Modelle von Neuronen

1. Modelle von Neuronen Christian Birmes

2. Wie funktionieren Neuronen? Mathematische Modelle Unterschiedliche Abstraktionsebenen Elektro-chemische Vorgänge Neuron als Schaltkreis Modelle ohne technischen Hintergrund Aktivierungsraten statt Spike-Timing

3. Agenda Spike Response Model Codieren mit Spikes – erste Schritte Threshold-Fire Models Leitfähigkeits-basierte Modelle Aktivierungsraten-Modelle Fazit

4. 1 Spike Response Model Spikes bei Überschreiten eines Schwellenwerts Reaktionen (responses) auf eigene und präsynaptische Spikes Form der Reaktionen mit gewisser Freiheit wählbar ? generisches Modell 1.1 Definitionen 1.2 Interpretationen und Modifikationen

5. 1.1 Definitionen ui(t) Zustand des Neurons i im Zeitablauf (= Membranpotenzial) ? Schwellenwert

6. Reaktion auf eigene Spikes „Zurücksetzen“ des Zustands durch Addition einer Funktion ?i(t - ti(f))

7. Reaktion auf präsynaptische Spikes Addition von wij?ij(t - tj(f)) mit wij Stärke der synaptischen Verbindung von j nach i ?ij Verlauf des postsynaptischen Potenzials von j nach i

8. Gesamtformel

9. 1.2 Interpetationen und Modifikationen Dynamischer Schwellenwert Schwellenwertbedingung

10. Dynamischer Schwellenwert (Forts.)

11. Externer Input Möglichkeit eines zusätzlichen externen, nicht spike-artigen Inputs hiext(t), z.B. von einem sensorischen Neuron Summe aller externen Einflüsse

12. 2 Codieren mit Spikes – erste Schritte Time-to-first-spike Zum Zeitpunkt tpre senden n präsynaptische Neuronen Spikes Gleiche synaptische Stärke, gleicher Verlauf des PSP Je größer n, desto früher der erste Spike Höhe von n (= Stärke des Input) in erstem Aktivierungszeitpunkt codiert

13. Phasencodierung Sinusförmiges Hintergrundsignal mit konstantem Anteil h0, um den das Signal schwingt, und stark genug ist, regelmäßig Spikes zu erzeugen Die Höhe von h0 beeinflusst, in welcher Phase des Hintergrundsignals ein Spike auftritt Höhe von h0 in Phase des Spikes codiert

14. Korrelationscodierung Zwei Neuronen empfangen den gleichen, starken externen Input h0 und feuern regelmäßig im gleichen Intervall, jedoch zeitlich versetzt Zusätzlicher Input von einem gemeinsamen präsynaptischen Neuron zum Zeitpunkt tpre Aktivierungszeitpunkte liegen näher zusammen Codierung der Input-Stärke durch relative Aktivierungszeitpunkte

15. 3 Threshold-Fire Models Klasse von Modellen Merkmal: Senden eines Spikes, sobald ein bestimmter Schwellenwert überschritten wird Auch das SRM gehört zu dieser Klasse 3.1 Spike Response Model – Details 3.2 Integrate-and-Fire Model 3.3 Modelle für Rauschen

16. 3.1 Spike Response Model – Details Refraktärphasen Exakter Verlauf der Spitze eines Aktionspotenzials enthält keine Informationen, deshalb vernachlässigbar Jedoch währenddessen kein weiterer Spike möglich ? absolute Refraktärphase (?abs) Danach Emission eines weiteren Spikes schwieriger ? relative Refraktärphase

17. Axonale Übertragungsverzögerung Die Reaktion auf präsynaptische Spikes setzt nicht unmittelbar ein, sondern erst nach der axonalen Übertragungsverzögerung ?ax

18. 3.2 Integrate-and-Fire Model Neuron als Schaltkreis Stromfluss beschrieben durch mit u(t) Spannung am Kondensator (= Membranpotenzial) R Stärke des Widerstands I(t) Eingangsstrom ?m = RC, Zeitkonstante (= Membran-Zeitkonstante) C Kapazität des Kondensators (der Membran)

19. Integrate-and-Fire Model (Forts.) Ist die Schwellenwertbedingung u(t(f)) = ? erfüllt, so wird der Kondensator entlanden und die Spannung am Kondensator auf einen Wert ur zurückgesetzt (= Aktivierung) Hierbei kann eine absolute Refraktärphase berücksichtigt werden Ein hinreichend großer konstanter Eingangsstrom hat regelmäßige Aktivierungen zur Folge Eingangsstrom aus präsynaptischen Neuronen ist analog zum SRM

20. Beziehung zum Spike Response Model Das Zurücksetzen des Membranpotenzials entspricht einem ausgehenden Stromimpuls Iout(t) Dieser Impuls muss in der Modell-Gleichung berücksichtigt werden Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt eine Formel für das Membranpotenzial analog zum SRM mit fest vorgegebenen Funktionen ?(s) und ?(s) Das Integrate-and-Fire Model ist ein Spezialfall des Spike Response Model

21. 3.3 Modelle für Rauschen Rauschen ist in realen biologischen Systemen allgegenwärtig Aktivierungszeitpunkte nicht mehr exakt berechenbar Stattdessen: Wahrscheinlichkeit für eine Aktivierung innerhalb eines Zeitraums, geben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte P(t | t(0))

22. Verrauschter Schwellenwert Neuron kann Spike emittieren, obwohl der Schwellenwert noch nicht erreicht ist „Flucht“-Wahrscheinlichkeit

23. Verrauschtes Zurücksetzen Die Länge der absoluten Refraktärphase ist nicht fix, sondern wird aus einer Verteilung gewählt. Verrauschtes Aufladen Zusätzlicher zufallsabhängiger Eingangsstrom

24. 4 Leitfähigkeits-basierte Modelle Detaillierte Modelle von niedrigem Abstraktionsgrad 4.1 Hodgkin-Huxley-Modell 4.2 Mehrteilige Modelle

25. 4.1 Hodgkin-Huxley-Modell Ergebnis der Experimente von Hodgkin und Huxley am Axon des Tintenfischs, 1952 Konnte modifiziert auch auf Soma und Dendriten übertragen werden Elektro-chemische Ebene Auladung eines Stück Membran mit der Kapazität C beschreiben durch

26. Ionenströme Natrium (Na+), nach innen gerichtet, Grad der Öffnung des Kanals bestimmt durch m3h Kalium (K+), nach außen gerichtet, Grad der Öffnung des Kanals bestimmt durch n4 Unspezifizierter Strom („Leck“), geringere Bedeutung m, n und h sind spannungsabhängig

27. Die Variablen m, n und h können beschrieben werden durch wobei x für m, n bzw. h steht. Interpretation: x bewegt sich auf x0(u) zu Die Annäherung erfolgt umso schneller, je kleiner ?(u) ist

28. Effekt eines hinreichend hohen Eingangsstroms m steigt schnell ? Na+ strömt in die Zelle ? Membranpotenzial erhöht sich ? m steigt weiter... h geht langsam gegen Null ? Na+-Strom versiegt n steigt langsam ? Ausfluss von Ka+ ? Membranpotenzial verringert sich Gesamteffekt: Aktionspotenzial

29. Beziehung zum Spike Response Model Funktionen ?(s) und ?(s) können durch die Reaktion des Hodgkin-Huxley-Modells auf die Simulation entsprechender Eingangsströme bestimmt werden Schwellenwert muss experimentell angepasst werden Prozedur (Kistler et al., 1997): Zufallsgesteuerter Eingangsstrom an Hodgkin-Huxley-Modell und angepasstes SRM Optimierung des Schwellenwerts (gleiche Anzahl) Übereinstimmung der Aktivierungszeitpunkte von ca. 70% (Toleranz 2 ms)

30. Beziehung zum Spike Response Model (Forts.) Annäherung nach Spike schlecht, da die reduzierte Empfindlichkeit des Neurons nicht berücksichtigt wird

31. Beziehung zum Spike Response Model (Forts.) Verbesserung: ?(s) zusätzlich vom letzten eigenen Aktivierungszeitpunkt abhängig machen, d.h. Ersetzung von ?(s) durch ?(t - t(n), s) Übereinstimmung der Aktivierungszeitpunkte von ca. 90%

32. 4.2 Mehrteilige Modelle Berücksichten räumliche Struktur eines Neurons Komplex und analytisch schwer handhabbar

33. Einfaches Beispiel linearer dendritischer Baum mit N Abteilen Jedes Abteil als Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator modelliert Abteile durch Widerstände verbunden Gesamteffekt: Verlauf eines PSP wird beim Durchlaufen des Baums flacher und breiter

34. 5 Aktivierungsraten-Modelle Abstrahieren von der Impuls-Struktur neuronaler Ströme Aktivierungsrate beschrieben durch mit ?i Aktivierungsrate des Neurons i wij Stärke der synaptischen Verbindung von j nach i g(x) Funktion mit sigmoidem Verlauf

35. Kritik Die Ableitung einer analogen Variablen aus realen Spike-Folgen erfordert ein Zeitfenster einer gewissen Größe Reale Organismen reagieren schneller, als es ein solches Verfahren erlauben würde Verfahren unrealistisch Deshalb: Operation auf Populationen anstatt auf einzelnen Neuronen

36. 6 Fazit Unterschiedliche Modelle mit unterschiedlichem Abstraktionsgrad für unterschiedliche Zwecke Aktivierungsraten-Modelle abstrahieren für viele Zwecke zu stark von der Realität Mehrteilige Modelle sind sehr detailliert und komplex und sind der Handhabung aufwändig Guter Kompromiss aus Realismus und Handhabbarkeit: Annäherung des Hodgkin-Huxley-Modells durch das Spike Response Model