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格子超対称性に向けて

格子超対称性に向けて. 宗　博人 ( 新潟大・理 ) `02 Oct. 24 　　於　基研. 内容： ・　 ちょっと一言 ・　 超対称性とは？ ・　 格子上の超対称性の登場と困難 ・　 Wilson Fermion では？ ・　 フェルミオニック対称性 ・　 坂井・坂本　→　 Kaplan et. al (02) ・　 セル＋パイプ模型 (01) 伊藤・加藤・澤中・宗・浮田・村田 ・　 まとめ. 一言. （ ２００２ まで） 格子上の超対称性 は、 ・格子 QCD の勃興期に対応 ・いろんなアプローチが提唱

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格子超対称性に向けて

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Presentation Transcript

  1. 格子超対称性に向けて 宗　博人(新潟大・理) `02 Oct. 24 　　於　基研 内容： ・　ちょっと一言 ・　超対称性とは？ ・　格子上の超対称性の登場と困難 ・　Wilson Fermion では？ ・　フェルミオニック対称性 ・　坂井・坂本　→　Kaplan et. al (02) ・　セル＋パイプ模型 (01) 伊藤・加藤・澤中・宗・浮田・村田 ・　まとめ

  2. 一言 （２００２まで）格子上の超対称性は、 ・格子QCDの勃興期に対応 ・いろんなアプローチが提唱 ・新人でもあっと驚く仕事の可能性 ・確実な仕事向きではないが….

  3. 格子QCD カイラル ゲージ 理論 格子 超対称性 CP PACS Luscher ???? 行列模型 格子 量子重力 先頭

  4. 連続理論における超対称性 ポアンカレ対称性 (並進 + ローレンツ対称性)を含む非自明な拡張には、 フェルミオニックな対称性を必ず含む　　（超ポアンカレ対称性） →‘beyond the standard model’の有力候補 超ポアンカレ代数（N=1)

  5. ガンマ行列

  6. フェルミオンとボソンの自由度と質量縮退 （真空はユニーク） 真空以外は、　同じ(物理的）自由度

  7. 同様に、質量縮退は、 を計算 質量縮退 但し、PとQが可換、Qと(-1)2Sは反可換を使う

  8. 物質場多重項 (D次元空間) ユークリッド理論 +経路積分量子化 S=0,1/2 超対称性(SUSY、supersymmetry)の変換

  9. R-symmetry　（SUSYと関わるglobal symmetry） 三種類のU(1)の存在、三つの複素場φ, ψ, F 多重項としてのU(1)、カイラルU(1)、 U(1)R ∵　本質的にカイラル　←　カイラルアノーマリー

  10. 連続でのsuper Yang-Mills 理論without Auxiliary Field ゲージ場多重項 (S=1, 1/2) 変換 ライプニッツ則とビアンキ恒等式 O(Ψ）は、任意次元で相殺

  11. O(Ψ3）は、以下の次元のみ相殺 D=3 Majorana 2/2 = 1 D=4 Majorana 22 /2 = 2 D=6 SU(2) Majorana-Weyl 23*2/2/2 = 4 D=10 Majorana-Weyl 25/2/2 = 8

  12. Pioneering Work; １　格子上の超対称性の始まり LATTICE SUPERSYMMETRY P.H. Dondi, H. Nicolai, Nuovo Cim.A41:1,1977 格子化 → ナイーブ差分 問題点 　　　　　・代数　　　　　　　　 　　　　　・ライプニッツ則 　　　　　・（ビアンキ恒等式） 　　　　　・自由度（ダブリング） 　　　　　・質量、無質量 　　　　　・‘マヨラナ条件’ お断り Ginsparg-Wilson Fermion関係式とSUSYの関係 （菊川-青山、宗-浮田、菊川-中山、藤川） 省略

  13. Ginsparg-Wilson(GW)関係式と超対称性 D=2, Wess-Zumino 模型（Ukita-H.S PL B457 (‘99)314） ミクロからマクロへ・・・ブロックスピン関数　fn(x)

  14. GWと同様の方法（ガウス型）で、ブロックスピンGWと同様の方法（ガウス型）で、ブロックスピン ・　カイラル変換では、普通のGW関係式を導く。 　　具体的なブロックスピン関数(f)によらない。 ・　SUSYでは、具体的なブロックスピン関数(f)に依存する。 フェルミ型GW＋ボーズ型GWを見つけられる（A-K’９９） U(1)Rは　Luscher型である。 　　しかし、fは一般に非局所的である。 さらに、相互作用があるとお手上げ ・　super Yang-Mills　では、mass term （ガウス型ブロックスピン）とゲージ対称性の相性は？？？？ ・　量子マスター方程式では、克服可か？？？

  15. ２ 困難 ↓ （結晶）空間群　←　有限並進変換 ← Super Poincareの再考 A.SUSY代数 B.ライプニッツ 則の破れ (野尻、青山-菊川、宗-浮田、・・・藤川・・・・) 自由場の理論　　→　　 作用の不変性に対して、 O(a)の破れか、 ライプニッツ 則を使わない

  16. 格子ライプニッツ則のno-go定理 条件 ・　並進不変性 ・　‘local’な差分によるライプニッツ則 ・　相互作用が、（指数関数的に）local ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー →　不可能 Ukita-H.S　　　　　　’99 SUCAL 新潟研究会報告

  17. SYM → O(a)の破れ I → Adjoint Wilson Fermion + Fine Tuning ICurci-Veneziano II Kaplan-Schmaltz ‘マヨラナ条件’ Fine Tuning of Δm

  18. 仮定：SUSY固定点ありき relevant, irrelevant Operatorsに分類 ゲージ不変な（自由度もバランスした）形式では Fine Tuningは、フェルミオンの質量項のみ カイラル Ward-Takahashi id. SUSY Ward-Takahashi id. 同等性（一つのΔmで、両恒等式をsaturate） 谷口、DESY-Munster-ROMA (1-loop, MC) 一応肯定的だが、 実際のシミュレーション、有限繰込み

  19. II Domain-Wall Fermion + 5D Majorana Condition Domain-Wallの図 ゼロモードの図 5次元マヨラナ条件 ・Fine Tuningは不要になった ・symmetryはない

  20. ３　ライプニッツ則は必要か？ • フェルミオニックな対称性 　　　　　　↓ Vacuum Energyの相殺　　　BosonとFermionの質量縮退 例　坂井-坂本　(Nucl.Phys.B229:173,1983) N=2, D=2 Wess-Zumino model Four Fermionic Charges 代数にPを含まない二つのCharges 表示 ・ ‘SUSY’代数としては、Hのみ含む ・ spinorを１に固定してinternal (1⇔2)回転不変性　GR= O(2) ・ 対称性が厳しいが、N=1でも可能(Elitzur-Rabinovici-Schwimmer ’82)

  21. ∴Hamilton形式ではライプニッツの問題がない 但し、全体の半分のFermionic Chargeのみ あとの対称性は、格子上では問わない 場の置き方：サイト上とリンク上にばらける サイト(n) リンク(n,n+1) Super Potential Wがあっても、OK. Nicolai Mapping → ユークリッド作用の構成 真空のエネルギーの相殺（Z=1）の確認 何故、サイトとリンクにばらけたのか？ →　自由度の問題 1+1次元では、Wilson とStaggeredの区別がない？

  22. ナイーブなアプローチ フェルミオン doubling →ボソン doubling

  23. Catteral-Karamov Phys.Rev.D65:094501,2002 Nucl.Phys.Proc.Suppl.106:935-937,2002 ユークリッド作用の対称性 ↓ フェルミオニックな対称性 フェルミオンとボソンの質量縮退 Super-QM 注意 1 変換は　BRS的 2 OS positivityはない 変換

  24. Mass の縮退と　SUSY Ward-Takahasi id. フェルミオンとボソンの縮退の表 SUSY Ward-Takahasi id.

  25. LATTICE SUPERSYMMETRYD.B.Kaplan E.Katz and M. Unsalhep-lat/0206019 ・ Construction of Lattice Theory ・ Exact Fermionic Symmetry - half of original ‘SUSY’ – ･ 3 Ms　　　　　　　　　　⇒　　6 daughters D=4,6,10 or N=1,2,4Orbifolding ･ Hamilton形式 →　0+1次元理論 ・ Lack ofdiscrete‘ Lorentz’ symmetry ・ Lack of O-S positivity （？）

  26. ‘d次元空間’＋連続時間 Construction of Connectivity GR×U(Nd k)　　　∋ Adjoint GR : GlobalR-Symmetry ←単なる整数の組 d個の制限　（‘Orbifolding’） ←　‘格子化’ Nは‘空間’格子のサイズ

  27. 1次元空間の例 Φが0以外の値を持つには、 orbifold chargeが0の時は、n=m ‘サイト’と呼ぶ orbifold chargeが±1の時は、n=m ±1 ’リンク‘と呼ぶ 高次元の場合は、以下の表から読み取る

  28. (i) 一次元（空間）格子 (ii)　二次元（空間）格子 (a) point group π回転と鏡映(4) (b) point group Dihedral sym. (12) (iii)　三次元（空間）格子 Octahedral sym. (48) point group

  29. 図(ii)a 図(i) 図(ii)b 図(iii)a

  30. 図(iii)b 図(iii)c point group (8)

  31. １＋１次元理論の連続極限と格子‘作用’ N=1,３＋１次元SYMの連続理論のreduction Target Theory 図１の例（０＋１次元） 補助場を消すと ボソン フェルミオン

  32. Classical moduli ‘格子化’へのパラメーター 連続極限 ‘Wilson’ 項の生成

  33. フェルミオニックな対称性とセル＋パイプ模型フェルミオニックな対称性とセル＋パイプ模型 Itoh-Kato-Sawanaka-So-Ukita , Nucl.Phys.Proc.Suppl.106:947-949,2002 Prog. of Theor. Phys. 108 :363-374,2002,hep-lat/0209034 Itoh-Kato-Murata-Sawanaka-So, hep-lat/0209030 • セル模型 ・・・・　 Minimalな世界 基本格子上の 　　リンクにリンク変数　　　　　　と 　　サイトに、グラスマン変数　　　を置く Wilson’s plaquette Action ＋　real staggered Fermion 戦略：可能な限り、localな理論の枠で、 フェルミオニックな対称性を探す。 連続極限で生き残る対称性　→　SUSY？

  34. 2,3次元の図 連続でのsuper Yang-Mills変換に‘類似な’ フェルミオニックな対称性を探す フェルミオニックな変換　(preSUSY) αρμと　Cμνは、G-oddなパラメーター 図で書くと、ゲージはー、フェルミオンは●

  35. 作用の図 符号について 影つきが、δ=＋１ 変換の演算子の図

  36. フェルミ3次項を相殺するための条件 ⇔ ∴ ゲージ作用とフェルミ作用の相殺条件 ⇔

  37. ∴ 経路積分測度不変の条件 ⇒ 条件式を解く 独立変数 サイトあたりの自由度 ーーーーーーーーーーーーーーーー 全空間へ拡張は可能か？ すべての断面で、市松模様 = Ichimatsu lattice

  38. フェルミオンをswitch offすると各セルは、 お互いに何の関係もない ・パイプ模型からセル＋パイプ模型へ パイプ　＝セルの補集合 パイプの図 セルとパイプを式で書くと セル＋パイプ作用

  39. セル＋パイプ模型の対称性 独立な自由度 2D-1で解ける

  40. Ichimatsu Lattice のuniqueness定理　 仮定 結論 ・ どんな面でも市松模様 ・ mod 2 並進対称性 ・ π/2回転対称性 ・ Reflection Positivity セルかパイプか ⇒ 　 セル＋パイプ 　　 しかない ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 1-component Grassmann (ξ)と フェルミオン (Ψ)の関係 Majorana Staggered Fermionの Spinor 再構成の問題 Ψ　　　　⇔　　　　ξ 現実には、次元による構成

  41. 連続極限と真空構造 ゲージ結合定数の定義 フェルミオンの変換の問題 の相構造が大事 3D Z2と4D SU(2)模型で調べる （相転移がある系とクロスオーバーしかない系） Pure Gauge 系

  42. 平均場による相図 Dualityとセルやパイプでの相転移

  43. 3D Z_2 セル+パイプ模型 では、３Dイジングに等価

  44. シミュレーションによる相図

  45. 4D SU(2)　セル＋パイプ模型 Crossover　付近

  46. 強結合パイプ模型

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