1 / 28

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás. dr. Szalkai István . TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező c) geometriai valószínűségi mező

anisa
Download Presentation

Valószínűségszámítás

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Valószínűségszámítás dr. Szalkai István

  2. TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező c) geometriai valószínűségi mező 3. Feltételes valószínűség, események függetlensége 4. Valószínűségi változók a) általános definíciók b) várható érték, szórás

  3. 5. Nevezetes diszkrét eloszlások: a) Bernoulli (= binomiális = visszatevéses mintavétel) b) Hipergeometriai (=visszatevés nélküli mintavétel) c) Geometriai (=próbálkozás amíg nem sikerül) d) Poisson (= a) közelítése) 6. Nevezetes folytonos eloszlások: a) Egyenletes (= buszváró, ="hidastábla", … ) b) Exponenciális (= nem öregedő élettartam) c) Normális (= fizikai / biológiai rendszerek)

  4. 7. Nagy számok törvényei (Markov, Csebisev, Bernoulli, Csebisev, Centrális, Moivre-Laplace) 8. Két diszkrét val.vált. összefüggése (=kétdimenziós v.v.)

  5. Ajánlott irodalom: ( " Példatár " )

  6. 0. Kombinatorika Hány / hányféleképpen ? = hat képlet = hat új alapművelet i) Sorbarendezések:n elem egy sorban = permutációk - ha az n elem mind különböző (ismétlés/ ismétlődés nélkül) => Pn = 1·2·3·...·(n-1)·n = n! / 0! = 1 / . - ha az n elem nem mind különböző (ismétléses), azaz s féle: az egyes típusokból k1 , k2 , … , ks van, akkor => Pnk1,…,ks (ism) = n! , ( k1 + k2 + … + ks = n ) k1!k2! … ks!

  7. ii) Kiválasztások n különböző elem közül k -szor választunk ki egyet-egyet a KIVÁLASZTÁS SORRENDJE számítnem számít (pl. tombola) (pl. lottó) VARIÁCIÓ KOMBINÁCIÓ Vnk <= ismétlés/visszatevés nélkül => Cnk Vnk (ism) <= ismétléssel = visszatevéssel => Cnk (ism)

  8. Vnk= n·(n-1)·(n-2)…(n-(k-1)) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) Vnk (ism)= n·n·….·n = nk , Cnk = ( nk ) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) = n! , k! k! ·(n-k) ! = " binomiális együtthatók "= Vnk / k! Ck (ism) = ( n+k-1 ) = / n+k-1\ nn-1 \ n-1 / ((szövegszerkesztő !!! ))

  9. Binomiális együtthatók alaptulajdonságai / Cnk = ( nk ) = n elem közül k -t kiválasztani hányféleképpen visszatevés nélkül, sorrend lényegtelen / ( n0 ) = ( nn ) = 1 , ( n1 ) = ( nn-1 ) = n , ( nk ) = ( nn-k ) / szimmetria tulajdonság/ pl. / 20\ = / 20 \ = 20·19·18·17·16 \ 15 / \ 5 / 1·2·3·4·5 / 90\ = 20·19·18·17·16 \ 5 / 1·2·3·4·5

  10. 1. Eseményalgebra Definíciók: Kísérlet = aktív vagy passzív, valami történik, Eseménytér = kísérlet összes lehetséges kimenetele = tetszőleges halmaz  Jele: H , Ω vagy T (=Solt Gy. ###) , … .  pl. Két kockával dobunk => Ω = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , … , (6,6) } | Ω | = 36 Megj.: két különböző kocka / pénzérme / …

  11. Def.: Esemény: Tetszőleges A Ω részhalmaz .  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pl. A := " a két kocka összege = 5 " = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) } Ω . Def.: Lehetetlen esemény = … ... = Ω (Solt:O=) biztos esemény = … … = ΩΩ (Solt:I=Ω=T) ellentett esemény = tagadás = Ω \ A = A komplementere  Kísérlet végeredménye: xΩ Def.: A esemény bekövetkezik: xA .  A Ω Def.: A és B kizárják egymást /?/ ( xA => xB és xB => xA ) tehát: A és B diszjunktak A  B =  . 

  12. Eseményalgebra = esemény műveletek = halmazműveletek Def.: A vagy B = A B =: A+B események "összege", A és B = A B =: A•B események "szorzata", nem A = A— =: A—esemény "ellentettje", (= tagadás / komplementer) A => B = A  B = " A maga után vonja B -t" (= A -ból következik B) 

  13. Halmazműveletek tulajdonságai: Eseményalgebra:>>> ld. ### Solt Gy. 47.old.

  14. Pl: disztributivitás (széttagolhatóság) : halmazelméletben: valószínűségszámításban A  (BC) = (AB)  (AC) A(B+C ) = (AB)+(AC) A  (BC) = (AB)  (AC) A+(BC) = (A+B)(A+C) De Morgan - azonosságok: ____ __ __ ____ __ __ AB = A  B A+B = A  B ____ __ __ ____ __ __ AB = A  B AB = A + B

  15. 2a) A valószínűség axiómái és következm.(Kolmogorov) P(A) = ? A esemény valószínűsége (esélye):  R DEF: P : A  p  R P : P()  R tetszőlegesfüggvény amelyre: i) 0  P(A)  1 ii) P() = 0 , P() = 1 , (100% ill. 0% ) iii) ha A és B kizáróak => P(AB) = P(A)+P(B)  KÖV:tetszőleges A, B halmazokra P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)  !!!!! P(A)  TA / terület / !!!!!

  16. KÖV: P(A-) = 1 - P(A) (tagadás) ha A  B =>P(A) P(B) (A maga után vonja B -t)  DEF: A lehetetlen esemény, ha P(A) = 0 . A biztos esemény, ha P(A) = 1 .  Pl: A  N , A = { négyzetszámok } lehetetlen, mert P(A) = limn n / n = 0 . !!!!! P(A)  TA / terület / !!!!!

  17. DEF: teljes eseményrendszer = partíció = felosztás  = B1  B2  B3 …  Bn(lefed hézagtalanul) és Bi  Bk =  ( ik)(nincs átfedés)  Állítás: Ekkor P(B1) + P(B2) + P(B3) + … + P(Bn) = 1 .  P(A) = TA

  18. 2.b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező Ha véges és minden eleme egyenlő esélyű, akkor P(A) = | A | / |  | (= " k/ö ")  2.c) geometriai valószínűségi mező Ha -t geometriai alakzattal szemléltethetjük, és P(A) a területtel / hosszal arányos, akkor P(A) = TA / T = hA / h  !!!!! GYAKORLÁS !!!!! ### Solt Gy. 91-99.old. kimarad !!! ( Maxwell, Boltman, Bose, Einstein, Fermi, Dirac )

  19. 3.a) Feltételes valószínűség " Ha B bekövetkezett, akkor A -ról mit tudunk ? " DEF:jele: P (A | B) (" A feltéve B ") kiszámítása: P (A | B) := P(A  B) P(B) ha P(B)  0 .  Szorzás-Tétel: P(A | B) P(B) = P(A  B) . 

  20. Teljes valószínűség Tétele: Ha B1 , B2 , B3 , … , Bnteljes eseményrendszer, P(Bi)  0 , akkor tetszőleges A  Ω eseményre P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + …+ P(A|Bn)P(Bn) .  TA = TAB1 + TAB2 + …+ TABn . P(A) = TA

  21. Bayes Tétele: (= Megfordítási Tétel) P (B | A) := P(A |B)  P(B) P(A) 

  22. 3.b) események függetlensége Megj: A és B független  P(A|B) = P(A) és P(B|A) = P(B)  Áll: P(AB) = P(A)P(B) Def: ez utóbbi .  Megj: természet  fenti képlet. 

  23. 4. Valószínűségi változók / v.v. /  = " a kísérlet (mérés) számszerű végeredménye " (A) = amit éppen mérünk, A eseménynél. Def: /mat./  : P()  R tetszőleges függvény.  : A | z  R valós szám.  !!!  lehet : DISZKRÉT: Im() = {x1, x2, … , xn , … } /felsorolható/ vagy FOLYTONOS: Im() = R // Im() = ÉK = a mérés összes lehetséges eredménye //

  24. DISZKRÉT v.v. eloszlása : Im() = { x1 , x2 , x3 , x4 , … , xn , … } eloszlása := { p1 , p2 , p3 , p4 , … , pn , … } ahol pi := P(=xi) /a méréseredmények val./   Axiómák: /alaptulajdonságok/ (i) 0  pi  1 (ii) i=1 pi = 1 .   DEF./mat./: Tetszőleges {p1,p2,…,pn,…} sorozat a fenti két tulajdonsággal. 

  25. FOLYTONOS v.v. eloszlása = SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ábra: f(x)

  26. DEF: Sűrűségfüggvény axiómái / folytonos/ (i) 0  f(x)  xR (ii) Rf(x) dx = 1 .  Alkalmazása: P( a    b) = abf(x) dx = F(b) - F(a) ahol F(x) =  f(x) dx = primitív függvény = eloszlásfüggvény !!!pontosabban: DEF:F(b) := P(   b) = -bf(x) dx .  vagy f(x) = F'(x) = deriváltfüggvény = sűrűségfüggvény /Szótár!/ DEF: Eloszlásfüggvény axiómái ( xR) / tetszőleges/ (i) 0  F(x) 1 , (ii) F(x) monoton nő , (iii) limx  F(x) = 0 , limx + F(x) = 1 , (iv) F(x) balról folytonos: limxc- F(x) = F(c) /"teli karika"/ 

  27. "Tipikus" kérdések (és a válaszok) P(ξ<b) = bf(x) dx = F(b) P(aξ) = af(x) dx = 1-F(a) = 1- P(ξ<a) P(aξ<b) = abf(x) dx = F(b)-F(a) /N.-L.-szabály/ P(ξ=b) = 0 (ha ξ folytonos v.v.) P(ξc) = P(|ξ-c|<ε) = P(c-ε<ξ<c+ε) = F(c+ε)-F(c-ε) .

More Related