第九讲    投资组合的选择
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第九讲 投资组合的选择. 一、资产组合的计算. 雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 30% 12% -20% E(r 伞公司 )=(0.4 × 30)+(0.3 × 12)+[0.3 × (-20)]=9.6%

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Presentation Transcript

一、资产组合的计算

  • 雨较多的年份 少雨年份

  • 股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减

  • 概率 0.4 0.3 0.3

  • 收益率 30% 12% -20%

  • E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%

  • σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04

  • σ=431.041/2=20.76 或20.76%

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二、资产组合的方差

  • 投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票,其余的50%投资于收益率为3%的国库券,因此投资者的整个资产组合的期望收益率为

  • E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%

  • 资产组合的标准差为

  • σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38%

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


三、冷饮的收益与风险

  • 雨较多的年份 少雨年份

  • 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增

  • 概率 0.4 0.3 0.3

  • 收益率 4% -10% 30%

  • 出冷饮公司的期望收益率为7.6%,方差为248.64%,标准差为15.77% 。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


四、互补组合的收益与风险

  • 雨较多的年份 少雨年份

  • 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增

  • 概率 0.4 0.3 0.3

  • 收益率 17% 1% 5%

  • 新组合的期望收益为8.6%,标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。

  • 资产组合 期望收益 标准差

  • 全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%

  • 一半伞股票一半国库券 6.3% 10.38%

  • 一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03%

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


五、斜方差的计算

  • 测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance),它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动,负的则是反方向变动。

    斜方差的计算公式为

  • Cov(r伞,r冷饮)=∑Pr(s)[r伞(s)-E(r伞r)][r冷饮(s)-E(r冷饮)]

  • Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


六、相关系数的计算

  • 相关系数范围在-1和+1之间,与斜方差的关系为:两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。

  • (伞,冷饮)=[Cov(r伞, r冷饮)]/(伞冷饮)

  • =-240.96/(20.7615.77)=-0.736

  • 另一种计算资产组合方差的公式为

  • P2=w1212+w2222+2w1w2Cov(r1 ,r2)

  • 2=(0.5220.762)+(0.5215.772)+

  • [20.50.5(-240.96)]=49.43 =7.03%

  • 这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


七、风险资产与无风险资产的结构

  • 投资金额50万,其中15万投资国库券,35万投资股票,15.75万买清华同方,19.25万买清华紫光。

  • 同方:w1=15.75/35=0.45

  • 紫光:w2=19.25/35=0.55

  • 风险组合P的权重为y,无风险组合的权重为1-y,有

  • y=35/50=0.7(风险资产)

  • 1-y=0.3(无风险资产)

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


八、风险与无风险资产的结构变化

  • 投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为

  • 投资于股票: y=500 000×0.55=275 000(元)

  • 投资于国库券:1-y=500 000×0.45=225 000(元)

  • 投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5),增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变,因此,有

  • 清华同方:w1=275 000×0.55=151 250 (元)

  • 清华紫光:w2=275 000×0.45=123 750 (元)

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


九、风险与无风险资产的结构决定

  • 假定风险资产的期望收益为E(rP) =9% ,标准差为P; =21%,无风险资产组合F的收益率为rf =3%。

  • 风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%

  • 令整个资产组合C的收益率为rC,有:rc=yrp+(1-y)rf

  • 资产组合C的期望收益为:3%+y(9%-3%) 3+6y

  • 由于P=21%,有:σC=yσp=21y

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十、资本配置线的形成图

  • E(rp)=9% p

  • (rf)=3% F

  •   0 21% 

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十一、资本配置线的意义

  • 如果选择将全部投资投向风险资产,期望收益与标准差就是E(rp)=9%,P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产,期望收益与标准差就是E(rp)=3%,P=0。

  • 从线上可直观地看到,风险增加,收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29,每增1单位风险,可获0.29单位收益。即每增1单位收益,将增3.5(21/6=3.5)单位风险。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十二、资本配置线的数学表达

  • 根据σC=yσp=21y,有y=c/p,将y代入有

  • E(rc)=rf +y[E(rp)-rf]

  • =rf +(σc/σp)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σc

  • 从式中可以看到,资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线,其截距为rf,斜率为6/21。

  • 该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好,因为它越大,资本配置线就越陡,即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十三、最优资本配置推导

  • 根据前面的公式,我们可以得到以下两式:

  • E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] σ2C=y2σ2p

  • 将两式代入效用函数,有

  • MaxU=E(rc)-0.005A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p

    (MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p

  • 令导数为0,有:y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p

  • 最优配置与风险厌恶水平成反比,与风险溢价成正比。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十四、最优资本配置举例

  • 还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3,求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有

  • y*=[9%-3%]/(0.01×3×212)=45.35%

  • 根据结果,应将资金的45.35%投资于风险资产,54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的

  • E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72%

  • C=45.35%21%=9.52%

  • 2.72/9.52=0.29 等于前例中的酬报与波动性比率。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


最优资本配置举例(2)

  • 如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5,其结果为

  • y*=[9%-3%]/ (0.01×1.5×212)=90.7%

  • E(rc)=3%+(90.7%6%)=8.44%

  • C=90.7%21%=19.05%

  • 5.44/19.05=0.29

  • 风险厌恶程度降低一半,投资于风险资产组合的比例上升了一倍,整个资产组合的期望收益也提高到8.44%,风险溢价提高到5.44%,标准差也提高了一倍,达到19.05%。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十五、最优资本配置的几何表达

  • E(rp)=9% p

  • (rf)=3% F

  •   0 21% 

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十六、资本市场线

  • 消极投资策略的资本配置方案为:短期国库券与股票指数所的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)。

  • 假定一资产组合有与指数相同的收益风险,其风险溢价为10%,标准差为30%,投资者将投资资金的50%投向风险资产组合。有

  • y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p=10%/(0.01×A×302)=0.50

  • A=10%/(0.01×0.50×302)=2.22

  • 当然,这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来,美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-4之间。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十七、非系统风险与系统风险

  • 美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表

  • 股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数R

    1 0.88% 7.0% 0.54

  • 2 0.69% 5.0% 0.63

  • 3 0.74% 4.8% 0.75

  • 4 0.65% 4.6% 0.77

    5 0.71% 4.6% 0.79

  • 10 0.68% 4.2% 0.85

  • 15 0.69% 4.0% 0.88

  • 20 0.67% 3.9% 0.89

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十八、中国股市的分散与风险

组合规模 双周收益率 收益率的标准差

  • 1 0.0184 0.0530

  • 2 0.0133 0.0483

  • 3 0.0120 0.0470

  • 4 0.0115 0.0450

  • 5 0.0106 0.0440

  • 6 0.0097 0.0435

  • 7 0.0096 0.0435

  • 8 0.0093 0.0434

  • 9 0.0089 0.0425

  • 10 0.0093 0.0425

  • 20 0.0076 0.0417

  • 30 0.0073 0.0415

  • 40 0.0073 0.0415

  • 50 0.0073 0.0416

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十八、两种风险资产的资产组合

假定投资两种风险资产,一是股票,一是债券。投资者会根据期望收益与方差的情况,考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。

假定投资债券的资金为wD,投资股票的部分为1-wD记作wE,rD为债券收益,rE为股票收益,组合收益rp为

rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)

p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECOV(rDrE) Cov(rD ,rD)=D2

组合的方差还可以有以下计算公式:

P2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE)

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


十九、相关性对资产组合标准差的效应

如两资产斜方差为负,方差将变小。有 Cov(rD,rZ)=ρDE/DE

将此式代入方差计算公式有: P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρDE

ρ=1时,式右可简化为:P2=(WDD+WEE)2 或 P=WDD+WEE

组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。

当ρ<1时,组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。

当ρ=-1时,该式可简化为:P2=(wDE―wED)2

组合的标准差为: P=|wDE―wED|。

此时如果两种资产的比例恰当,标准差可以降低到0,

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


相关性对资产组合标准差的效应(2)

标准差可以降低到0的资产恰当比例为:

由于: wDD-wEE=0, 所以有

wD = E /(D+E)

wE = D /(D+E)=1- wD

以上的公式表明,当ρ=时,标准差最大,为每一种风险资产标准差的加权平均值;如果ρ<1,组合的标准差会减小,风险会降低;如果ρ=-1,在股票的比重为wD = E /(D+E),债券的比重为1- wD时,组合的标准差为0,即完全无风险。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十、相关性效应举例

  • 股票E(rp)为20%,方差为15%,债券E(rB)为10%,方差为10%。

  • 给定相关性下的资产组合的标准差

  • 投资比重 ρ=-1 ρ=-0.5 ρ=0.5 ρ=1

    wD wE 收益 方差 收益 方差 收益 方差 收益 方差

    1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0

    0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92

    0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88

    0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88

    0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92

    0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0

  • 最小方差的资产组合(根据表中的数据,不再细分)

  • wD 0.55 0.55 0.70 1.00

  • wE 0.45 0.45 0.30 0.00

  • E(rP) 14.5 14.5 13.0 10.0

  • 2P 0.00 3.03 8.82 10.0

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


相关性效应举例(2)

  • 假定投资可细分,股票与债券的ρ=-0.5。

  • 计算组合方差的公式为:

  • ­p2=w2DD2+ w2EE2+2wDwECOV(rD,rE),

  • 用(1-wD)来替代wE,有:

  • ­p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)COV(rD,rE)

  • 求出wD系数,令其等于0,有

  • wmin(D)=[ E2- Cov(rD,rE)]/[D2+E2-2 Cov(rD,rE)]

  • 将前面的数据代入,

  • 由于有:Cov(rD,rZ)=ρDEDE,

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


相关性效应举例(3)

  • 将2D=10,2E=15代入此式,

  • 有Cov(rD,rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123

  • 将此值代入,有

    wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]

    =(21.123)/(37.246)=0.567

    wmin(E)=1-0.679=0.433

  • 这个最小化方差的资产组合的方差为

  • 2min=(0.567210)+(0.433215)

  • +(20.5670.433-6.123)=3.02

  • 该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。

  • 这一组合的期望收益为:

  • E(rp)= 0.56710%+0.43320%=14.33%

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十一、不同ρ下标准差的几何表达

  • 资产组合机会集合线

  • E(rp) B

  • ρ=-1

  • ρ=0.5

  • ρ=-0.5

  • ρ=1

  • A

  • 0 

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十二、三种资产的资产组合

  • 资产配置线B

  • E(rp)

  • 15% B 资产配置线A

    14.33% A

  • 机会集合线

  • 6.5% 1.74% 1.79% 

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十三、上图的说明

  • 两条CAL以rf=6.5%为起点,通过A,B两点。

  • A点代表了在股票与债券的ρ=-0.5时具有最小方差组合A,该组合债券比例为56.7%,股票比例为43.3%。它的E(r)为14.33%(风险溢价为7.88%), 为1.74%。

  • 由于TB利率为6.5%,酬报与波动性比率,即资本配置线的斜率为:SA=[E(rA)-rf]/A=(14.33-6.5)/1.74=4.5

  • B点,ρ=-0.5,债券股票各50%,E(r)=15%(风险溢价为8.5%), =1.79%。斜率为:

  • SB=[E(rB)-rf]/B=(15-6.5)/1.79=4.75

  • 由于B的斜率大于A,B更优。相同方差更高收益。

  • 我们知道,两条线切点所对应的组合P最优。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十四、最优组合的几何表达

  • 资产配置线

  • E(rp)

  • 6.5%

  • 机会集合线

  • 0 

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十五、最优值的计算

  • 目的是找出wD,wE值,以获得斜率最大的资本配置线,。因此,目标函数就是斜率,即SP,

  • 有:Sp=[E(rp)-rf]/σp

  • 只要满足权重和=1,就可以求斜率的最大值,有

  • Max Sp=[E(rp)-rf]/σp

  • 因为∑wI=1,将[E(rp)= wDE(rp)+ wEE(rE)]代入,有

  • Max Sp=[ wDE(rp)+ wEE(rE)-rf]/σp

  • 将P2= wD2D2+ wE2E2+2 wDwEDEρE代入上式,有

  • MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρE]

  • 用1-wD代替wE ,有:MaxSp=

  • [wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2D2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρE

  • 用wD对Sp求导,令导数为零,有

  • wD={[E(rD)-rf]E2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]E2+[E(rE)-rf]D2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}

  • wE=1-wD

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


最优值的计算(2)

  • 把上例中的数据代入,得到的解为

  • wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7%

  • wE =1-0.46.7=53.3%

  • 这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为

  • E(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33%

  • 2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123) =3.39%

  • 这个最优资产组合的资本配置线的斜率为

  • SP=[E(rB)-rf]/B=(15.33-6.5)/1.84=4.80

  • 这也是资产组合P的酬报与波动性比率,这是资产组合P可以得到的最大的斜率,因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


最优值的计算(3)

  • 风险资产与无风险资产的比率为:y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p,

  • 假定A=4,投资者投资于风险资产组合的投资比例为

  • y=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p= (15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12

  • 由于风险太小,应将其资产的100%全投向风险资产。只有A大于261的时候,投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假定A=300,有

  • y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=86.82% 1-y=13.12%

  • 即投资者只有在如此厌恶风险的情况下,才会将其投资资金的86.82%投向股票与债券,13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为46.7%,股票在风险资产中的比例为53.3%,因此,在全部投资资金中应有(46.7%×86.82%=)40.55%投资于债券,(53.3%×86.82%=)46.28%投资于股票,剩下的13.12%投向国库券。

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


二十六、三资产最优组合的几何表达

  • E(rp) 资产配置线

  • 全部资产最优组合

  • P

  • 最优风险资产组合

  • C

  • 6.5%

  • 机会集合线

  • 0 

清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授


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