Unidad 4: La antiderivada

1. Unidad 4: La antiderivada Funciones de densidad de probablidad

2. Funciones de densidad de probabilidad En estadística, una función de densidad (de probabilidad) f de una variable aleatoria continua x, donde x toma valores en todos los reales, es una funciòn que cumple las siguientes condiciones: 1.f (x)  0 , para todo x real 2.El área total bajo la gráfica f(x) es 1

3. Determinación de la probabilidad La probabilidad de que la variable x, con función de densidad f,tome valores en el intervaloaxbestá dada por: Y y=f(x) P(a≤x≤b) X a 0 b

4. Ejemplo 1 Dada la función: • Demuestre que es una función de densidad de la variable x. • Hallar la probabilidad de que x esté en [0; 3]

5. y x a b Función de Densidad Uniforme Una función fes de densidad uniforme para x en [a, b] si está definida por:

6. Ejemplo 2 Cierto semáforo permanece en rojo durante 40 segundos. Ud. llega (aleatoriamente) al semáforo y lo encuentra en rojo. Utilice la función de densidad uniforme apropiada para hallar: • La probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 15 segundos para que el semáforo cambie a verde. • La probabilidad de que el semáforo cambie a verde entre 5 y 10 segundos después de que UD. llega.

7. Función de Densidad Exponencial Una función f es de densidad exponencial para la variable x si está definida por: donde k es una constante positiva. y k y=f(x) x 0

8. Ejemplo 4 Sea x una variable que mide la duración en minutos de las llamadas telefónicas en cierta ciudad y cuya función de densidad de probabilidad para x es: donde x es la duración de una llamada seleccionada aleatoriamente. Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure entre 2 y 3 min. Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure al menos 2 min.

9. Ejemplo 5 La vida de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria x cuya función de densidad de probabilidad es: donde x denota la duración (en meses) de un electrodoméstico seleccionado al azar ¿Cuál es la probabilidad de que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure más de 12 meses?

10. Ejemplo 6 La vida útil de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria x cuya función de densidad de probabilidad es: donde x denota la vida (en años) de un electrodoméstico seleccionado al azar. • Determine m para que sea f una función de densidad • Determine la probabilidad que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure al menos 5 años.