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中学数学中的历史专题

中学数学中的历史专题. 华东师范大学数学系 2004 年 5 月. 负数的历史. 中 国 《九章算术》(1世纪)方程章： “ 今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ ”. 负数的历史. 三元一次方程组. 负数的历史. 《九章算术》（ 1 世纪） “ 正负术 ” ： “ 同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。 ” 刘徽（3世纪）《九章算术》注： “ 今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。 ”. 负数的历史. 希 腊

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  1. 中学数学中的历史专题 华东师范大学数学系 2004年5月

  2. 负数的历史 中 国 • 《九章算术》(1世纪)方程章： “今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”

  3. 负数的历史 • 三元一次方程组

  4. 负数的历史 • 《九章算术》（1世纪）“正负术”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。” • 刘徽（3世纪）《九章算术》注：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”

  5. 负数的历史 希 腊 • 丢番图（diophantus, 3世纪）《算术》：方程4x+20=4是没有意义的。 印 度 • 婆罗摩笈多（Brahmagupta, 7世纪）：明确的正负数概念及其四则运算法则。 • 摩诃毗罗（Mahavira, 9世纪）

  6. 负数的历史 • 婆什迦罗(Bhaskara)：以直线上的不同方向，或“财产”（assets）与“债务”(debts)来解释正、负数。方程x2-45x=250有两个根：x=50或-5。但他说：“第二个根并不用，因为它是不足的。人们并不支持负根。”“正数和负数的平方为正数；正数的平方根有两个，一正一负。负数没有平方根，因为它不是平方数。”

  7. 负数的历史 欧 洲 • 斐波纳契（L. Fibonacci, 1170?～1250?）《花朵》：方程x+36=33是没有解的，除非第一个人(x)欠债3个硬币；方程组 无解，除非第一个人(x1)是欠债的。

  8. 负数的历史 • 帕西沃里（L. Pacioli, 1445～1517）在《算术、几何、比例与比例性概论》（1494）中提出“负负得正” （minus times minus gives plus），但仅将其用于求 。纯粹的“负量”在其著作中并未出现。

  9. 负数的历史 • 奥地利—德国代数学家鲁道夫（Rudolff）尽管使用了“＋”和“-”符号，但只知道正数和正根。 • 德国数学家斯蒂菲尔（M. Stifel, 1487～1567）《整数算术》称从零中减去一个大于零的数(如0-3)得到的负数“小于零”，即“小于一无所有”， “荒谬的数”。 • 意大利数学家卡丹（G. Cardano, 1501～1576 ）《大术》：承认方程的负根，并给出简单的法则。

  10. 负数的历史 • 意大利数学家邦贝利（R. Bombelli, 1526～1572）在《代数》 (1572)：(+15)+(-20)=-5 • 英国数学家哈里奥特（T. Harriot, 1560～1621）偶然地将一个负项置于方程一边。 • 韦达(F. Vieta, 1540～1603)只知道正数。帕斯卡(B. Pascal, 1623～1662)则认为：从0减去4纯粹是胡说！但吉拉尔（A. Girard,1595～1632）承认负数。

  11. 负数的历史 • 最早全面解释和构造、并系统使用负数的是笛卡儿（R. Descartes, 1596～1650），但他称之为“假数”。 • 沃利斯(J. Wallis)《无穷算术》（1655）：因为a/0为无穷大（a>0），所以a/b>a/0（b<0）。因此负数既大于无穷大，又小于0！

  12. 负数的历史 • 直到18世纪，还有西方数学家不理解：“什么东西可以小于一无所有呢？”并认为“负负得正”这一运算法则乃是一个谬论。 • 事实上，19世纪中叶以前，负数概念在学校代数课本中并没有得到正确的解释。

  13. 负数的历史 • 甚至到了19世纪，英国还有一些数学家不接受负数。如英国数学家弗伦德（W. Frend, 1757～1841）抨击那些“谈论比没有还要小的数、谈论负负得正”的代数学家，认为负数有悖常理，“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人才支持这种数的使用”。 • 德摩根：“父亲56岁，儿子29岁，问何时父亲岁数是儿子的2倍？”

  14. 负数的历史 • 欧拉（L. Euler, 1707～1783）对等式是作过证明的。证明是这样的： 要么等于1要么等于-1；因为他已经证明了 ，所以 。

  15. 负数的历史 • F·克莱因（F. Klein, 1549～1925）在1908年告诫我们： “如果带着批判的眼光去看中学里负数的教法，我们常常可以发现一个错误，就是像老一代数学家那样，努力地去证明记号法则的逻辑必要性。……我反对这种做法，我请求你们，别把不可能的证明讲得似乎成立。大家应该用简单的例子来使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄清楚。”

  16. 负数的历史 F·克莱因 F.卡约黎

  17. 负数的历史 • 卡约黎(F. Cajori, 1859～1930)《初等数学史》(1917)： “历史告诉我们：在教代数的时候，给出负数的图形表示是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期代数学家一样，认为它们是荒谬的东西。” • M·克莱因(M. Kline,1908～1992)《数学:文化进路》(1967)： “如果记住物理意义，那么负数运算以及负数和正数混合运算是很容易理解的。”

  18. 负数的历史 • M·克莱因“逻辑与教学”（1970）： “勿庸置疑，历史上大数学家所遇到的困难，恰恰正是学生会遇到的学习障碍。试图利用逻辑的冗长语言来消除这些困难是不可能成功的。从一流数学诞生开始，数学家花了1000年才得到负数概念，又花了另外1000年才接受负数概念，因此我们可以肯定，学生学习负数时必定会遇到困难。而且，学生克服这些困难的方式与数学家大致也是相同的。”

  19. 负数的历史 • M·克莱因“关于高中数学课程的建议”（1966）： “在建构数学时，发生原理是极其有用的。该原理说：历史顺序通常是正确的顺序，数学家所经历的困难，正是我们的学生要经历的困难。让我们举例说明上述观点。如果从一流数学诞生开始，数学家花了1000年才得到负数概念，又花了另外1000年才接受负数概念，那么你就可以肯定：学生在学习负数时将会有困难。因此我们必须为这样的困难做准备，并帮助他们克服这样的困难。将分配律扩展到负数根本无益于理解负数。”

  20. 负数的历史 • 司汤达（Stendhal, 1783～1843）： “夏贝尔先生被问到没有办法的时候，曾经不太恰当地强调，要我们将负数看成某人的欠债。一个人该怎样把10000法朗的债与500法朗的债乘起来，才能得到5000000法朗的收入呢？” • 奥登（W. H. Auden, 1907～1973）： “负负得正，其理由我们无需讨论！”

  21. 负数的历史 负负得正：教材如何引入 • 1、定义方法 • 先讨论两个异号的整数相乘，然后给出： (-a)(-b)=ab（a、b为正整数） 接着给出两个法则： 同号相乘得正；异号相乘得负

  22. 负数的历史 • 2、现实模型方法 • 2.1 火车、汽车、摩托车、飞机、足球运动员、温度计、支票簿等。

  23. 负数的历史

  24. 负数的历史 • 2.2 债务（M·克莱因） • 一人每天欠债5美元。给定日期（0美元）3天后欠债15美元。如果将5美元的债记成-5，那么每天欠债5美元，欠债3天，可以用数学来表达：3×(-5)= -15。…同样，一人每天欠债5美元，那么给定日期（0美元）3天前，他的财产比给定日期的财产多15美元。如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为(-3)× (-5)＝+15。

  25. 负数的历史 • 3、寻找模式方法 • ······················ • (-4)×(+3) = -12 (-4)×( -2) = • (-4)×(+2) = -8 (-4)×( -3) = • (-4)×(+1) = -4 • (-4)× (0) = 0 • (-4)×( -1) =

  26. 负数的历史 • 4、运算法则方法 • 3+(-3)=0 • (-4)×[3+(-3)]=(-4)×(0) • (-4)×(3)+(-4)×(-3)=0 • -12+(-4)×(-3)=0 • (-4)×(-3)=?

  27. 负数的历史 负负得正：两种证明 • (-1) ×(-1) = (-1)×(-1)+(0)×(1) = (-1)×(-1)+[(-1)+1]×(1) = (-1)×(-1)+(-1)×(1)+(1)×(1) = (-1)×[(-1) +1]+(1)×(1) = (-1)×(0)+ (1)×(1) = (1)×(1) = 1

  28. 负数的历史 • 假设负负得负。则 (-1) ×(+1) = (-1)×[2+(-1)] = (-1)×(2)+(-1)×(-1) = (-1)×(2)+(-1)（由假设） (*) 另一方面 (-1) ×(+1) = [(1+(-2)]×(+1) = (1)×(1)+(-2)×(1) = 1+ (-2)×(1) (**)

  29. 负数的历史 • 若正负得负，则由(*)得-1=-3，不可能；若正负得正，则由(**)得1=3，也不可能。 • 数集A扩充到数集B必须遵循： • A是B的真子集； • B中定义的运算法则或关系与A中原有的运算法则或关系是不矛盾的。 • 你可以规定负负得负，但你至少必须放弃正整数集所满足的一个运算法则！

  30. 负数的历史 主要参考文献 • [1] O. Terquem (1856). Tre Scritti inediti Leonardo Pisano, pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezi- one di un codice della Biblioteca ambrosiana di Milano. Bulletin de Bibliographie, d’Histoire et de Biographie Mathématique, 2: 21-11; 42-71. • [2] F. Cajori (1917). A History of Elementary Mathematics. New York: The Macmillan Company.

  31. 负数的历史 • [3] D. E. Smith (1923). History of Mathematics(Vol.II). Boston: Ginn & Company. • [4] M. Kline (1966). A proposal for the high school mathe- matics curriculum. Mathematics Teacher, 59 (4): 322-330. • [5] M. Kline (1970). Logic versus pedagogy. American Mathematical Monthly, 77(3): 264-282.

  32. 负数的历史 • [6] G. Howson (1982). A History of Mathematical Educa- tion in England. Cambridge: Cambridge University Press. 87-92. • [7] M. L. Crowley & K. A. Dunn (1985). On multiplying negative numbers. Mathematics Teacher, 78: 252-256. • [8] G. Boulet (1998). On the essence of multiplication. For the Learning of Mathematics, 18 (3): 12-18.

  33. 无理数的历史 耶鲁大学藏巴比伦泥版7289号

  34. 无理数的历史 • 普罗克拉斯： “继泰勒斯之后，毕达哥拉斯将这门科学变成了自由教育形式，他从头考察了它的原理，以非物质的和智力的方式探究了定理。他发现了比例理论和宇宙图形的作图法。”

  35. 无理数的历史 毕达哥拉斯

  36. 无理数的历史 • 希帕索斯（Hippasus, 前5世纪）毕达哥拉斯学派成员，后被逐出兄弟会。一种传说是，毕达哥拉斯学派为他立了一块墓碑，把他作为已经死了的人看待；另一故事说，他被扔进大海处死。关于其原因有三种说法：一是，他组织了一次民主运动，反对毕达哥拉斯学派的保守规则，因而被逐出学派；二是，泄露了毕达哥拉斯学派的正五边形或正十二面体的作图法，因而被逐出学派；三是，发现不可公度量的存在，对毕达哥拉斯学派的哲学构成毁灭性的打击。

  37. 无理数的历史 • 亚里士多德提到的证明 设 ， ，为互素的正整数。则 。 于是 为偶数。设 ，则 ，于是得 。故为 偶数。因此 ， 不互素，矛盾。 • 这个证明可能是Hippasus给出的。

  38. 无理数的历史 • 正五边形中的不可公度量(K. Von Fritz) 设正五边形ABCDE的边长和对角线分别为s1和d1，以其对角线交点的正五边形ABCDE的边长和对角线为s2和d2，以后作出的更小的正五边形的边长和对角线依次为s3和d3，s4和d4，等等。易知： d1- s1 = d2，s1- d2 = s2，d2- s2 = d3，s2- d3 = s3，… 上面的一系列等式表明，如果s1和d1有公约数，那么它也必是s2，d2，s3，d3，…约数，从而导致矛盾。

  39. 无理数的历史 正五边形对角线与边长的不可公度性

  40. 无理数的历史 • 正方形中的不可公度量 • 正方形ABCD的边长和对角线分别为s1和d1；在对角线CA上截取CE=CD，过E作EF⊥AC，作正方形AEFG，设其边长和对角线分别为s2和d2；在对角线FA上截取FH=FE，过H作HI⊥AF，作第三个正方形，边长和对角线依次为s3和d3，等等。易知： d1- s1 = s2，s1 - s2= d2，d2- s2= s3，s2- s3= d3，…， dn-1- sn-1= sn，sn-1- sn = dn。

  41. 无理数的历史

  42. 无理数的历史 • 上面的一系列等式表明，如果s1和d1有公约数，那么它也必是s2，d2，s3，d3，…的约数，从而导致矛盾。 • 从上面的几何证明，我们还可以得到的连分数表达式

  43. 无理数的历史 • 因为

  44. 无理数的历史 • 所以

  45. 无理数的历史 • 这等价于

  46. 无理数的历史 • 毕达哥拉斯学派求 的近似值的方法相当于求不定方程 的整数解(x, y)，分别称为“边数”（side-numbers）和“对角线数”（diameter-numbers）。先取第一对边数和对角线数 a1=1，d1=1， 以后各对边数和对角线数为

  47. 无理数的历史 ， • 普罗克拉斯称泰奥多鲁斯（Theodorus, 465～398 B.C.）为“著名的几何学家”；Iamblichus说他是毕达哥拉斯学派成员。在几何、天文、算术、音乐以及所有教育学科上都很有名气。据说泰奥多鲁斯是柏拉图的数学老师，在苏格拉底活着的时候，曾在雅典生活过。

  48. 无理数的历史 • 泰奥多鲁斯首次在无理数理论上作出突破。柏拉图在Theaetetus中告诉我们： “泰奥多鲁斯证明了关于平方根的某个事实，我指的是3平方英尺和5平方英尺的平方根，即：这些平方根与单位尺长在长度上是不可公度的。用同样的方法，他证明了直到17平方英尺的根，由于某种原因，至此才停止。”

  49. 无理数的历史

  50. 无理数的历史 泰奥多鲁斯是如何证明SQRT5是无理数的？

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