Realne funkcije ene realne spremenljivke
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 73

REALNE FUNKCIJE ENE REALNE SPREMENLJIVKE PowerPoint PPT Presentation


  • 157 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

REALNE FUNKCIJE ENE REALNE SPREMENLJIVKE. 3.1. Definicija in podajanje funkcije 3.2. Lastnosti funkcije (omejenost, monotonost) 3.3. Limita funkcije 3.4. Zveznost funkcij 3.5. Odvod funkcije 3.6. Uporaba odvoda 3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo

Download Presentation

REALNE FUNKCIJE ENE REALNE SPREMENLJIVKE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


REALNE FUNKCIJE ENE REALNE SPREMENLJIVKE


3.1. Definicija in podajanje funkcije

3.2. Lastnosti funkcije (omejenost, monotonost)

3.3. Limita funkcije

3.4. Zveznost funkcij

3.5. Odvod funkcije

3.6. Uporaba odvoda

3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo

3.6.2. De l’Hospitalovo pravilo

3.6.3. Diferencial funkcije

3.6.4. Taylorjeva vrsta

3.6.5. Ekstrem funkcije

3.6.6. Konkavnost, konveksnost in prevoj

3.7. Nedoločeni integral

3.8. Določeni integral

3.9. Uporaba določenega integrala

3.9.1. Ploščina med krivuljama

3.9.2. Prostornina vrtenine


3.1. Definicija in podajanje funkcije

DEFINICIJA. Funkcija f: IR → IR je predpis, ki vsakemu številu x iz množice Df ⊆ IR priredi enolično določeno število y = f(x) ∈ IR.

x - neodvisna spremenljivka, y - odvisna spremenljivka

Df - definicijsko območje funkcije

Df := {x ∈ IR; y = f(x) ∈ IR} ⊆ IR

Zf - zaloga vrednosti ali zaklad funkcije,

Zf := {y ∈ IR; ∃ x ∈ Df , tako da je y = f(x)} ⊆ IR


Primer. Poiščite definicijsko območje in zalogo

vrednosti danih funkcij.


Podajanje funkcije

1. Opisno

2. Analitično – z enačbo

2.1. F(x, y) = 0 implicitna (nerazvita) oblika

2.2. y = f(x), x ∈ Df razvita (eksplicitna) oblika

2.3. x = x(p), y = y(p) parametrična oblika

p ∈ IR parameter

3. Grafično

Gf := {(x, y); x ∈ Df ∧ y = f(x)} graf funkcije


  • PRIMER

  • Krožnica s središčem v koordinatnem

  • izhodišču in polmerom 5.

  • 2.1. implicitna oblika

  • 2.2. , x ∈ [−5, 5] eksplicitna oblika

  • , x ∈ [−5, 5] eksplicitna oblika

  • 2.3. x = rcosϕ,

  • y = r sin ϕ, ϕ ∈ IR parametrična oblika.


3.2.2. Omejenost funkcije

DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] ⊆ Dfnavzgor

omejena natanko tedaj, ko obstaja tako realno število G, da velja

ocena

f (x) ≤ G za vsak x ∈ [a, b].

Število G je zgornja meja funkcije na danem intervalu.

DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] ⊆ Dfnavzdol

omejena natanko tedaj, ko obstaja tako realno število g, da velja

ocena

f (x) ≥ g za vsak x ∈ [a, b].

Število g je spodnja meja funkcije na danem intervalu.


DEFINICIJA.

Funkcija f je omejena na intervalu [a, b] ⊆ Df,

natanko tedaj, ko je na tem intervalu omejena

navzgor in navzdol.


DEFINICIJA. Natančna zgornja meja funkcije f na intervalu [a, b] je najmanjša zgornja meja.

sup{ f (x); x ∈ [a, b] } := M[a,b]

DEFINICIJA. Natančna spodnja meja funkcije f na intervalu [a, b] je največja spodnja meja.

inf{ f (x); x ∈ [a, b] } := m[a,b]


Če je funkcija navzgor omejena na intervalu

[a, b], velja za vsak x ∈ [a, b] ocena

f (x) ≤ M[a,b].

Če je funkcija navzdol omejena na intervalu

[a, b], velja za vsak x ∈ [a, b] ocena

f (x) ≥ m[a,b].

Če je funkcija omejena na intervalu [a, b], potem

velja za vsak x ∈ [a, b] ocena

m[a,b] ≤ f (x) ≤ M[a,b].


Primeri. Raziščite omejenost danih funkcij.


3.2.3. Monotonost funkcije

DEFINICIJA. Funkcija je naraščajoča na intervalu

[a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili

sklep

DEFINICIJA. Funkcija je strogo naraščajoča na

intervalu [a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili

sklep


DEFINICIJA. Funkcija je padajoča na intervalu [a,b]

natanko tedaj, ko velja za poljubni števili

sklep

DEFINICIJA. Funkcija je strogo padajoča na intervalu

[a,b] natanko tedaj, ko velja za poljubni števili

sklep


Funkcija f je (strogo) naraščajoča (oziroma padajoča) v točki a ∈ Dfnatanko tedaj, ko je (strogo) naraščajoča (oziroma padajoča) v neki okolici točke a.

Obstaja tako realno število ε > 0,da je f (strogo) naraščajoča (oziroma padajoča) na intervalu

Uε(a) = (a − ε, a + ε).


Primer. Raziščite naraščanje oziroma padanje danih

funkcij.


3.3. Limita funkcije

DEFINICIJA. Naj bo a notranja točka definicijskega

območja funkcije f. Število A je limita funkcijef v točki

a natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstajaδ > 0,tako da

velja sklep

|h| < δ ⇒ |f(a + h) − A | < ε.

Zapis:


IZREK. natanko tedaj, ko za polju-

bno zaporedje {an; n ∈ IN}, ki konvergira k a,

konvergira zaporedje funkcijskih vrednosti

{f(an); n ∈ IN} k vrednosti A.

IZREK. Funkcija f je v točki a zvezna natanko tedaj, ko je


Primer. Izračunajte dane limite.


DEFINICIJA. Naj bosta f in g poljubni funkciji in naj bo x ∈ Df ∩Dg. Na množici Df ∩Dg lahko tedaj definiramo funkcije f + g, f − g, f g in f/g:

(f + g)(x) := f(x) + g(x)

(f − g)(x) := f(x) − g(x)

(fg)(x) := f(x) g(x)


IZREK. Naj bosta f in g poljubni funkciji in naj obstajata limiti

ter . Tedaj obstajajo tudi limite funkcij f + g,

f − g, f g in kf, pri čemer je k poljubna konstanta. Pri tem veljajo enakosti

Če je , obstaja tudi limita funkcije in velja


DEFINICIJA. Neprava limita funkcije

DEFINICIJA. Limita v neskončnosti.

Število C je limita funkcije, ko gre x čez vse meje v pozitivno smer:

Število D je limita funkcije, ko gre x čez vse meje v negativno smer:


Primer. Izračunajte dane limite.


3.4. Zveznost funkcije

DEFINICIJA. Funkcija je zvezna v notranji točki a definicij-

skega območja Df natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstajaδ > 0,

tako da velja sklep

|h| < δ ⇒ |∆f | = | f (a + h) − f (a) | < ε.

(Majhna sprememba neodvisne spremenljivke povzroči ustrezno majhno

spremembo funkcijske vrednosti.)

IZREK. Naj bo funkcija f v točki a zvezna. Za poljubno

zaporedje {an; n ∈ IN}, ki konvergira k a, konvergira zaporedje

funkcijskih vrednosti { f (an); n ∈ IN } k f (a):


DEFINICIJA. Naj bo {an; n ∈ IN}, poljubno naraščajoče zaporedje, ki konvergira k a. Leva limita funkcije f v točki aje enaka limiti zaporedja

{f(an); n ∈ IN}, če ta limita obstaja.

DEFINICIJA. Naj bo {an; n ∈ IN}, poljubno padajoče zaporedje, ki konvergira k a. Desna limita funkcije f v točki aje enaka limiti zaporedja

{f(an); n ∈ IN}, če ta limita obstaja.


IZREK. Funkcija f je zvezna v notranji točki a definicijskega območja Df natanko tedaj, ko je

f(a − 0) = f(a + 0) = f(a).

DEFINICIJA.

Točka nezveznosti prve vrste: obstajata leva limita

f(a − 0) in desna limita f(a + 0), vsaj ena od teh limit pa ni enaka f(a).

Točka nezveznosti druge vrste: vsaj ena od limit

f(a − 0) in f(a + 0) ne obstaja.


Primer. Poiščite in analizirajte točke nezveznosti danih

funkcij.

(signumx = predznak števila x)

(odpravljiva nezveznost)


DEFINICIJE.

Funkcija je zvezna v robni točki a definicijskega intervala Df = [a, b] natanko tedaj, ko je vrednost funkcije f v točki a enaka desni limiti te funkcije v točki a:

f(a) = f(a + 0).

Funkcija je zvezna v robni točki b definicijskega intervala Df = [a, b] natanko tedaj, ko je vrednost funkcije f v točki b enaka levi limiti te funkcije v točki b:

f(b) = f(b − 0).


Funkcija je zvezna na intervalu [a, b] ⊆ Df natanko

tedaj, ko je zvezna v vsaki notranji točki tega intervala,

v točki a zvezna z desne, v točki b pa zvezna z leve.

Funkcija je zvezna na definicijskem območju Df

natanko tedaj, ko je zvezna v vsaki točki definicijskega

območja.


POSLEDICA. Naj bosta f in g zvezni funkciji v točki a. Tedaj so v točki a zvezne tudi funkcije f + g, f − g in f g. Če je , je v točki a zvezna tudi funkcija f/g.

IZREK.Če je funkcija f zvezna v točki a, funkcija g pa v točki f(a), je v točki a zvezen tudi kompozitum g ◦ f.

POSLEDICA. Naj bo f zvezna monotona funkcija. Tedaj obstaja tudi inverzna funkcija in je zvezna funkcija.


IZREK. Naj bo f zvezna na omejenem zaprtem intervalu [a, b] . Če je , zavzame funkcija f na tem intervalu vsako vrednost med f(a) in f(b) vsaj enkrat.

IZREK. Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a, b]. Tedaj je f na tem intervalu omejena.

IZREK. Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija.

IZREK. Inverzna funkcija zvezne funkcije je zvezna funkcija.


ODVOD FUNKCIJE


3.5. Odvod funkcije

Isaac NEWTON (1642 – 1727 )

GottfriedWilheimvon LIEBNITZ (1646 – 1716 )

f: IR → IR, a notranja točka Df , funkcija f zvezna v

točki a

∆x, h - sprememba neodvisne spremenljivke

∆f - sprememba odvisne spremenljivke

Funkcija f je zvezna v točki a, zato velja


DEFINICIJA. Diferenčni količnik funkcije f v točki a je količnik

Pri h = 0 je diferenčni količnik nedoločen: .


DEFINICIJA. Odvod funkcije f v točki a je enak

limiti diferenčnega količnika, ko gre h proti 0 (oziroma proti 0)

če ta limita obstaja in je končna (tedaj pravimo, da je funkcija fodvedljiva v točki a).


Geometrijska interpretacija odvoda

Funkcija f naj bo v točki a zvezna in odvedljiva.

Sekanta na graf funkcije f je premica, ki gre skozi točki T(a, f(a)) in T’(a+h, f(a+h)).

Smerni koeficient sekante ks je

αs je kot, ki ga sekanta oklepa s pozitivnim poltrakom osi x.


Ko gre h proti 0, zdrsne točka T’ po grafu funkcije f v točko T. Pri tem se sekanta presuče v tangento na krivuljo y = f(x) v točki T. Zato je smerni koeficient tangente enak

αt je kot, ki ga tangenta oklepa s pozitivnim poltra-kom osi x.

POSLEDICE:

tangenta je vodoravna, a je stacionarna

točka funkcije f.

v točki a je funkcija naraščajoča.

v točki a je funkcija padajoča.


DEFINICIJA. Naj bo x poljuben element definicij-skega območja Df funkcije f. Odvod f ’ funkcije f v točki x je

če ta limita obstaja in je končna.

Diferencialna oblika zapisa odvoda:


Funkcija f je odvedljiva na intervalu [a, b], če je odvedljiva v vsaki notranji točki intervala, v točki a odvedljiva z desne

,

v točki b pa z leve

.

Funkcija f je odvedljiva na definicijskem območju Df, če je odvedljiva v vsaki točki definicijskega območja.

VELJA: če je funkcija odvedljiva, je zvezna.

Obratni sklep nasploh ne velja.


Primer. Izračunajte odvod funkcije . Uporabite definicijo

odvoda.

Primer. Pokažite, da funkcija ni odvedljiva v točki

x = 0.


Odvodi elementarnih funkcij

Funkcija f(x) Odvod f ’(x)

Konstantna funkcija C0

Potenčna funkcija

Eksponentna funkcija

Logaritemska funkcija

Trigonometrične funkcije


Funkcija f(x) Odvod f ’(x)

Obratne trigonometrične

funkcije


Pravila za odvajanje funkcij

Naj bosta odvedljivi funkciji.

Odvod vsote (razlike)

Odvod produkta

Odvod količnika

Odvod posredne funkcije (kompozituma)

(v diferencialni obliki)


Primer. Izračunajte odvode danih funkcij.


Odvod inverzne funkcije

Naj bo f povratno enolična in odvedljiva funkcija.

Odvajamo enačbo

V diferencialni obliki:


Odvod implicitno podane funkcije

Naj bo funkcija podana v nerazviti obliki (implicitno) F(x, y(x)) = 0. Z odvajanjem enačbe

F(x, y(x)) = 0

lahko izračunamo odvod y’(x) brez poznavanja razvite oblike enačbe funkcije y(x) .

Primer. Izračunajte odvod funkcije, podane z enačbo


3.6. Uporaba odvoda3.6.1. Enačba tangente in normale na krivuljo

Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x = a. V točki

T(a, f(a)) tedaj obstaja tangenta in normala na graf funkcije f (na krivuljo y = f(x)).

Enačba tangente točki T(a, f(a)):

Enačba normale v točki T(a, f(a)) (upoštevamo, da je

):


Primer. Zapišite enačbo tangente in normale na graf funkcije

v točki z absciso .


3.6.2. De l’Hospitalovo pravilo

IZREK 1. Naj bosta funkciji u, v: IR → IR v okolici

U(a) točke a definirani in odvedljivi in naj bo

u(a) = v(a) = 0. Tedaj je


IZREK 2. Naj bosta funkciji u, v: IR → IR v okolici U(a) točke a definirani in odvedljivi povsod razen v točki a in naj velja

,

Tedaj je


Primer. Izračunajte dane limite.


3.6.3. Diferencial funkcije

Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x. Tedaj velja

sprememba neodvisne spremenljivke x

dx diferencial neodvisne spremenljivke x

sprememba vrednosti funkcije

df diferencial funkcije


Primer. Dana je funkcija . Primerjajte dejansko

spremembo te funkcije in njen diferencial, če povečamo

neodvisno spremenljivko z 1 na 1,01.


Odvodi višjega reda

Naj bo funkcija f odvedljiva v okolici U(x) točke x. Če

je tudi f ’: IR → IR odvedljiva funkcija, je

drugi odvodf ’’(x) := (f ’ (x))’.

Če je tudi f ’’: IR → IR odvedljiva funkcija, je

tretji odvodf ’’’(x) := (f ’’(x))’.

Če je tudi f ’’’: IR → IR odvedljiva funkcija, je

četrti odvod .

……………………………………………

n-ti odvod (odvod reda n)


Primer. Izračunajte vse višje odvode danih funkcij.


3.6.4. Taylorjeva vrsta

Taylorjeva formula za polinom

Naj bo polinom

stopnje n. Denimo, da so v točki a ∈ IR znane vrednosti

Ali lahko s temi vrednostmi izračunamo vrednost polinoma p v sosedni točki x = a + h?


Odgovor:

Oziroma, za h = x − a:

Če je v dani točki a znana vrednost polinoma in vrednosti

vseh njegovih odvodov, lahko izračunamo vrednost

polinoma v katerikoli točki x.

Vrsta na desni strani zgornjih enakosti je Taylorjeva vrsta

za polinom p(x).


Primer. Poiščite tisti polinom p, za katerega velja

in


Naj bo f poljubna (n+1)-krat zvezno odvedljiva

funkcija. V točki a ∈ IR naj bodo znane vrednosti

S Taylorjevo vrsto lahko tedaj zapišemo vrednost

funkcije v točki x = a + h:

,

pri čemer je Rn ostanek Taylorjeve vrste.


Če je pri dani funkciji in pri dovolj majhnem številu h

, lahko s Taylorjevo vrsto izračunamo f(a+h) s

poljubno natančnostjo. Tedaj je

Ocena ostanka:

Naj bo funkcija f vsaj (n+1)-krat zvezno odvedljiva.

Lagrangeva oblika ostanka:


Poseben primer: a = 0, x = h.

Če je izpolnjen pogoj , dobimo

MacLaurentovoobliko Taylorjeve vrste:

Ocena ostanka:


PRIMER.

Naj bo funkcija in naj bo a = 0. Tedaj je

Ocena ostanka: za vsak x ∈ IR

Zato je za vsak x ∈ IR


3.6.5. Lokalni ekstremi funkcije

DEFINICIJA.

Funkcija f ima v točki alokalni maksimum natanko

tedaj, ko obstaja taka okolica točke a, da velja

sklep

DEFINICIJA.

Funkcija f ima v točki alokalni minimum natanko

tedaj, ko obstaja taka okolica točke a, da velja

sklep


Drugačna formulacija:

Funkcija f ima v točki alokalni maksimum natanko tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da velja za vsak |h| < ε in

ocena

f(a + h) < f(a).

Funkcija f ima v točki alokalni minimum natanko tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da velja za vsak |h| < ε in

ocena

f(a + h) > f(a).


∆f := f(a + h) − f(a) sprememba funkcije

Funkcija f ima v točki alokalni maksimum natanko tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da je sprememba funkcije negativna

∆f < 0 za vsak |h| < ε in .

Funkcija f ima v točki alokalni minimum natanko tedaj, ko obstaja tak ε > 0, da je sprememba funkcije pozitivna

∆f > 0 za vsak |h| < εin .


Potrebni pogoj za lokalni ekstrem

DEFINICIJA. Točka a je stacionarna točka funkcije f natanko tedaj, ko je f ’(a) = 0.

IZREK. Odvedljiva funkcija f ima v točki a lokalni ekstrem ⇒ f ’(a) = 0 (točka a je stacionarna točka funkcije f ).


Zadostni pogoji za lokalni ekstrem (z analizo prvega in drugega

odvoda)

IZREK. Naj bo a stacionarna točka funkcije f (velja f ’(a) = 0)

in naj bo funkcija f v okolici te točke dvakrat zvezno odvedljiva.

Če je drugi odvod v stacionarni točki a pozitiven, ima funkcija v

tej točki lokalni minimum.

Če je drugi odvod v stacionarni točki a negativen, ima funkcija v

tej točki lokalni maksimum.


Zadostni pogoji za lokalni ekstrem (z analizo prvega odvoda in

odvodov višjega reda)

IZREK. Naj bo a stacionarna točka vsaj n-krat zvezno odvedljive funkcije f

(velja torej f ’(a) = 0). Nadalje naj velja

,

odvod stopnje n pa naj bo prvi, ki je v točki a različen od 0: .

Velja: če je n sodo število, ima funkcija f v točki a lokalni ekstrem in sicer

lokalni maksimum, če je in

lokalni minimum, če je .

Če je n liho število, v točki a ni ekstrema – točka a je točka na stopnici.


Primer. Poiščite lokalne ekstreme danih funkcij.


Zadostni pogoji za lokalni ekstrem (z analizo prvega odvoda)

IZREK. Naj bo a stacionarna točka funkcije f (velja torej f ’(a) = 0) . Če pri

prehodu skozi točko a odvod spremeni predznak, ima funkcija f v tej točki

lokalni ekstrem.

Če je odvod levo od točke anegativen, desno od te točke pa pozitiven, ima

funkcija v tej točki lokalni minimum.

Če je odvod levo od točke apozitiven, desno od te točke pa negativen, ima

funkcija v tej točki lokalni maksimum.

Če pri prehodu skozi točko a odvod ohrani svoj predznak, v tej točki ni

lokalnega ekstrema.

Primer. Poiščite lokalne ekstreme funkcije


3.6.6. Konkavnost, konveksnost, prevoji

DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] od spodaj

konveksna natanko tedaj, ko je

f ’’(x) > 0 za vsak x ∈ [a, b].

DEFINICIJA. Funkcija f je na intervalu [a, b] od spodaj

konkavna natanko tedaj, ko je

f ’’(x) < 0 za vsak x ∈ [a, b].

DEFINICIJA. Funkcija f ima v točki aprevoj natanko

tedaj, ko se njen graf v točki (a, f(a)) previje iz konkavnosti

v konveksnost ali obratno.

Velja: v prevojni točki ima drugi odvod funkcije f ničlo lihe

stopnje.


Primer. Poiščite prevojne točke in območja konveksnosti

oziroma konkavnosti dane funkcije.


Vprašanja, naloge

1. Skicirajte graf funkcije f: IR → IR, podane s predpisom f(x) = | x− 3 |. Ali je funkcija pri x = 3 zvezna, ali je odvedljiva?

2. Funkcija f: IR → IR je konstantna in velja f(3) = 5. Zapišite njeno enačbo skicirajte njen graf.

3. Za funkcijo f velja:

Zapišite enačbo funkcije f in skicirajte njen graf v okolici točke x = 2.


4. Naj bo in . Kaj lahko sklepate o vedenju funkcije f v okolici točke x = −1? Zapišite enačbo funkcije f in skicirajte njen graf v okolici točke x = −1.

5. Funkcijo f(x) = lnx razvijte v Taylorjevo vrsto v okolici točke 1. Z dobljeno vrsto zapišite število ln 2 (uporabite prvih 5 členov vrste). Ali dobljena številska vrsta konvergira? Ali konvergira absolutno?

6. Gaussova krivulja je graf funkcije . Poiščite njeno definicijsko območje, zalogo vrednosti, intervale naraščanja / padanja, intervale konveksnosti / konkavnosti, lokalne ekstreme in prevoje ter krivuljo skicirajte.


  • Login