘M’ van M-Theorie

Het gehele plaatje

We kunnen nu ook het gehele plaatje laten zien, de relatie tussen M-theorie en de vijf STs, en de relatie tot 11D-SUGRA.

* De STs zijn benaderingen van M-theorie voor een lage waarde van hun koppelingsparameter: het zijn ieder voor zich de uithoeken van de M-ruimte.

* 11D-SUGRA is de lage-energie-benadering van M-theorie, en relateert met de vier typen 10D SUGRA voor lage koppelingswaarden.

p 314


M theorie

M-theorie


Nog een verrassende eigenschap van m theorie

4. De ‘M’ van M-Theorie

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie

De hoger-dimensionale branes (p-branes) komen in alle STs voor. (wandel maar in gedachten door M-ruimte door de koppelingswaarden te variëren).

Nu weten we (weer gebruik maken van BPS-states) dat er 1D-, 2D-, 3D-, …, 8D-, 9D-branes kunnen zijn!

Maar 1D-branes (dus snaren) zijn speciaal; binnen alle 5 STs geldt voor alle p-branes met p>1 geldt dat hun massa omgekeerd evenredig is met de koppelingsconstante: m ≈ 1/g.

Daarom zijn p-branes met p>1 enorm massief!

p 316/317


Nog een verrassende eigenschap van m theorie1

4. De ‘M’ van M-Theorie

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie

Als we echter buiten de uithoeken van de 5 STs wandelen naar het centrale gebied in de M-ruimte geldt deze beperking niet meer, en hier kunnen p-branes lichtere massa’s hebben.

Dat centrale deel kan dus bevolkt met allerhande p-branes.

p 317


P branes

4. De ‘M’ van M-Theorie

p-branes


Nog een verrassende eigenschap van m theorie2

4. De ‘M’ van M-Theorie

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie

Verder blijken er relaties te bestaan tussen p-branes en open snaren.

Het blijkt dat open snaren (dus van type I) met een vrij uiteinde vast kunnen zitten in een hoger-dimensionale p-brane, een zg Dirichlet p-brane (Polchinski 1995).


Nog een verrassende eigenschap van m theorie3

4. De ‘M’ van M-Theorie

Nog een verrassende eigenschap van M-theorie

Bestaan er ook zulke beperkingen tussen p-branes en gesloten snaren?


Membraan interacties

4. De ‘M’ van M-Theorie

Membraan Interacties

Een van de redenen dat M-theorie zo moeilijk formuleerbaar is is dat het aantal mogelijke membranen in verschillende dimensies exponentieel toeneemt. Bijvoorbeeld voor 3-dimensionale hypervlakken heb je te maken met vaste objecten met knoop-vormige gaten, en is de gehele knopen theorie nodig om deze te klassificeren. Omdat M-Theorie in 11D is gedefinieerd wordt dit probleem nog moeilijker!

Echter, net als in ST moet M-theorie om causaal te zijn strikt lokaal zijn, dus topologie-veranderingen kunnen alleen per punt voorkomen.

De elementaire orienteerbare 2-brane interacties kunnen we wel tonen. Orienteerbare 2-branes zijn veel-gatige torussen met meerdere gaten eruit gesneden.


Knopentheorie

4. De ‘M’ van M-Theorie

Knopentheorie

Knopentheorie is een deelgebied van de topologie.

De topologie bestudeert eigenschappen van lichamen die niet veranderen bij continue vervorming.

Knopentheorie onderzoekt welke knopen in elkaar kunnen worden vervormd. Daarbij is een knoop een wiskundige idealisering van een stuk touw waarvan de eindjes zijn samengebonden.


Snaren theorie dr ronald westra universiteit maastricht vakgroep wiskunde

4. De ‘M’ van M-Theorie


Zijn hiermee alle vragen beantwoord

4. De ‘M’ van M-Theorie

Zijn hiermee alle vragen beantwoord?

JaenNee.

Ja: we hebben nu een vaag idee van een overkoepelende theorie.

Nee: we hebben nog geen exacte vergelijkingen; alleen benaderende voor de 5 STs en voor lage energie in 11D-SUGRA.

Nee: waarom zijn er precies 3-niet opgerolde ruimtelijke dimensies en 1-tijd, wat is die extra 11e-dimensie, waarom zien we geen monopolen, waarom geen SUSY, … ???

p 318


Sommigen voorspelden hierop het einde van de wetenschap

4. De ‘M’ van M-Theorie

Sommigen voorspelden hierop het einde van de wetenschap. …


De uitdaging

4. De ‘M’ van M-Theorie

De uitdaging

* Welk punt in de M-ruimte stelt onze wereld voor?

* Waarom dat punt?

* Daarvoor moeten we de volledige en exacte vergelijkingen van M-theorie eerst vinden – en oplossen.

Dit is het programma voor Grand Unification in de 21e eeuw.

p 319


Snaren theorie einde lezing 5

Snaren Theorie

EINDE LEZING 5


  • Login