局部排氣裝置導管設計
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局部排氣裝置導管設計. 多氣罩範例. 設計範例. 6. 空氣密度 r = 1.2 kg/m 3 導管摩擦損失因數 f = 0.024 肘管壓力損失係數 F e = 0.22 氣罩壓力損失係數 F h = 0.85 合流支管壓力損失係數 F m = 1.0 合流主導管壓力損失 = 0. 11.6 m. 5. 3. 4. 3.6 m. 1. 2. 問題 1. 兩氣罩導管管徑均為 8.00 cm = 0.08 m d 1 = d 2 = 0.08 m 排氣機風量 Q = 17 m 3 /min

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Presentation Transcript


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局部排氣裝置導管設計

多氣罩範例


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設計範例

6

空氣密度 r= 1.2 kg/m3

導管摩擦損失因數 f = 0.024

肘管壓力損失係數 Fe = 0.22

氣罩壓力損失係數 Fh = 0.85

合流支管壓力損失係數Fm = 1.0

合流主導管壓力損失 = 0

11.6 m

5

3

4

3.6 m


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問題 1

  • 兩氣罩導管管徑均為 8.00 cm = 0.08 m

    • d1 = d2 = 0.08 m

  • 排氣機風量 Q = 17 m3/min

    • Q1+Q2 = Q3 = …= Q6 = (17 m3/min)(60 min/s) = 0.2833 m3/s(相當於電路中 Kirchhoff 電流律)

  • Q1 = ?Q2 = ?


0 1 3

0 - 1 - 3

  • A1 = pd12/4 = p(0.08 m)2/4 = 0.005027 m2

  • v1 = Q1/A1 = Q1/(0.005027 m2) = 198.9 Q1/m2

    • Q1還未知

  • Pv1 = rv12/2 = (1.2 kg/m3)(198.9 Q1/m2)2/2= 23747 Q12/m4

  • Pt3 = -(Fh + fL13/d1 + 2Fe)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(11.6)/0.08 + (2)(0.22)](23747 Q12/m4)= -(4.77)(23747 Q12/m4) = -1.132 × 105Q12/m4

有兩個肘管


0 2 3

0-2-3

  • A2 = 0.005027 m2

    • d2 = d1

  • v2 = Q2/A2 = 198.9 Q2/m2

    • Q2還未知

  • Pv2 = rv22/2 = 23747 Q22/m4

  • Pt3 = -(Fh + fL23/d2 + Fe+ Fm)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(3.6)/0.08 + 0.22 + 1.00](23747 Q22/m4)= -(3.15)(23747 Q12/m4) = -7.48 × 104Q22/m4

合流支管


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點 3 (合流)

  • 無論沿 0-1-3 或沿 0-2-3 所計算得的Pt3都要一樣

    • 電路中的 Kirchhoff 電壓律

  • -1.132 × 105Q12/m4 = -7.48 × 104Q22/m4

    • 簡化:11.32 Q12 = 7.48 Q22

    • Q1 = (7.48/11.32 )1/2Q2 = 0.8126 Q2

  • 又Q1 + Q2 = 0.2833 m3/s

    • 0.8126Q2 + Q2 = 1.8126Q2 = 0.2833 m3/s


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點 3 (合流,續)

  • Q2 = (0.2833 m3/s)/1.8126 = (0.1563 m3/s)(60 s/min) = 9.38 m3/min

  • Q1 = 17 m3/min – Q2 = 17 m3/min – 9.38 m3/min = (7.62 m3/min)(1 min/60 s) = 0.127 m3/s

  • 順便算v1與v2:

    • v1 = Q1/A1 = 0.127 m3/s/0.005027 m2 = 25.3 m/s

    • v2 = Q2/A2 = 0.1563 m3/s/0.005027 m2 = 31.3 m/s

  • 再繼續算Pv1與Pv2

  • 繼續計算下游導管,一直到得到 FTP 與 FSP 為止


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討論

  • 因為導管 0-1-3 長度遠大於 0-2-3,在相同風量下壓損較大,因此通過的風量較小,使風速與動壓較另一側小,如此才能使兩側壓損一樣

  • 但這樣一來,Q1 = 7.62 m3/min,可能過低

  • 改善方案:

    • 增加 0-1-3 管徑:可能使導管內風速過低

    • 減少 0-2-3 管徑


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問題 2

  • 令通過 0-1-3 的風量Q1 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s

  • 調整 0-2-3 的管徑d2,使通過 0-2-3 的風量也是Q2 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s

  • 這種方式稱為設計平衡法


0 1 31

0-1-3

  • A1 = 0.005027 m2

  • v1 = Q1/A1 = 0.1417 m3/s/(0.005027 m2) = 28.12 m/s

  • Pv1 = rv12/2 = (1.2 kg/m3)(28.12 m/s)2/2 = 476.6 Pa

  • Pt3 = -(Fh + fL13/d1 + 2Fe)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(11.6)/0.08 + (2)(0.22)](476.6 Pa)= -(4.77)(476.6 Pa) = -2273 Pa


0 2 31

0-2-3

  • A2 = pd22/4 = pd22/4 = 0.7854 d22

    • 這時d2還未知

  • v2 = Q2/A2 = (0.1417 m3/s)/ 0.7854 d22 = 0.1804 /d22 m3/s

  • Pv2 = rv22/2 = (1.2 kg/m3)(0.1804 /d22 m3/s)2/2 = 0.01952/ d24 kg-m3/s2

  • Pt3 = -(Fh + fL23/d2 + Fe+ Fm)Pv1 = -[0.85 + (0.024)(3.6 m)/d2 + 0.22 + 1](0.01952/d24 Pa-m4)

Pa = N/m2 = kg-m/s2/m2 = kg/(m-s2)

Pa-m4


0 2 32

0-2-3(續)

  • Pt3 = -[2.07+ (0.0864 m)/d2](0.01952/ d24 Pa-m4)

  • Pt3 = -[(0.04041 m4)/d24 + (0.001687 m5) /d25] Pa


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點 3 (合流)

  • 無論沿 0-1-3 或沿 0-2-3 所計算得的Pt3都要一樣

  • Pt3 = -[(0.04041 m4)/d24 + (0.001687 m5)/ d25] Pa = -2273 Pa

  • 0.04041 (m/d2)4 + 0.001687 (m/d2) 5– 2273 = 0

  • (d2/m)5 - 1.778 × 10-5 (d2/m) – 7.420× 10-7 = 0

  • 令x = d2 /m

  • x5 - 1.778 × 10-5 x – 7.420× 10-7 = 0 (How to Solve?)


G x vs x

g(x) vsx

使g(x) = 0 的x值在0.07與0.08之間,較靠近0.07


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疊代法

  • x5 = 1.778 × 10-5 x + 7.420× 10-7

  • x = (1.778 × 10-5 x + 7.420× 10-7)1/5

  • 猜x0 = 0.07 代入等號右邊(x = d2/m = 0.07=> d2 = 0.07 m)

  • 第 1 個答案:x1 = [(1.778 × 10-5 )(0.07) + 7.420× 10-7]1/5 = 0.072377

  • 將x1 = 0.072377 代入等號右邊

  • 第 2 個答案:x2 = [(1.778 × 10-5 )(0.072377) + 7.420× 10-7]1/5 = 0.072683

次數最高者

用計算機算時,記得用括號包圍 1/5

不然會算成 (…)1/5


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疊代法(續)

  • 將x2 = 0.072683 代入等號右邊

  • 還是得到x3 = 0.072722

  • x4 = 0.072727

  • x5 = 0.072727(收斂)

  • 通式:xn+1 = (1.778 × 10-5 xn + 7.420× 10-7)1/5

舊的x值

新的x值


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疊代法(續)

  • 所以x = d2/m = 0.072727

    • d2 = 0.072727 m ≈ 7.27 cm(其實x2已經夠準確)

    • 較小的管徑可以用Q = 8.5 m3/min 的風量產生與另一側相當的壓損

  • 繼續計算v2、Pv2 與下游導管


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疊代法(續)

  • 用以下方法,會得到發散的結果:

  • xn+1 = ( xn5 - 7.420 × 10-7)/(1.778 × 10-5)

    • x0 = 0.07

    • x1 = 0.359606

    • x2 = 338.3019

    • x3 = 2.49 × 1017

    • x4 = 5.42 × 1091


Newton

Newton 法(切線法)

0 - g(x0) = (x1 – x0)tanq = (x1 – x0)g'(x0)

=> x1 = x0 - g(x0)/g'(x0)

q

x0

x1

tanq = g'(x0)


Newton1

Newton 法(續)

  • xn+1 = xn – g(xn)/g'(xn)

  • g(x) = x5 - 1.778 × 10-5 x – 7.420× 10-7

  • g'(x) = 5x4 - 1.778 × 10-5

  • xn+1 = xn – (xn5 - 1.778 × 10-5 xn – 7.420× 10-7)/(5xn4 - 1.778 × 10-5)

  • xn+1 = (4xn5 + 7.420× 10-7)/(5xn4 - 1.778 × 10-5)


Newton2

Newton 法(續)

  • 令x0 = 0.07

  • 依序求得:

    • x1 = 0.072987

    • x2 = 0.072730

    • x3 = 0.072727

    • x4 = 0.072727(收斂,比疊代法快)


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二分法

  • 令xL = 0.07(左邊的x值),得g(xL) = -3.05474 × 10-7(只要看正負值)

  • 令xR = 0.08 (右邊的x值),得g(xR) = 1.11288 × 10-6 (只要看正負值)

  • 令x1 = (xL + xR)/2 = 0.075,得g(x1) = 2.9979989 × 10-7 (只要看正負值)

  • 因為g(xL)g(x1) < 0,根必然在 0.07 與 0.075 之間


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二分法(續)

  • 令 xL = 0.07 (g(xL) < 0,沿用)

  • 令xR = 0.075 (g(xR) >0,沿用)

  • x2 = (xL + xR)/2 = 0.0725,得g(x2) >0

  • 因為g(xL)g(x1) < 0,根必然在 0.07 與 0.075 之間

  • 繼續下去:

    • x3 = 0.07375,g(x3) > 0

    • x12 = 0.072727


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割線法

(xR, yR = g(xR))

將g(x)在xR與xL區間內以直線近似

yR - yL

y = g(x)

0 - yL

tanq = (0 – yL)/(x1 – xL) = (yR – yL)/(xR – xL)

q

(xL, yL = g(xL))

xR - xL

x1 - xL

x1 = xL + (xL - xR)(0 - yL)/(yR- yL) = 0.72154

g(x1)g(xR) < 0(根必然在x1與xR之間)

令 x1 = xR,xL = xL


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割線法(續)

  • 依序求得:

    • x1 = 0.072154

    • x2 = 0.072611

    • x6 = 0.072727


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討論

  • 各種方法比較:

    • 疊代法: x4 = 0.072727 (最簡單)

    • Newton 法: x3 = 0.072727(最快)

    • 二分法: x12 = 0.072727 (最不需要算式,需要兩個猜測值)

    • 割線法: x6 = 0.072727(需要兩個猜測值)

  • 最好使用 Excel

  • 若使用計算機最好要學會用自訂函數功能


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討論(續)

  • 如何判定是否收斂?

    • xn +1與 xn的差值是否夠小(|xn+1 - xn| < 給定誤差)

    • g(xn) 是否夠靠近 0 (|g(x)| < 給定誤差)

    • 二分法與割線法:xR與 xL是否夠靠近(|xR - xL| < 給定誤差)


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問題 3

  • 兩氣罩導管管徑均為 8.00 cm = 0.08 m

  • 令通過 0-1-3 的風量Q1 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s

  • 調整 0-2-3 的壓損(安裝檔板),使通過 0-2-3 的風量是Q2 = (8.5 m3/min)(1 min/60 s) = 0.1417 m3/s

  • 分別沿 0-1-3 與 0-2-3 計算Pt3,檔板所需要造成的壓損就是二者的差值

  • 檔板平衡法(通常用於設計完成後使用階段的調整)


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