中考复习：专题训练 §8.1 开放性问题

1. 中考复习：专题训练 §8.1开放性问题

2. 学什么 问题一 如图，已知∠1= ∠2，AE=AB,要使△ABC≌ △AED，还需添一个条件（只需添加一个条件）。 AD=AC ∠ 3=∠C ∠ B=∠E ∠1=∠EDB ∠ADC=∠C

3. 问题二 如图，已知AD=AC,∠1= ∠2，AE=AB, 则可得（只需写出一个正确结论即可） 。 △ABC≌△AED ∠ 3=∠C ∠ B=∠E ED=BC ∠1=∠EDB ∠ADC=∠C AD平分∠EDC

4. ① ② ④ ③ ① ③ ④ ② 问题三 如图在△ABC与△ADE中，有下列四个论断① AB= AE ② AD =AC ③ ∠B= ∠E ④ BC=ED，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题是 .（用序号和 的形式写出）

5. 这三个问题的一个共同的显著特点： 正确答案不唯一. 开放题:像上述这种正确答案不唯一的问题，我们把它称为开放题。 近年来，数学中考中连续出现了这类开放题，这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。

6. 条件开放 问题一 如图，已知∠1= ∠2，AE=AB,要使△ABC≌ △AED，还需添一个条件（只需添加一个条件）。 AD=AC ∠ 3=∠C ∠ B=∠E ∠1=∠EDB ∠ADC=∠C AD平分∠EDC 给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放性问题。

7. 结论开放 问题二 如图，已知AD=AC,∠1= ∠2，AE=AB, 则可得（只需写出一个正确结论即可） △ABC≌△AED ∠ 3=∠C ∠ B=∠E ED=BC 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，这样的问题是结论开放性问题。

8. ① ② ④ ③ ① ③ ④ ② 条件结论双开放 问题三 如图在△ABC与△ADE中，有下列四个论断① AB= AE ② AD =AC ③ ∠B= ∠E ④ BC=ED，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题是 .（用序号和 的形式写出）

9. 开放性问题 条件开放 结论开放 条件结论双开放 数学开放题是指那些条件不完整，结论不确定，解法不限制的数学问题。 它的显著特点： 正确答案不唯一. 常见 题型：

10. 考什么 (08N12) 在Rt△ABC中,∠C 为直角, CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是 ____和 _____; 并写出它的面积比 _____ .

11. 黄金三角形 黄金三角形的性质 命题的判断 （07杭州N.22） 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论： ①射线BD是∠ABC的角平分线； ②△BCD是等腰三角形； ③△ABC∽△BCD； ④△AMD≌△BCD。 （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。 考查

12. （08N17) 课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几头(只)? 如果假设鸡有只, 兔有只, 请你列出关于的二元一次方程组; 并写出你求解这个方程组的方法.

13. (08N19) 在凸多边形中, 四边形有2条对角线, 五边形有5条对角线, 经过观察、探索、归纳, 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程.

14. 练什么 例1.已知点P(x,y)位于第二象限,并且y≤x+4,x,y为整数,写出一个符合上述条件的P点的坐标_______.

15. 例2.李老师给出了一个函数,甲,乙,丙三位学生分别指出了这个函数的一个特征.例2.李老师给出了一个函数,甲,乙,丙三位学生分别指出了这个函数的一个特征. 甲:他的图象经过第一象限; 乙:他的图象也经过第二象限;丙:在第一象限内函数值y 随x的增大而增大.在你学过的函数中,写出一个满足上述特征的函数解析式_______.

16. 例3.如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD、BC上一点．例3.如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD、BC上一点． 在①AE=CF、②BE∥DF、③∠1=∠2中， 请选择其中一个条件，证明BE=DF． （1）你选择的条件是（只需填写序号）； （2）证明： A E D 1 2 C B F

17. 例4. CD经过∠BCA顶点的一条直线，CB=CA．E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°， 则BECF；EF|BE-AF|（填“>”，“<”或“=”）； ②如图2，若0°<∠BEC<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部， ∠α=∠BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． B B B E A F D F D E E C C F A C A D （图1） （图2） （图3）

18. 1.如图，已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB， P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q， 过Q作⊙O的切线交直线OA于点E. (1)如图1，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°； (2)若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变， ∠OBP、∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？ 请你完成图2，并写出你的结论（不需证明）．

19. 2.如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°， AB＝DE＝3，AC＝2DF＝4． （1）判断这两个三角形是否相似？并说明理由。 （2）能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？请说明理由。

20. 一、条件开放型 例1 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当梯形ABCD满足条件时 ，四边形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可） AD=BC ∠ A=∠B BD=AC ∠B+∠D=180° ∠A+∠C=180°

21. 做一做 一、条件开放型 • 请在横线上填上适当的条件然后根据要求解题： • 在Rt△ABC中 • 已知∠A:∠B:∠C= :: ， • 求∠A、∠B、∠C的值。 三角形的周长是20，若三边比为2：5：，求三条边. 填写条件时，应符合题意或相关的概念、性质、定理. 你认为填条件时应注意些什么,请用文字表达

22. 二、结论开放型 例 如图，AB是⊙O的直径,CB、DA、CD分别与⊙O相切于点B、A和E，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出三个正确结论，并选其中之一加以证明。（本题将按正确结论的难易程度评分） 得出的结论应尽可能用上题目及图形所给的条件。 F

23. 三、条件结论双开放型 有一道习题,其一部分文字是这样的: 已知二次函数 的图象过点A(c,0)……图象关于直线 对称. …… 其中省略号部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字. 请你把这道题补充完整,并完成该题.

24. 做一做 条件结论双开放型 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．

25. 四、策略开放型 各班级分数段人数分布情况 例 有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）。  策略开放题，一般是指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题。

26. 做一做：用三种不同方法把平行四边形面积四等分（在所给的图形中画出你的设计方案，画图工具不限）做一做：用三种不同方法把平行四边形面积四等分（在所给的图形中画出你的设计方案，画图工具不限） 策略开放

27. 五、综合开放型 例 编写一道应用题，使得根据题意列出的方程为： 再解答你所列出的应用题。（要求：所编应用题完整，题意清楚，联系生活且其解符合实际。）  过程细心 稳中求快

28. 类型 特点 回顾总结 条件开放型 综合开放型 结论开放型 策略开放型 开放性问题 条件结论双开放 正确答案不唯一 作用：培养创新意识、创造能力

29. 练一练 1.平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1）的抛物线有无数条，请写出一条确定的抛物线解析式（不含字母系数）： 。 结论开放 2.如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需添一个条件（只需添加一个条件）。 ∠ B=∠C BE=EC ∠ BAE=∠CAE 条件开放

30. 想一想 一个圆形街心花园，有三个出口A、B、C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一个亭子。为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD、OE、OF，使另一出口D、E、F分别落在△ABC的三边上，且这三条小路把△ABC分成三个全等的多边形，以备种不同品种的花草。 请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计分别画在图中；任选一种你的设计方案，计算三条小路的总长。

31. 做一做 如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于点E. (1)由这些条件,你能推出哪些正确的结论(至少三个)? (2)要想得到DE是⊙O的切线，还需不需要添加什么条件?若需要,请你添加条件,并证明你的结论. 得出的结论应尽可能用上题目及图形所给的条件。 科学审题 灵活答题

32. 结论开放： 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD，连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结论？ 。 （写出三个即可） ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD ∠ BCA=∠ACD ∠BAC= ∠ CAD △ABC≌ △ACD …

33. 如图,直线MN与⊙O相切于点C，AB是⊙O的直径，连结AC、OC、BC，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，BF与⊙O交于点D。根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。如图,直线MN与⊙O相切于点C，AB是⊙O的直径，连结AC、OC、BC，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，BF与⊙O交于点D。根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。 ΔAEC∽ΔCFB, EC=FC,AE=DF,AE+BF=AB, EC2=AE·BF,FC2=FD·FB, AC2/BC2=AE/BF 科学审题 灵活答题

34. 你能写出三个m的值,使方程 的两根都是整数,且两根为异号吗? 条件开放型 解:设方程的两根为 ,则 , 取 ,所以 取 ,所以 给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放性问题。 取 ,所以 注:此问题是条件开放题,关键是利用根与系数的关系,构建一正一负的两个整数的和是8.

35. ∠B=∠C , BF=CF, AB=AC, BD=CD, AD⊥BC, AD⊥AE, AE∥BC, AD是⊙O的直径， AE是⊙O的切线… … 二、结论开放型 如图，⊙O是等腰三角形ABC(AB=AC)的外接圆，AD、AE分别是∠BAC和它邻补角的平分线，AD交⊙O于点D，交BC于F，由这些条件直接写出2个正确的结论:（不再连结其他线段）

36. 结束语 “创新是一个民族的灵魂” 培养创新精神和实践能力是当前全面推进素质教育的重点.开放性、探索性的试题是考查这种能力的新题型.这类试题涉及知识面宽,综合性强,要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能.是近几年的热门考题.