ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 21

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z PowerPoint PPT Presentation


  • 129 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z. Μετασχηματισμός - z. Ιδιότητες Μετασχηματισμού -z. Γραμμικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιμάκωση στο Επίπεδο- z Παραγώγιση Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου Συσχέτιση Συζυγές Σήμα

Download Presentation

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Z

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z


Z

Μετασχηματισμός - z

Ιδιότητες Μετασχηματισμού-z

  • Γραμμικότητα

  • Χρονική Ολίσθηση

  • Κλιμάκωση στο Επίπεδο-z

  • Παραγώγιση

  • Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου

  • Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου

  • Συσχέτιση

  • Συζυγές Σήμα

  • Συνέλιξη στο Μιγαδικό Επίπεδο


Z

Μετασχηματισμός - z

Ιδιότητες Μονόπλευρου Μετασχηματισμού-z

  • Αριστερή Ολίσθηση

  • Δεξιά Ολίσθηση

  • Θεώρημα Αρχικής Τιμής

  • Θεώρημα Τελικής Τιμής

  • Μετασχηματισμός-zΠεριοδικών Σημάτων


Z

Μετασχηματισμός - z

  • Αναλυτικές Συναρτήσεις

  • Συνθήκες Cauchy-Riemann

  • Αρμονικές Συναρτήσεις

  • Αναλυτικές Συναρτήσεις και Δυναμοσειρές


Z

Μετασχηματισμός - z

Αναλυτικές Συναρτήσεις-Θεώρημα του Cauchy

Έστω f(z) μία αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο Β(α, R) & έστω γ μία κλειστή καμπύλη που κείται εντός του δίσκου. Τότε:

Im{z}

Β(α, R)

Re{z}


Z

Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης

Μια Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο σημείο z=α ανη f(z)να ορίζεται και να είναι αναλυτική στον κύκλο Β(α, R)-{α} αλλά όχι στον Β(α, R).

Im{z}

Παραδείγματα

Β(α, R)

Re{z}


Z

Μετασχηματισμός - z

Απαλειφόμενα Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης

Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένα απαλείψιμο σημείο ανωμαλίας αν και μόνο αν:


Z

Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι

Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένας πόλος της f() αν :

1.

2. Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει ένα πόλο στο σημείο z=α και mείναιο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο το ακόλουθο όριο :

είναι πεπερασμένο, τότε θα λέμε ότι η f(z)έχει ένα πόλο τάξης m στοz=a


Z

Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι

H Μιγαδική Συνάρτηση f(z) μπορεί να γραφεί ως

όπου g(z) η ακόλουθη αναλυτική συνάρτηση:


Z

Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι

Το τμήμα:

της g(z) ονομάζεται ανώμαλο ή κύριο τμήμα της f(z) στοz=α.

Υπολογισμός των Α-(m-k), k=0,1,…,m-1


Z

Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης -Δυναμοσειρές

είδαμε ότι:

Αν

Άρα:

και:


Z

Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης

Στροφικός Αριθμός ή Δείκτης Καμπύλης ως προς σημείο

Ο n(C,α) είναι ΑΚΕΡΑΙΟΣ!!

Θεώρημα Cauchy


Z

Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείοα, μίας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου-z δηλαδή:

Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο ατην παρακάτω ποσότητα:


Z

Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικά Υπόλοιπά Μιγαδικής Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση είναι αναλυτική συνάρτηση εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος μεμονωμένων ανώ-μαλων σημείων z1, z2,…zNκαι έστω καμπύλη γ

γ


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ανάπτυγμα σε Απλά Κλάσματα

Αν R(z) είναι μια ρητή μιγαδική συνάρτηση με Ν πόλους στα σημεία αi, i=1,2,…Ν, τότε:

Όπου Si(z) το ανώμαλο τμήμα της ρητής μιγαδικής συνάρτησης R(z) στο z=αi και P(z) Πολυώνυμο.


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ουσιώδη Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης

Αν μια απομονωμένη ανωμαλία δεν είναι ούτε απαλείψιμη ούτε πόλος, θα λέμε ότι είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο της συνάρτησης.


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Σύνοψη

Έστω z=α μία απομονωμένη ανωμαλία της μιγαδικής συνάρτησης f(z) και έστω

η σειρά Laurent. Τότε:

  • τοz=α είναι ένα απαλείψιμο ανώμαλο σημείο αν και μόνο αν

  • τοz=α είναι ένας πόλος τάξης m αν και μόνο αν&

  • τοz=α είναι ένα ουσιώδες ανώμαλο σημείο αν για μια απειρία αρνητικών τιμών του n.


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Έστω κλειστή καμπύλη C η οποία περικλείει Ν πόλους(στασημεία zi ,i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης και ανήκει εξ ολοκλήρου στην Περιοχή Σύγκλισης της μιγαδικής συνάρτησης, τότε:

Im{z}

C

(k)

0

Re{z}


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική ρητή συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείοα, δηλαδή:

Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο ατην παρακάτω ποσότητα:


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων

Αν υποθέσουμε ότι μία κλειστή καμπύλη C, που ανήκει στην περιοχή σύγκλισης του περικλείει Ν πόλους(στασημεία zi ,i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης , τότε:


Z

Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z

Άλλες Μέθοδοι Υπολογισμού

  • Μέθοδος Αναπτύγματος σε Δυναμοσειρά


  • Login