Spektrala transformer
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 25

Spektrala Transformer PowerPoint PPT Presentation


  • 136 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Spektrala Transformer. Fouriertransformer. Fourier. Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor !. Jean-Baptiste Fourier 1768-1830. Fouriertransformen. Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar…

Download Presentation

Spektrala Transformer

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Spektrala transformer

Spektrala Transformer

Fouriertransformer

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Fourier

Fourier

Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor !

Jean-Baptiste Fourier1768-1830

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Fouriertransformen

Fouriertransformen

  • Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar…

  • … och tillbaks från frekvens till tid

forward

inverse

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Fourierserier

Fourierserier

  • Specialfall: då f(t) är periodisk blir ω diskret – vi samplar frekvensaxeln:

  • ω = kω0 där ω0=2π/T

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Fourierserier1

Fourierserier

Om f(t) är reell gäller att

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Fourierseriens egenskaper

Fourierseriens egenskaper

  • Beloppet |ck| ger signalens spektrum

  • Spektrumlutningen ger ett mått på jämnheten i signalen

    • för fyrkantvåg avtar spektrum med 1/n

    • för triangelvåg avtar spektrum med 1/n2

  • Integrering i tidsdomänen ökar spektrumlutningen, derivering minskar den

  • Diskontinuiteter i insignalen orsakar ”ringningar” (Gibbs fenomen)

2f1120 Spektrala Transformer för Media • Jonas Beskow


Transformer i fourier familjen

Transformer i Fourier-familjen

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft diskret fouriertransform

DFT – Diskret Fouriertransform

Fouriertransform av verkliga, samplade signaler – inte bara matte:

  • Spektral analys

    • Spektrum & Spektrogram

  • Filtrering & bildbehandling

    • Snabb faltning av långa sekvenser/stora filterkärnor

  • Kodning

    • Spektralbaserad bildkodning (typ JPEG)

    • Ljudkodning (typ MP3)

  • Talteknologi

    • Särdragsextraktion för taligenkänning mm

  • Audio/musik

    • Pitch-shift/time-stretch

      Och så vidare…

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft dom ner

DFT - domäner

  • DFT transformerar signaler mellan

    diskret tidsdomän

    och

    diskret frekvensdomän

  • N punkter i tidsdomänen ger N punkter i frekvensdomänen

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft dom ner1

2

2

π/2

3

3

1

1

3π/4

π/4

n

4

4

0

0

π

0

ω = k2π/N

-3π/4

-π/4

5

5

7

7

-π/2

6

6

n: 0 1 2 3 4 5 6 7

ω: 0 … π …

DFT - domäner

N=8

Tidsdomän

Frekvensdomän

k

k: 0 1 2 3 4 5 6 7

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft basvektorer

2

π/2

3

1

3π/4

π/4

k

π

0

4

0

ω = k2π/N

-3π/4

-π/4

5

7

-π/2

6

DFT - basvektorer

  • Basvektorerna är N st. phasors

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Spektrala transformer

DFT

Tid→Frekvens (DFT)

Frekvens→Tid (Invers DFT, IDFT)

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft som en matris

DFT som en matris

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft som en matris1

DFT som en matris

Tid→Frekvens (DFT)

Frekvens→Tid (Invers DFT, IDFT)

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft f r reella sekvenser

DFT för reella sekvenser

  • Om x(n) är reell blir X(k) symmetrisk kring N/2:

    X(N-k) = X(k)*

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


N gra dft transformpar impulser

Några DFT-transformpar:impulser

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

ur Steven W. Smith ”Digital Signal Processing”


N gra dft transformpar fyrkantpulser

Några DFT-transformpar:fyrkantpulser

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


N gra dft transformpar pulser

Några DFT-transformpar:pulser

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


N gra dft transformpar gauss funktioner

Några DFT-transformpar:gauss-funktioner

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Ett praktiskt problem

Ett praktiskt problem…

  • Vad innebär det att tidsdoänen blir cirkulär?

  • Diskontinuiteter - påverkar spektrum!

    • sidolober

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


L sning f nstring

Lösning: fönstring

  • Signalen multipliceras med ett fönster som går mot noll i intervallets ändar!

    • Undertrycker sidolober

    • Något försämrad upplösning i frekvensled

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Fft fast fourier transform

FFT – Fast Fourier Transform

  • FFT är en effektiv algoritm för att beräkna DFT

  • FFT är helt avgörande för att många applikationer av DFT ska vara praktiskt möjliga!

  • FFT fungerar genom att rekursivt dela upp problemet i mindre problem, s.k. ”söndra och härska” (divide-and-conquer)-metodik

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Ber kningshastighet

Beräkningshastighet

Antal multiplikationer:

  • DFT: ~N2

  • FFT: ~N log(N)

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Dft idft

DFT/IDFT

  • Kan vi snabba upp beräkningen av IDFT också?

  • Ja!

    IDFT{X} = DFT{X*}/N

  • FFT kan användas även för invers DFT

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


Sammanfattning

Sammanfattning

  • Fouriertransformen uttrycker icke-periodiska signaler som kontinuerliga frekvensfunktioner

  • En Fourierserie uttrycker periodiska signaler som en summa av diskreta frekvenskomponenter

  • DFT transformerar mellan diskret tids-domän och diskret frekvensdomän

  • FFT är en algoritm för att beräkna DFT

  • FFT är fundamental i många DSP-tillämpningar

DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow


  • Login