El plano cartesiano y las gr áficas

1. El plano cartesiano y las gráficas Presentación 5 MATE 3171

2. Coordenadas Rectangulares • Es un sistemaparaasignar un par ordenado(a, b) de númerosreales a cadapunto en el plano. • Se basa en dos líneasperpendicularesllamadaseje de x y eje de y. • La intersección de los dos ejes se llama el origen. • Dividen el plano en cuatrocuadrantes ,I-IV. • CadapuntoPen el planocorresponde a un par ordenado(a, b) , comomostramos:

3. Diagramas CuadrantesMuestra de coordenadas Q P

4. Fórmula de Distancia

5. Fórmula de Distancia Estaes la fórmula de distanciaparapuntos en el plano.

6. Aplicando la fórmula de distancia Localice los puntos A(-3,6) y B(5,1) en el plano y hallar d(A,B). 5 8

7. Fórmula de punto medio

8. Ejemplo

9. Ejemplo (continuación)

10. Ejemplo (continuación)

11. Ejemplo

12. Ejemplo (continuación)

13. Gráfica de una Ecuación • Por definición, la gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos , P(a, b), donde (a, b) es una solución de la ecuación. • Una forma de hacer un boceto (“sketch”) de la gráfica de una ecuación es localizar suficientes puntos (soluciones), hasta obtener una imagen clara de la forma de la gráfica.

14. Localización de puntos • Por ejemplo, hagamos un boceto de la gráfica de la ecuación lineal: y = 2x – 1 . • Elegimos algunos valores para x:x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 • Construimos la lista de valores correspondientes de y en una table.

15. Localizando puntos (continuación) • Completa la tabla y luego localiza los puntos en un plano . • Observa el patrón en los puntos.

16. Otro ejemplo • Haga un boceto de la gráfica de y = x2 – 3 • Completar la tabla con los valores correspondientes de la y • Localizemos los puntos en un plano cartesiano:

17. Ejemplo (continución) • El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. • A la derecha de este punto, podemos notar que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande. • A la izquierda del (0, 3), notamos q a medida que x se hace más pequeño, y se hace más grande.

18. Ejemplo (continución) • Unimos los puntos con una curva suave (sin picos ni brincos) que sigue el patrón que observamos. Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola.

19. Interceptos de una gráfica

20. Ejemplo

21. Simetría • Antes vimos la gráfica de la parábolay = x2 – 3. • Nota quesi se doblara el planosobre el eje de y, la parte de la gráficaquequeda en el ladoizquierdocoincidiría con la parte de la gráficaqueestá en el ladoderecho. • Graficascomoéstas se llamansimétricas con respecto al eje de y.

22. Simetría (continuación) • Una gráfica es simétrica con respecto al eje de y si un punto (-x, y) está en la gráfica cuando (x, y) está en la gráfica. • Este es el caso de la parábola, ya que y = (-x)2 – 3 = x2 – 3 para cualquier valor de x . • En la tabla que sigue se describen otros tipos de simétria:

23. Tipos de Simetría

24. Tipos (continuación)

25. ¿Existe simetría? • Deteminar si existe simetría en cada caso: • y = 3x2 – 2x – 7 • ¿simetría con respecto a y? reemplazamos -x por x y simplificamos y = 3(-x)2– 2(-x) – 7 y = 3x2 +2x – 7 NO es simétrica con respecto a y. • y = ¾x3 • (reemplazamos –x por x y –y por y) • (-y) = ¾(-x)3 -y = - ¾ x3 y = ¾x3 • SI es simétrica con respecto al origen.

26. Unagráficasimétrica con respecto al eje de x

27. Simetría con respecto al x-axis (cont.) • La gráficaesunaparábolaque, comenzando en el origen, abrehacia la derecha. • En estecaso, el eje de x es el eje de simetría.

28. Unagráficasimétrica con respecto al origen

29. Simetría con respecto al origen(cont.)

30. Círculos • Dado un punto C(h, k) en un plano de coordenado, el círculo con centro C y radio r > 0, consiste de todos los puntos en el plano que se encuentran a r unidades del centro, C. • Un punto P(x, y) está en el círculo siempre y cuando d(C, P) = r , o (por la fórmula de distance)

31. Círculos (continuación) • Esto nos lleva a la ecuación estándar del círculo, donde (h,k) son las coordenadas del centro del círculo. • Si r = 1 , llamamos al círculo un círculo unitario con ecuación igual a

32. Ejemplo Hallar la ecuación del círculo que tiene centro en C(- 2, 3) y radio igual a 4. SOLUCION: Usando la fórmula estándar con h = -2, k = 3 y r = 4, tenemos que la ecuación es:

33. Ejemplo • SOLUCION (continuación) : • Para hacer el boceto del círculo: • Localiza el punto (-2, 3) en un plano coordenado. • Marca 2 puntos que están 4 unidades en y por encima y por debajo del (-2,3) • Marca 2 puntos que están 4unidades a la derecha y a la izquierda del (-2,3). • Une los cuatro puntos con una curva cerrada.

34. Ejemplo SOLUCION (continuación) :

35. Hallar la ecuación del círculo El centro del círculo está en C(7,-2). El radio del círculo es 3. La ecuación del círculo es: (x – 7)2 + (y + 2)2 = 9

36. Ejemplo Demuestre que la siguiente ecuación representa un círculo, hallando su radio y su centro: 3x2 + 3y2 – 12x + 18y = 9 SOLUCION: Si ésta es la ecuación de un círculo, no está en la forma estándar. Para convertirla a la forma estándar debemos usar el método de completar el cuadrado. 3(x2 + y2 – 4x + 6y) = 9 x2 + y2 – 4x + 6y = 3 (x2 – 4x + ) + (y2 + 6y + ) = 3 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + ) = 3 + 4 (x – 2)2 + (y2 + 6y + ) = 7 (x – 2)2 + (y2 + 6y + 9) = 7 + 9 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 El centro es (2, -3) y el radio es 4.