Графы

1. Графы Лекция 2

2. Графы • Неориентированнымграфом(графом) называетсятройка (V, E, Y), гдеVиE конечныемножестваиY:Eg{XV :| X |=2}. • Ориентированнымграфомилиорграфомназываетсятройка (V, E, Y), гдеVиE конечныемножестваи{Y : E g{(v,w)  V×V : v ≠ w}. • Элементы множестваV называютсявершинами, элементымножестваE называютсяребрами. • Дваребраe, e' сY(e) = Y(e')называютсяпараллельными. • Графбезпараллельныхреберназываетсяпростым.

3. e={v,w}или e=(v,w) • v и w называются смежными. • v сосед w (инаоборот). • e={v,w}соединяетv и w. • v и w граничные точкиe. • vинцидентнаe. • В орграферебро e=(v,w)выходит изvивходитв w. • Два ребраимеющие общую граничную точкуназываются смежными.

4. Графы и орграфы ДляорграфаG: соответствующий неориентированный граф это неориентированный графG' на том же множествевершин и множество ребер, которое содержитребро {v,w} для каждой дуги (v,w) изG. В свою очередьG называется ориентациейG' .

5. Подграфы • ПодграфомграфаG = (V(G),E(G)) называетсяграфH=(V(H),E(H)) сV(H) V(G) иE(H) E(G). G содержитH. • H ―индуцированныйподграф Gесли он является подграфомGиE(H) = {(x,y)  E(G) : x,y  V(H) }. H ―подграфG индуцированныйнаV(H),H=G[V(H)]. • Подграф HизGназывается остовнымеслиV(H) = V(G).

6. Множество соседей … • Для графаGиX,Y  V(G) определим E(X,Y):={{x,y} E(G): x X\Y y Y\X} E+(X,Y):={(x,y)E(G): x X\Y y Y\X}. • Для неориентированного графаG and X  V(G) определимd(X):=E(X, V(G)\ X). Множество соседейX определяется как G(X):={vV(G)\ X : E(X,{v}) ≠ ø}. • ДляорграфаG and X  V(G) определимd+(X):=E+(X, V(G)\ X), d−(X):= d+(V(G)\ X), и d(X):= d+(X)Ud−(X).

7. Степень вершины …(1) • Дляодноэлементныхмножеств вершин {v} будем писатьd(v):= d({v}), G(v):= G({v}), d+(v):=d+({v}), d−(v):= d−({v}). • Степеньвершиныv есть |d(v)|, число реберинцидентныхv. • Для орграфов |d−(v)|―отрицательная степень, |d+(v)|― положительная степень, и |d(v)| =|d+(v)|+ |d−(v)|. • Вершинас нулевой степенью называется изолированной. • Граф все вершины которого имеют степеньk называютсяk-регулярными.

8. Степень вершины …(2) Лемма 2.1 Дляорграфа G идвух множеств X,Y  V(G): (a)|d+(X)|+|d+(Y)|=|d+(X∩Y)|+|d+(X⋃Y)|+ |E +(X,Y)|+|E +(Y,X)|; (b)|d−(X)|+|d−(Y)|=|d−(X∩Y)|+|d−(X⋃Y)|+ |E +(X,Y)|+|E +(Y,X)|. Дляграфа Gидвух множеств X,Y V(G): (c) |d(X)|+|d(Y)|=|d(X∩Y)|+|d(X⋃Y)|+2|E (X,Y)|; (d)|G(X) |+|G(Y)|≥|G(X∩Y)|+|G(X⋃Y)|.

9. Упражнение2.1 • Доказать лемму 2.1

10. Функции Функцияf : 2U→ Rназывается • субмодулярной, если f(X∩Y)+f(X⋃Y) ≤f(X)+f(Y) длявсехX,Y U ; • супермодулярной, если f(X∩Y)+f(X⋃Y) ≥f(X)+f(Y) длявсехX,Y U ; • модулярной, если f(X∩Y)+f(X⋃Y) =f(X)+f(Y) длявсехX,Y U.

11. Упражнение2.2 • Привести примеры модулярных, субмодулярных и супермодулярных функций.

12. Графы (3) • Полный граф ―простой граф, в котором каждые две различные вершины смежны. • Дополнениемпростого графа G называетсяграфH такой что G+H ―полный граф. • Паросочетанием в графеG называетсямножествопопарно несмежныхребер.

13. Вершинное покрытие, независимое множество, клика,…(1) • Вершинное покрытиевG― множествоSV(G) вершин, таких чтокаждоереброизGинцидентнопо крайней мере одной вершиневS. • РеберноепокрытиевG― множествоFE(G) ребер,таких чтокаждаявершина Gинцидентнапо крайней мере одному ребрувF. • Независимое множествовG ― множествопопарно несмежныхвершин. • Граф без ребер называетсяпустым. • Клика― множествопопарно смежныхвершин.

14. Вершинное покрытие, независимое множество, клика,…(2) Предложение 2.2. Пусть G ―графи XV(G). Тогда следующие утверждения эквивалентны: • X ―вершинное покрытиеG, • V(G)\X ―независимое множество вG, • V(G)\X ―клика в дополнении к G.

15. Минимальныйэлемент ПустьF ―семейство графов. • F называется минимальнымэлементомF,еслиF Fи F не содержит собственных подграфов F. • F называется максимальнымэлементомF,еслиF Fи F не является собственным подграфомникакого элемента из F .

16. Минимальныйэлемент и мощность • Заметим, что минимальныйэлемент не всегда имеет минимальную мощность. v w u {u, w} ― минимальное вершинное покрытие.

17. Маршрут • МаршрутомW в G называется последовательностьv1,e1,v2,e2,…,vk,ek, vk+1 ,k ≥ 0, иei=(vi,vi+1)E(G) (ei={vi,vi+1}E(G)), i=1,…,k . • Еслиei≠ ejдля всех 1≤i<j≤k, W называетсяобходом или цепью вG. • W замкнут, еслиv1= vk+1.

18. Цепь и цикл • Путь ―графP=({v1,…,vk+1},{e1,…,ek}) такой, чтоvi≠ vjдля 1≤i<j≤k+1, ипоследовательностьv1,e1,v2,e2,…,vk,ek,vk+1является обходом. • Циклом называетсяграф ({v1,…,vk },{e1,…,ek}) такой, чтопоследовательностьv1,e1,v2,e2,…,vk,ek,v1является замкнутымобходомиvi ≠ vjfor 1≤i<j≤k+1. • Длина пути и цикла ―число его ребер.

19. Гамильтонов цикл • ОстовныйпутьвGназываетсягамильтоновымпутем. • ОстовныйциклвGназываетсягамильтоновымциклом. • Граф,содержащий гамильтоновцикл называетсягамильтоновым графом.

20. Расстояние Расстоянием (dist(v,w), distG(v,w) ) для двухвершинvиwназывается длина кратчайшего v-w-путивG. Если такого пути нет, то есть wнедостижима отv, полагаем dist(v,w) = ∞. В неориентированном случаеdist(v,w)=dist(w,v) для всехv, wV (G).

21. Связныеграфы • Непустой графGназывается связным, если любые две его вершины соединены путем в G. • В противном случае граф называется несвязным. • Максимальный связный подграф G называется его связнойкомпонентой. • Вершинаvтакая что G – v имеетбольшесвязныхкомпонентчем G называетсяразделяющей (сочленяющей) вершиной. • Реброe называетсямостом,еслиG – e имеетбольшесвязныхкомпонентчем G.

22. Критерий связности Предложение 2.3. • ГрафG связныйтогда и только тогда, когдаd(X) ≠ ø для всехø ≠ X V (G). • Пусть G ―орграф и r V(G).Тогда существуетr-v-путьдлякаждойvV(G)тогда и только тогда, когдаd+(X) ≠ ø для всехX V (G) сrX.

23. Доказательствоa) If: Пусть существует X V(G) с rX, vV(G)\X и d(X) =ø.  Не существует r-v-пути.  G ― не связный. Only if: G ― не связный  Не существует r-v-пути.  Пусть Rмножество вершин достижимых из r.  r  R,v  R и d(R) =ø.

24. Дерево, лес, … • Граф без цикловназываетсялесом. • Связныйлес называетсядеревом. • Вершина степени 1 называетсялистом. • Звезда―дерево, в котором не более одной вершины не являются листьями.

25. Упражнение 2.2 • Доказать, что если граф ― лес с nвершинами, m ребрами и p связными компонентами, то n = m + p.

26. Характеризациядеревьев Теорема 2.4. Пусть G ―графна nвершинах. Тогда следующие утверждения эквивалентны: • G ―дерево (связный граф без циклов). • G имеет n-1реброинеимеетциклов. • G имеет n-1реброисвязен. • G ―минимальныйсвязный граф ( каждое ребро ―мост) • G ―минимальныйграф с d(X) ≠ ø для всех ø ≠ X V (G). • G ―максимальныйграф без циклов (добавление любого ребра образует цикл) • Gсодержитединственный путьмежду любой парой вершин.

27. Упражнение2.3

28. Остовное дерево • Остовный подграф, который является деревом, называетсяостовным деревом. • Теорема 2.4 влечет, что граф связный тогда и только тогда, когдаон содержит остовное дерево.

29. Ориентированное дерево • Орграфназываетсясвязнымесли его соответствующий граф связный. • Орграфназываетсяориентированнымлесом если его соответствующий граф ― лес и каждая вершинаvимеет не более одного входящего ребра. • Связныйориентированныйлес называетсяориентированнымдеревом (ордерево).

30. Корень • По Теореме 2.4 ориентированноедеревосnвершинамиимеетn –1 ребро. • Следовательно оно имеетровно однувершинуrсd−(r)=ø. • Эта вершина называетсякорень. • Вершиныvсd+(v)=ø называютсялистья.

31. Характеризацияориентированных деревьев Теорема 2.5. Пусть G ― орграфна nвершинах. Тогда следующие утверждения эквивалентны: • G ―ордерево с корнем вr . • G ―ориентированныйлес сn–1 ребромиd−(r)=ø. • G имеетn –1реброикаждаявершинадостижима изr. • Каждаявершинадостижима изr,ноудаление любого ребранарушаетэто свойство. • G минимальныйграф с d+(X) ≠ ø для всехXV (G) сr X. • d−(r)=ø исуществуетединственный r-v-путьдлявсехvV(G)\{r}.

32. Упражнение2.4

33. Разрезы • Множество ребер d(X) (ø≠XV(G)) называетсяразрезомвграфе G. • Множество ребер d+(X) называетсяориентированным разрезом,еслиø≠XV(G) иd–(X)=ø. • Множество ребер F E(G) разделяетдвевершиныsиt,еслиtдостижимоизsвGнонев (V(G), E(G)\F). • В орграфе, множество реберd+(X) сsX и t ∉X называетсяs-t- разрезом. • s-t-разрезвграфе ―разрезd(X) для некоторогоXV(G) сs X иt ∉X. • r-разрезворграфе ―множество реберd+(X) таких, чтоXV(G) с rX.

34. Лемма Минти Лемма 2.6. (Minty [1960]) ПустьG―орграф иeE(G). Предположимeпокрашена в черный цвет, а все другие дуги в красный, черный или зеленый. Тогда выполнено ровно одно из следующих утверждений: • Существуетнеориентированный цикл, содержащий e,итолькокрасныеичерныеребра,так чтовсечерныеребраимеют одинаковую ориентацию. • Существуетнеориентированный разрез, содержащий e,итолькозеленыеичерныеребра,так чтовсечерныеребраимеют одинаковую ориентацию.

35. Доказательство леммы Минти • Пусть e=(x,y). Пометим вершины графа Gс помощью следующего алгоритма. Сначала пометим вершину y. В случае, если v уже помечена, а w нет, пометим w, если существует черная дуга (v,w), красная дуга (v,w) или красная дуга (w,v). При этом запишем, pred(w) = v.

36. Пример y x

37. xпомечена y x

38. xне помечена y x

39. Либоцикл, либо разрез. y x ?

40. Сильносвязныеорграфы(1) • Орграфназываетсясильносвязнымесли существуетпутьиз sвt ипутьиз t в s для всехs, t V(G). • Сильносвязнымикомпонентами орграфаназываютсямаксимальносильно связныеподграфы.

41. Сильносвязныеорграфы (2) Следствие 2.7. Ворграфе G, каждая дуга принадлежит либо ориентированному циклу,либоориентированному разрезу иследующие утверждения эквивалентны: a) G ― сильно связный. b) Gне содержиториентированного разреза. c) G ― связный и каждая его дуга принадлежит ориентированному циклу.

42. Доказательство с)  a) • Рассмотрим произвольную вершину rV(G) и докажем, что из нее существуют r-v-путьв каждую vV(G). Пусть это не так. • Предложение 2.3 b)  X V(G) c rXи d+(X)=ø. • Так как Gсвязный, то d+(X) ⋃ d–(X) ≠ø. • ed–(X). • Но эта дуга не может принадлежать циклу, так как нет дуг выходящих из X.

43. Ациклическиеорграфы • Орграфназываетсяациклическим, если в немнет ориентированных циклов. • ИзСледствия 2.7.орграф ― ациклическийтогда и только тогда, когдакаждая его дуга принадлежит ориентированному разрезу. • Орграф ― ациклическийтогда и только тогда, когдаегосильносвязные компоненты одноточечные множества.

44. Топологический порядок • Определение 2.8. Пусть G ―орграф. Топологическимпорядком G называетсяпорядоквершин V(G)={v1,…,vn } такой, чтодлякаждого ребра (vi,vj)  E(G) имеемi < j. • Предложение 2.9. Орграфимееттопологическийпорядоктогда и только тогда, когдаон― ациклический.