第五章 IIR DF 的设计方法

1. 第五章IIR DF的设计方法

2. 第一节引言

3. 一、滤波器的设计方法 • 因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统。它是在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。 • 所以，数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。

4. 二、滤波器设计的步骤 1.根据任务，确定性能指标。 2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。 3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。） 4.用适当的软、硬件技术实现 包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。

5. 三、性能指标 • 我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。 • 因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变） • 要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。

6. 1、低通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) δ1:通带的容限 1 δ2：阻带容限 Ap 1-δ1 通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fp(ws)又称阻带下限截止频率。 阻带衰减：As δ2 As fs ws fp wp f w

7. 2、高通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fp(ws)又称阻带上限截止频率。 阻带衰减：As 1 As fs ws fp wp f w

8. 3、带通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As 1 As f w fs1 ws1 fp1 wp1 fs2 ws2 fp2 wp2

9. 4、带阻滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As 1 As fs1 ws1 f w fp1 wp1 fs2 ws2 fp2 wp2

10. 5、通常具体技术指标

11. 四、H(z)如何推导出 （1）根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z). (2)根据时域波形提出要求来设计-->单位冲激响应h(n)或g(n)的形状。 （3）有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).

12. 五、确定DF的采用的结构及运算结构的好坏 • 确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。 • 1.计算复杂性 一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间，乘法器少，运算速度快， 延时器最费存储单元，延时器少，存储器用的少，计算少。 • 2.有限存储器的长度的影响与运算结构有关。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。

13. 六、本章主要内容 • 1.设计IIR DF两种变换法（模拟频率变换法，数字频率变换法）。 • 2.利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。 • 3.（计算机辅助设计）最优化技术设计 （最小均方误差法、最小误差设计法）

14. 第二节IIR DF 设计方法

15. 一、IIR DF 系统函数 IIR DF 是一个递归型系统，其系统函数：

16. 二、IIR DF频率特性 • 它是由三个参量来表征： 1.幅度平方响应 2.相位响应 3.群延时

17. 1.幅度平方响应

18. 2.相位响应

19. 3.群延时 它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：

20. 三、IIR DF 的设计方法 • 设 计 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 有 两 种 方 法： • 1、简单滤波器的零、极点累试法 • 2、间 接 方 法 • 3、直 接 方 法

21. 1、简单滤波器的零、极点累试法 在z平面上直接设计IIR数字滤波器，即以所希望的滤波器响应作为依据，直接在z平面上，通过多次选定极点和零点位置以逼近该响应。即在单位园内， 在处设置一对共轭极点的话，那么，频响在w0处就有一峰值。 当r越近于1，即极点位置越接近单位园，则峰值就越尖锐。同理，若在单位园上，设置一对零点， 则频响就会在w1处出现各值，即可实现陷波。这样如果，特性尚达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的要求DF.这种方法，可以设计一些简单阶数很低（1~2阶)的DF。 Im[z] * * Re[z] * *

22. 2、间 接 方 法 • 由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIR DF的方法，即间接设计方法。 • 这 种 方 法 通 常 要 先 设 计 一 中 间 滤 波 器 ， 然 后 通 过 映 射 或 频 率 变 换 完 成 最 终 IIR 数 字 滤 波 器 的 设 计。 这 种 间 接 设 计 方 法 包 括： (1) 由模 拟滤波器设计数字滤波器 (2) 频 率 变 换 法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设计数字滤波器

23. 3、直 接 方 法 • 直 接 方 法( 计 算 机 辅 助 设 计 法 ) （1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。 （2）在时域直接设计IIR数字滤波器 此 法 根 据 性 能 指 标 和 一 定 的 逼 近 准 则， 直 接 利 用 计 算 机 完 成 设 计。

24. 第三节由模拟滤波器设计数字滤波器的方法

25. 一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤 • 用间接方法之一即由模拟滤波器设计IIR DF的 系 统 函 数. 这 种 方 法 设 计 ， 要 经 过 以 下 三 步： • 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标 • 2、模拟滤波器设计 • 3、映射实现：从模拟滤波器再转换在数字滤波器

26. 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标 • 根 据 给 定 设 计 要 求， 把 数 字 滤 波 器 的 性 能 指 标 变 成 模 拟 滤 波 器 的 性 能 指 标。

27. 2、模拟滤波器设计 • 设 计 出 符 合 要 求 的 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Elliptic,Bessel等。

28. 3、 映 射 实 现 • 利 用 一 定 的 映 射 方 法， 把 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 数 字 化， 完 成 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 的 设 计。

29. 二、由模拟滤波器设计数字滤波器条件 • 完成由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求： • 条 件①为 保 持 模 拟 滤 波 器 的 频 率 轴 的 映 射 关 系，S 平 面 的 虚 轴 jΩ 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上， 即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π] • 条 件②为 保 持 滤 波 器 稳 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即Re[s]<0 → |z|<1 z S 0 - π π ω Ω z S 0 - π π ω Ω

30. 三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性 • 用 这 方 法 设 计IIR 数 字 滤 波 器 存 在 一 定 的 局 限 性： • (1) 这 种 方 法 只 适 于 设 计 振 幅 响 应 分 段 恒 定 的 滤 波 器， 不 能 解 决 多 带 或 任 意 幅 度 的 滤 波 器 的 设 计 问 题。 • (2) 它 只 是 一 种 可 行 的 方 法， 而 不 是 最 优 的 方 法。

31. 四、映射实现的方法 • 由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。 主要有以下几种映射方法： • 冲 激 响 应 不 变 法 • 阶 跃 响 应 不 变 法（不讲，同学们自已看） • 双 线 性 变 换 法

32. 第四节常用模拟低通滤波器的设计

33. 一、为何要设计模拟低通滤波器 • 由于模拟滤波器来设计数字滤波器：必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射。再此节我们先复习如何设计模拟低通滤波器。 • 首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标(此节不讲)后，我们就只设计“模拟低通原型”滤波器。 • 模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。 • 1、Butterworth巴特渥斯滤波器(最平幅度) • 2、Chebyshev切比雪夫滤波器(通带或阻带等波纹）

34. 二、模拟滤波器设计思想 • 将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群时延特性)，模拟滤 波器经常借助其幅度平方函数特性来设计。

35. 三、根据幅度平方函数确定系统函数1、求滤波器的幅度平方函数三、根据幅度平方函数确定系统函数1、求滤波器的幅度平方函数 • 设 计 模 拟 滤 波 器 经 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 数 其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。 • 假 设p1, z1为Ha(s) 的一个零点和一个极点，则-p1, -z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式： z1 p1 -z1 -p1 ＊ ＊ ＊ ＊

36. 2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤 • 我 们 知 道， 实 际 滤 波 器 都 是 稳 定 的， 因 此 其 极 点 一 定 位 于S 平 面 左 半 平 面， 这 样 可 根 据 幅 度 平 方 函 数 通 过 如 下 步 骤 分 配 零、 极 点 来 设 计 出 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 。 • (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 • (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 • (3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 的 对 比 就 可 确 定 出 增 益 常 数。

37. (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 • 将 • 代入 中即得到s平面函数。

38. (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 • 将左半平面的极点归于Ha(s)。 • 如无特殊要求，可取 的对称零点的任一半作为 Ha(s) 的零点。 • 如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为Ha(s) 的零点。且 轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s)。

39. (3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 , 确 定 出 增 益 常 数。 • 由 的条件，代入可求得增益常数。

40. 例子 • 根据以下幅度平方函数 确定系统函数Ha(s).

41. 四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器1、幅度平方函数四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器1、幅度平方函数 • Butterworth 低 通 滤 波 器 具 有 通 带 最 大 平 坦 的 幅 度 特 性， 是 一 全 极 点 型 滤 波 器，且极点均匀分布上Ωc的园上，并且与虚轴对称。 • 其特点：在通带内，幅频特平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅 度 平 方 函 数为 • 其 中N 为 整 数， 表 示 滤 波 器 的 阶 次，Ωc 定 义 为 截 止 频 率， 为 振 幅 响 应 衰 减 到 - 3dB 处 的 频 率。

42. 2、Butterworth滤波器的极点分布 • 由 • 可知Butterworth的零点全部在S=∞处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为Ωc 的圆上,呈象限对称分布。 • 为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。 • 取其分布在左平面的极点, 设计出巴特沃斯低通滤波器.

43. 3、Butterworth的幅度响应及极点分布 其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数 极点不会落在S平面上的虚轴上

44. 4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系 当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。

45. 5、3dB带宽

46. 6、Butterworth滤波器的特点 • (1)N阶滤波器在Ω=0处幅度平方函数的前(N-1)阶导数等于零。即 在Ω=0处，最平坦，且随着Ω的增加单调下降。 • (2)在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有 都经过 点（-3dB)处。 • (3)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。

47. 7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数 • 在一般设计中，都先把Ωc 设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查（P148）。 • 即若令

48. 8、Butterworth滤波器设计步骤 (1) 根 据 设 计 规 定， 确 定Ωc 和N。 (2) 由 确 定Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。 (3) Sk的 前N个值(k=1,2,...,N) ， 即 Re(Sk)<0部 分 的极点，构成Ha(s). (4)常 数K0可 由A(Ω) 和Ha(s) 的 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。

49. 9、例子 • 导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设Ωc=1rad/s，N =3。 解：方法一：根据幅度平方函数：

50. 方法二 方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得