POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR CREADO POR UN DIPOLO EN UN PUNTO LEJANO

1. POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR CREADO POR UN DIPOLO EN UN PUNTO LEJANO CÁLCULO DE CAMPO Y FLUJO MAGNÉTICO A PARTIR DEL POTENCIAL VECTOR Antonio J. Barbero García Dpto. Física Aplicada UCLM

2. El unitario en dl’ no es el mismo que el unitario en P. Véase que en P se verifica Por cada elemento de corriente hay un simétrico que contrarresta la componente del vector según Y. POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO Potencial vector en el punto P: Elegimos un punto P en el plano YZ. Esto no resta generalidad al resultado pues hay simetría de revolución alrededor del eje Z. Desarrollo del binomio: HOME

3. Plano XY ¿Cómo calcular el campo a partir del potencial vector ? POTENCIAL MAGNÉTICO VECTOR DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO (CONT.) Definiendo el momento magnético de la espira: HOME

4. CAMPO MAGNÉTICO DE UN DIPOLO. PUNTO LEJANO HOME

5. La componente radial es de sentido contrario a LÍNEAS DE CAMPO DE UN DIPOLO MAGNÉTICO. PUNTO LEJANO Cuando Cuando HOME

6. LÍNEAS DE CAMPO Y POTENCIAL VECTORIAL ALREDEDOR DE UN DIPOLO MAGNÉTICO Líneas de campo Igual módulo del potencial vectorial Potencial vectorial entrante (mitad derecha) Potencial vectorial saliente (mitad izquierda)

7. POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos espiras concéntricas de radios r y R (r <<R) cuyos planos forman un ángulo q (véase figura). Resolver el problema por dos procedimientos: I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente. II. Considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa. I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente. Campo magnético creado por la corriente I que circula por la espira grande en su centro geométrico Al ser r << R, podemos suponer que el campo magnético a través de la espira pequeña es constante en todos sus puntos e igual al valor que tiene en el centro común de ambas espiras, y en consecuencia, también podemos suponer que el flujo magnético a través de la espira pequeña es el producto escalar del campo magnético por su vector superficie: Relación entre el flujo  que atraviesa la espira pequeña y la corriente I que circula por la espira grande:  perpendicular al plano de la espira de radio R  contenido en el plano de la espira de radio R donde M es el coeficiente de inducción mutua.  perpendicular al plano de la espira de radio r

8. POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1 (/2) II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa. Para calcular el coeficiente de inducción mutua hay que determinar el flujo magnético  a través de la espira grande (radio R), flujo que tiene su origen en el campo magnético B producido por la corriente I que circula por la espira pequeña (radio r << R). Una forma asequible (no demasiado complicada) de hacer esto es tratar a la espira pequeña como un dipolo magnético que origina un potencial vector que puede ser calculado con facilidad, y convertir la integral de superficie necesaria para calcular el flujo magnético en una integral de línea de ese potencial vector (que es el rotacional del campo magnético), aplicando el teorema de Stokes.  perpendicular al plano de la espira de radio R  contenido en el plano de la espira de radio R  perpendicular al plano de la espira de radio r Potencial vector creado por el dipolo en un punto genérico de la circunferencia de radio R Véase que Vista de perfil Teorema de Stokes: puesto que Siendo dS el elemento de superficie de la espira grande

9. POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 1 (/3) II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa.  perpendicular al plano de la espira de radio R  contenido en el plano de la espira de radio R  perpendicular al plano de la espira de radio r Relación entre el flujo  que atraviesa la espira grande y la corriente I que circula por la espira pequeña: Vista de perfil donde M es el coeficiente de inducción mutua. (Igual resultado que el obtenido usando el procedimiento I)

10. POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 2 Una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas tiene una imanación uniforme M0 A/m dirigida a lo largo del eje Z. En el plano z = b hay una espira circular de radio a > R centrada en el eje Z. Calcular el flujo magnético a través de la espira. Cálculo del potencial vector en un punto genérico de la espira (P) Vista desde fuera, la esfera imanada se comporta como un dipolo cuyo momento magnético es Líneas del campo B alrededor de la esfera imanada

11. POTENCIAL VECTOR. EJEMPLO 2 (/2) Una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas tiene una imanación uniforme M0 A/m dirigida a lo largo del eje Z. En el plano z = b hay una espira circular de radio a > R centrada en el eje Z. Calcular el flujo magnético a través de la espira. Una vez hemos calculado el potencial vector en cada punto del contorno de la espira, aplicamos el teorema de Stokes y convertimos la integral de superficie necesaria para calcular el flujo magnético en una integral de línea de ese potencial vector (que es el rotacional del campo magnético).