Eduard Lara , Carles Mallol IES CAR SANT CUGAT

1. Vectors al pla i rectes Eduard Lara , Carles Mallol IES CAR SANT CUGAT

2. Definició Vector V B ≡ Punt Destí Segment orientat Fletxa V = AB A ≡ Punt Origen

3. Característiques d’un vector Un vector es defineix mitjançant la seva direcció, sentit i mòdul: • Direcció: La de la recta que conté el vector. Una direccio té dos sentits oposats. • Sentit: La punta de la fletxa indica el sentit (de A cap a B) • Mòdul: Longitut del vector. Es representa amb el següent simbol |AB| Direcció Sentit Longitut o mòdul

4. v v v Vectors multidimensió R3 z R x x R2 y y Vectors Rn x

5. Vectors a R2 • Els vectors que estudiarem es representen al pla R2 • El pla R2 és el conjunt de parelles de nombres reals, representats de la forma (x, y) -> Pla cartesià • V2 és el conjunt algebraic (espai vectorial) que engloba tots els vectors representables a l’espai R2 P = (a, b) Per tot punt P(a, b) de R2, queda determinat el vector V (a, b), que neix al origen (0,0) i té el seu destí a punt P(a, b) V = (a, b) b a

6. Base Canónica del pla R2 • Els vectors u1(1,0) i u2(0,1) formen una base del pla R2, ja que: • Son independents ja que un d’ells no es pot obtenir de l’altre: u1≠ k · u2 on k és una constant • Generen qualsevol vector del pla, mitjançant una combinació lineal d’ells dos: V(a1, a2) = a1·u1 + a2·u2 = a1 (1,0) + a2 (0,1) = (a1, a2) • A més si també es compleix: u1 u2 i |u1| = |u2| = 1 → Base Canònica

7. Altres bases a V2 • Qualsevol conjunt de 2 vectors linealment independents a V2 són una base. • {(2,4) (5,3)} són base (independents i generadors de V2) • {(2,4) (3,6)} ? Són dependents ja que (3,6) = k(2,4) on k=3/2 No formen base perquè son paral·lels • {(-2,6) (7,4) (4,2)} ? Són dependents ja que un es pot expressar com a combinació lineal dels altres dos. Sobra un vector

8. Coordenades Cartesianes d’un vector • V = a1·u1 + a2·u2 • Les coordenades cartesianes d’un vector V en la base u1, u2, son el coeficients dels vectors u1, u2 que generen V. • Component Horitzontal ≡ a1 • Component Vertical ≡ a2 V = 4·u1 + 5·u2 = (4, 5) 5 u1 4 u1

9. Mòdul i argument d’un vector Mòdul V(a,b) |V(a, b)| = a2 + b2 T. Pitágoras Argument V(a,b) tag(α) = b/a Raó Trigonomètrica V(a, b) b α a

10. Operacions amb vectors Suma vectors V1 +V2 V1 + V2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Suma de les coordenades V1 V2 Gràficament: Llei del paral.lelogram Multiplicació per un escalar k · V1 = k · (a, b) = (k · a , k · b) Multiplicació per cadascuna de les seves coordenades k V1 V1

11. Operacions amb vectors Vector Oposat V1 (-1) · V1 = (-1) (a, b) = (-a, -b) Multiplicació per -1 -V1 V1 - V2 Resta vectors V1 -V2 V1 – V2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Resta de les coordenades o suma per l’oposat de V2 V2

12. Construcció d’un vector Vector = Coordenades del punt destí – coordenades del punt origen Donats els punts A= (-3, 0), B= (2, 3), C= (0, -2), D= (5, 1) AB = (2, 3) – (-3, 0) = (5, 3) CD = (5, 1) – (0, -2) = (5, 3) B D A C Representant Canònic de (5,3) Son vectors equipolents: Mateix mòdul, direcció i sentit

13. Combinació lineal de vectors Diem que el vector V(v1,v2) es pot expressat com una combinació lineal dels vectors a(a1,a2) i b(b1,b2), si: V = k1·a + k2·b (v1, v2) = k1 (a1, a2) + k2 (b1, b2) V1 = k1 · a1 + k2 · b1 V2 = k1 · a2 + k2 · b2 Per trobar k1 i k2 s’ha de ressoldre un sistema d’equacions Diem que (k1, k2) són les coordenades de V respecte els vectors a i b

14. Representacions en altres bases Exercici Expressar el vector V = (6, 3) = 6 · u1 + 3 · u2 en coordenades de la base e1 = (-2, 1) i e2 = (0, -2) -3·e2 (6, 3) = k1 (-2, 1) + k2 (0, -2) 6 = -2·k1 – 0·k2 3 = k1 - 2·k2 k1 = -3 k2 = -3 V e1 e2 V = (6, 3) = (-3,-3) Coordenades Coordenades en base u1, u2 en base e1, e2 -3·e1

15. Dependència-Independència vectors • Quan un vector V es pot expressar com una combinació lineal d’un o d’altres vectors diem que V és linealment dependent d’aquests vectors • Donats dos vectors, V1 = (a1, b1) i V2 = (a2, b2), si:

16. Determinació vector unitari Donat un vector V(a, b), definim el vector unitari W que té la mateixa direcció i sentit de V, com: V (a, b) a b W = ──── = ────── = ──────, ────── | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Demostració | V | a2 b2 a2 + b2 |W| = ──── = ───── + ───── = ────── = 1 | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

17. Divisió d’un segment en n parts I • Per dividir un segment AB en n parts iguals, hem de trobar els (n-1) punts intermedis que defineixen cada part. • Cas simple: Trobar el punt mig d’un segment B(b1, b2) M(x, y) A(a1, a2) AM = ½ AB ( x - a1, y - a2) = ½ (b1 - a1, b2 - a2) (x, y)= ½ (b1 + a1 , b2 + a2 )

18. Divisió d’un segment en n parts II Exercici Trobar el punt més proper a A, resultant de la divisió del segment AB en 4 parts iguals, on A=(-2, -1) i B = (15, 20) B(15, 20) Punt demanat (x,y) AX = 1/4 · AB A(-2, 1)

19. Producte escalar de vectors Dues maneres de calcular el producte escalar: a · b = | a | | b | cos(a, b) a · b = (a1, a2) · (b1, b2) = a1 · b1 + a2 · b2 Propietats producte escalar a) Conmutativa: a · b = b · a b) Associativa mixta: k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) c) Distributiva: a · (b + c) = a ·b + a ·c

20. Angle format per dos vectors Aillant de la fòrmula del producte escalar: a · b a1 · b1 + a2 · b2 cos(a, b) = ─────── = ──────────── | a | | b | | a | | b | Possibles situacions: Angle = 180º Angle = 0º Angle = 90º Vectors paral·lels Vectors oposats Vectors normals

21. Vectors normals • Dos vectors són normals o perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero. • a · b = | a | · | b | · cos(90º) = 0 a b • Propietat Important • Donat un vector V(a, b), llavors la família de vectors W(-b, a) són perpendiculars • a · b = (a, b) · (-b, a) = -a · b + b · a = 0

22. Projecció d’un vector sobre un altre La projecció d’un vector V sobre W és defineix com: W Projecció VW = ──── V = | V | · cos (V, W) |W| V És la mida del vector V projectat ortogonalment sobre el vector W W Projecció de V sobre W

23. Determinació d’una recta • Una recta queda determinada amb: • Un punt A i el vector director V. • Dos punts A i B. Vector director de la recta • Qualsevol vector que és paral·lel a la direcció de la recta A Vdirector B A

24. Pendent d’una recta El pendent d’una recta és la tangent de l’angle que forma la recta amb l’horitzontal: m = tag (α) Vector director V(a, b) També es pot veure com la raó entre les coordenades del vector director α b m = ─── a

25. Equació vectorial de la recta (v1, v2) (x, y) K (v1, v2) (xo, yo) (xo, yo) + K (v1, v2)

26. Equacions de la recta I

27. Equacions de la recta II

28. Rectes perpendiculars • Siguin r i s dues rectes perpendiculars, amb pendents m i m’, llavors es compleix que: m · m’ = -1 • Si els vectors directors de r i s són v1 i v2, llavors el seu producte escalar és zero: • v1 · v2 = |v1| |v2| cos 90º = 0 • Si les coordenades de v1 són (a, b), les de v2 són múltiple de (b, -a): • v1 · v2 = (a, b)· (b, -a) = a · b – b · a = 0

29. Equacions rectes paral·leles als eixos • Les rectes paral·leles a l’eix OX són del tipus: y = k • Les rectes paral·leles a l’eix OY són del tipus: x = k y = 3 x = 3

30. Posició relativa punt i recta • Un punt i una recta poden presentar dos posicions: • El punt pertany a la recta • El punt es exterior a la recta A A

31. Distancia punt i recta Distància Punt - Recta P = (xo, yo) r ≡ A x + By + C = 0 |Axo + Byo + C| D(r, P) = ─────────── A2 + B2 Si el punt pertany a la recta, llavors es cumpleix que: Axo + Byo + C = 0 D(r, P) = 0

32. Posicións relatives dues rectes Dues rectes r ≡ Ax + By +C = 0 i s ≡ A’x + B’y + C’ = 0poden ser:

33. Distancia entre dues rectes Primer es necessari estudiar la posició relativa de les rectes r i r’: • Si son secants D(r, r’) = 0 • Si son coincidents D(r, r’) = 0 • Si són paral·leles Agafem un punt P qualsevol de la recta r’ i apliquem la fórmula: |Axo + Byo + C| D(r, P) = ───────── A2 + B2 Distància punt - recta