第二章  控制系统的数学模型
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第二章 控制系统的数学模型. 2.1 数学模型基础. 2.2 线性系统的微分方程. 2.3 线性系统的传递函数. 2.4 系统的结构图. 2.5 信号流图及梅逊公式. 本章作业. End. 2.1 数学模型基础. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 1. 定义 : 数学模型是指出系统内部物理量(或变量)之间动态关系的表达式。. 2. 建立数学模型的目的 ● 建立系统的数学模型,是分析和设计控制系统的首要工作(或基础工作)。

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第二章 控制系统的数学模型

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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3741161

第二章 控制系统的数学模型

2.1 数学模型基础

2.2 线性系统的微分方程

2.3 线性系统的传递函数

2.4 系统的结构图

2.5 信号流图及梅逊公式

本章作业

End


3741161

2.1 数学模型基础

2.2

2.3

2.4

2.5

1.定义:数学模型是指出系统内部物理量(或变量)之间动态关系的表达式。

2.建立数学模型的目的

●建立系统的数学模型,是分析和设计控制系统的首要工作(或基础工作)。

●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等,然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此,通过数学模型来研究自动控制系统,可以摆脱各种不同类型系统的外部特征,研究其内在的共性运动规律。


3741161

求解

观察

时间响应

性能指标

线性微分方程

傅氏变换

拉氏反变换

拉氏变换

估算

估算

传递函数

S=jω

计算

频率特性

频率响应

机理建模(分析法)--本课程介绍

辨识建模(实验法)--系统辨识课程介绍

3.建模方法

4.常用数学模型

微分方程(或差分方程)

传递函数(或结构图)

频率特性

状态空间表达式(或状态模型)       

5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径


3741161

R1

i1 (t)

uc(t)

C1

ur(t)

2.1

2.2 控制系统时域数学模型(机理建模)

2.3

2.4

2.2.3

2.2.2

2.2.4

2.5

2.2.1 微分方程的列写

  • 微分方程的列写步骤

1)确定系统的输入、输出变量;

2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程;

3)消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程;

4)变换成标准形式。


3741161

k

F

m

f

y(t)

L

R

i(t)

ur(t)

uc(t)

C

例2.1图为机械位移系统。

  • 解:阻尼器的阻尼力:

    • 弹簧弹性力:

  • 试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。

整理得:

  • 例2.2如图RLC电路,试列写以ur(t)为输入量,uc(t)为输出量的网络微分方程。

  • 解:

返回


3741161

Qi

H

Qo

A

例2.3液位系统----单容水箱

已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H

求: 以 Qi 为输入,H 为输出的系统动态方程式.

解: 根据物质守恒定律

消中间变量Qo,

根据流量公式:

线性关系: 


3741161

线性关系:

非线性关系:

在工作点(H,Q)附近,对微小变化可用线性方程近似,即微小变化之间的关系是线性关系,线性化。


3741161

负载

SM

例2.4机电系统微分方程:电枢电压控制直流电动机

原理:ua ia Mm ωm

运动方程

定子转子电磁作用

电枢回路

电枢回路电压平衡方程


3741161

若以角速度 为输出量、电枢电压 为输入量,消去中间变量Ea 、Mm 、ia(t),可得到直流电动机的微分方程。

原理:ua ia Mm ωm

运动方程

定子转子电磁作用

电枢回路

电枢回路电压平衡方程

电磁转矩方程

电动机轴上转矩平衡方程


3741161

将方程(2)代入方程(4)得ia(t)

将方程(3)、(5)带入方程(1)得 与 关系


L a 0

当电枢回路的电感可以忽略不计,即La= 0

若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小,可忽略不计,即Ra = 0 ,则上式可进一步简化。


3741161

例2.5速度控制系统的微分方程

控制系统方块图?


3741161

系统输出 系统输入参考量

控制系统的主要部件(元件):给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机

运放1

运放2

功放

直流电动机

消去中间变量

减速器(齿轮系)

测速发电机


3741161

控制系统数学模型(微分方程),令以下的参数为


2 2 2

2.2.1

2.2.3

2.2.4

2.2.2微分方程的类型

  • 非线性系统:用非线性微分方程描述。

  • 线性系统:用线性微分方程描述。

  • 线性定常系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数。

  • 线性时变系统:用线性微分方程描述,微分方程的系数是随时间而变化的。

  • 线性系统的重要性质:满足叠加性和均匀性(齐次性)。即:

  • 如果输入r1(t)—>输出y1(t),输入r2(t)—>输出y2(t)

  • 则输入a r1(t)+b r2(t) —>输出a y1(t)+by2(t)


2 2 3

2.2.1

2.2.2

2.2.4

2.2.3 非线性元件微分方程的线性化

  • 严格地说,实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性,而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内,可以用线性系统模型近似,称为非线性模型的线性化。

  • 小偏差线性化:用台劳级数展开,略去二阶以上导数项。

  • 一、假设:x,y在平衡点(x0,y0)附近变化,即

    • x=x0+△x, y=y0+△y

二、近似处理

三、数学方法

略去高阶无穷小项


2 2 4

R1

i 1(t)

uc(t)

C1

ur(t)

2.2.2

2.2.3

2.2.1

2.2.4线性定常微分方程的求解

拉氏变换法求解步骤:

1. 考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,得到变量s的代数方程;

2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式;

3. 对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达式,即为所求微分方程的解。

  • 求解方法:经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。

例2.3已知R1=1,C1=1F,uc(0)=0.1v,

ur(t)=1(t),求 uc(t)

解:

零初始条件下取拉氏变换:


3741161

2.3 传递函数

2.1

2.4

2.5

2.2

2.3.3

2.3.2

2.3.4

2.3.1传递函数的定义

  • 线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,称为传递函数 。


2 4 rlc

L

R

i(t)

ur(t)

uc(t)

C

Ls

R

I(s)

Ur(s)

Uc(s)

1/sC

例2.4如图RLC电路,

参见

解:1) 零初始条件下取拉氏变换:

试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).

传递函数:

2) 变换到复频域来求。

2.3.2、传递函数的性质

1) 传递函数是复变量S的有理真分式函数,分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n,所有系数均为实数;

2) 传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关;

3) 传递函数与微分方程有相通性,可经简单置换而转换;

4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。

5) 传递函数是在零初始条件下定义的,它只反应系统的零状态特性;零初始条件含义要明确。


2 5 r 1 1 c 1 1f 1

R1

i1 (t)

uc(t)

C1

ur(t)

例2.5已知R1=1,C1=1F, 1)

解: 1)

求零状态条件下阶跃响应uc(t) ;

2) uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t),求 uc(t) ; 3)求脉冲响应g(t)。

对上式进行拉氏反变换:

2)

3)


2 3 2

j

S平面

0

2.3.3

2.3.4

2.3.1

2.3.2传递函数的零点和极点

  • 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式:

  • 传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点;分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。

  • 零、极点分布图。

  • 传递函数分子多项式与分母多

  • 项式也可分解为如下形式:

  • K称为传递系数或增益,在频率法中使用较多。


2 3 3

2.3.1

2.3.2

2.3.4

2.3.3传递函数的零点和极点对输出的影响

极点决定系统响应形式(模态),零点影响各模态在响应中

所占比重。

  • 例2.6具有相同极点不同零点的两个系统

  • ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为


2 3 4

2.3.2

2.3.1

2.3.4典型环节的传递函数

2.3.3

  • 比例环节: G(s)=K

  • 积分环节: G(s)=1/s

  • 微分环节G(s)=s

  • 惯性环节:

  • 一阶微分环节:

  • 振荡环节 :


3741161

R(s)

E(s)

C(s)

G(s)

(-)

H(s)

2.1

2.2

2.4 系统的结构图

2.5

2.3

2.4.2

2.4.1结构图的组成和绘制

结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成,它包括:

信号线:表示信号传递通路与方向。

方框:表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。

比较点:对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加,“-”表示相减。

引出点:表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。


3741161

R1

i1 (t)

uc(t)

C1

ur(t)

I1(s)

Uc(s)

Ur(s)

1/sC1

1/R1

(-)

2.4 系统的结构图

  • 例2.7绘出RC电路的结构图。

原理:ur i1 uc


2 8 rc

R1

R2

i1

i2

ic

ui

uo

u

C2

C1

ui i1 ic u i2 uc

2.19

Ui(s)

I1(s)

I2(s)

IC(s)

I2(s)

U(s)

U(s)

(-)

IC(s)

I1(s)

(-)

(-)

U(s)

Uo(s)

(c)

(b)

(d)

(a)

I2(s)

Uo(s)

I1(s)

Ui(s)

U(s)

Uo(s)

(-)

IC(s)

I2(s)

(-)

(-)

(e)

(f)

返回

例2.8绘出图示双RC网络的结构图。

解:由因果关系直接绘出网络对应的复频域图。


2 4 2

2.4.2 结构图的等效变换和简化

1984年,人类实现了首次太空自由行走,依靠的是一个充着氮气的推进器来控制他的行走。


3741161

C(s)

R(s)

K1

K3

1/IS

1/S

预期位置

实际位置

R(s)

K1K3

C(s)

预期位置

实际位置

(-)

(-)

K2

IS2+K1K2K3S+K1K3

氮气推进器的控制结构图

等效变换的原则:对输入输出变量等效。

表示信号流向

表示传递函数

等效变换


3741161

K1

K3

1/IS

1/S

(-)

(-)

R(s)

V(s)

C(s)

G1(s)

G2(s)

K2

C(s)

R(s)

R(s)

V(s)

C(s)

氮气推进器的控制结构图

预期位置

实际位置

G1(s)

G2(s)

串联等效

C(s)=V(s)G2(s)

=R(s)G1(s)G2(s)

结论:串联结构传函相乘


3741161

R(s)

C(s)

G(s)

1±G(s)H(s)

R(s)

C(s)

E(s)

G(s)

B(s)

E(s)=R(s) B(s)

C(s)

R(s)

H(s)

预期位置

实际位置

+

前向通路传递函数

开环传递函数

C(s)=[R(s) C(s)H(s)]G(s)

请记住!

+

K1K3/IS

K1

K3

1/Is

1/S

(-)

(-)

K2

现在大家可以写出串联等效的结果吗?

氮气推进器的控制结构图

反馈等效

C(s)=E(s)G(s)

记忆:

B(s)=C(s)H(s)

C(s)±C(s)H(s)=R(s)G(s)


3741161

1+

(-)

C(s)

R(s)

预期位置

实际位置

K1K3/IS

1+K1K2K3/IS

大家看到这个反馈能否直接写出结果?

K1K3/IS

1/S

K1K3/IS

(-)

K2

氮气推进器的控制结构图

请问,接下来应该如何化简呢?


3741161

R(s)

C(s)

G2(s)

G1(s)

G6(s)

(-)

G3(s)

(-)

G4(s)

R(s)

C1(s)

G5(s)

C(s)

G2(s)

C2(s)

G3(s)

R(s)

C1(s)

C(s)

G2(s)

C2(s)

G3(s)

再看一个例子

并联等效

G2(s)+ G3(s)

C(s)= C1(s)+ C2(s)

= [G2(s)+ G3(s)] R(s)

结论:并联结构传函相加


3741161

R(s)

C(s)

G2(s)

G1(s)

G6(s)

(-)

G3(s)

(-)

G4(s)

G5(s)

R(s)

C(s)

G1(s)

(G2+G3)G6

(-)

(-)

C(s)

G4(s)

R(s)

(G2+G3)G6

(G2+G3)G6G1

G1(s)

G5(s)

1+(G2+G3)G6(G5-G4)

1+(G2+G3)G6(G5-G4)

R(s)

C(s)

G1(s)

(G2+G3)G6

(-)

G5-G4


3741161

R(s)

V(s)

C(s)

R(s)

C(s)

G2(s)G1(s)

G1(s)

G2(s)

R(s)

C(s)

G1(s)

C1(s)

G(s)

1±G(s)H(s)

C(s)

C2(s)

R(s)

G2(s)

(-)

C3(s)

G3(s)

C(s)

R(s)

G1(s)+G2(s)-G3(s)

R(s)

E(s)

C(s)

G(s)

H(s)

结构图的等效变换小结1

  • 串联等效

  • 并联等效

  • 反馈等效


3741161

H1

R

(-)

Y

G1

G2

G3

(-)

H2

G4

H1

H1

R

R

(-)

(-)

Y

Y

G1

G1

G2

G3

G3

(-)

H2

H2

H2

G4

G4

化简方案1

例2.10结构图化简


3741161

1/G3

H1

H1

R

(-)

Y

G1

G3

R

(-)

Y

G1

A

G3

B

H2

A

H2

G4

G4

A


3741161

1/G3

H1

H1

R

(-)

Y

G1

R

(-)

Y

A

G3

G1

B

B

A

H2

A

1/G3

H2

G4

G4


3741161

H1

R

Y

R

(-)

Y

G1

B

G4

A

R

1/G3

Y

H2

G4


3741161

H1

R

(-)

Y

G1

G2

G3

(-)

H2

G4

R

Y

G3

H2

G4

(b)

H2+G3H1

(-)

R

Y

G1

G2

G3

R

Y

H2

G4

G4

(c)

(a)

化简方案2

例2.10结构图化简


3741161

C(s)

R(s)

R(s)

C(s)

G(s)

G(s)

C(s)

C(s)

G(s)

R(s)

R(s)

C(s)

C(s)

G(s)

G(s)

R(s)

R(s)

  • 引出点移动:

  • 1. 引出点前移

  • C(s)=G(s)R(s)

  • 比较点和引出点的移动:

    等效原则:前向通道和反馈通道传递函数都不变。

2. 引出点后移


3741161

R(s)

C(s)

R(s)

C(s)

G(s)

G(s)

(-)

(-)

B(s)

B(s)

C(s)

R(s)

R(s)

C(s)

G(s)

G(s)

(-)

(-)

B(s)

G(s)

B(s)

V2(s)

R(s)

E1(s)

C(s)

V2(s)

V2(s)

(-)

R(s)

C(s)

C(s)

R(s)

V1(s)

(-)

(-)

V1(s)

V1(s)

相加点的移动

C(s)=G(s)R(s)-B(s)

1. 相加点前移

2. 相加点后移

C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]

= G(s)R(s)-G(s)B(s)

3. 交换或合并相加点

C(s)=E1(s)+V2(s)

= R(s)-V1(s)+V2(s)

= R(s)+V2(s)-V1(s)


3741161

H1

R

(-)

Y

G1

G2

G3

(-)

H2

G4

R

Y

G3

H2

G4

(b)

H2+G3H1

(-)

R

Y

G1

G2

G3

R

Y

H2

G4

G4

(c)

(a)

2.4.1

2.4.2

(1) 结构图化简方案Ⅰ

返回

例2.10结构图化简


3741161

H1+H2/G3

(-)

R

Y

R

Y

G1

G2G3

H2/G3

H2/G3

G4

G4

(a)

(b)

R

Y

H1/G1

(-)

R

Y

G1G2G3

(-)

G1G2G3

G4

G4

(b)

(a)

(2) 结构图化简方案Ⅱ

原电路

(3) 结构图化简方案Ⅲ


3741161

Ui(s)

Uo(s)

(-)

I1(s)

U(s)

IC(s)

I2(s)

(-)

(-)

(a)

R1

Ui(s)

Uo(s)

(-)

(-)

(-)

(b)

R1

Ui(s)

Uo(s)

(-)

(-)

(c)

R1

R1C2s

C2s

Ui(s)

Ui(s)

Uo(s)

Uo(s)

(-)

(-)

(-)

(e)

(d)

例2.11双RC网络的结构图简化。

返回


3741161

G(s)

1±G(s)H(s)

小结

  • 串联

  • 并联

G1G2 相乘

G1+G2 相加

  • 反馈

比较点和引出点移动


3741161

R(s)

C(s)

G(s)

(-)

H(s)

C(s)

R(s)

G(s)

H(s)

(-)

C(s)

R(s)

E(s)

G(s)

H(s)

-1

E(s)

C(s)

R(s)

G(s)

-H(s)

其它等价法则

1. 等效为单位反馈系统

2. 负号可在支路上移动

E(s)=R(s)-H(s)C(s)

=R(s)+(-1)H(s)Cs)

=R(s)+[-H(s)]C(s)


3741161

Ui(s)

Uo(s)

(-)

I1(s)

U(s)

IC(s)

I2(s)

(-)

(-)

(a)

R1

Ui(s)

Uo(s)

(-)

(-)

(-)

(b)

R1

Ui(s)

Uo(s)

(-)

(-)

(c)

R1

R1C2s

C2s

Ui(s)

Ui(s)

Uo(s)

Uo(s)

(-)

(-)

(-)

(e)

(d)

例2.11双RC网络的结构图简化。

返回


3741161

Mc’

u1

u2

ua

ωm

ω

ug

运放1

运放2

功放

直流电动机

齿轮系统

-

uf

测速发电机

速度控制系统的微分方程

方块图?


3741161

传递函数?

系统输出 系统输入参考量

控制系统的主要部件(元件):给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机

运放1

运放2

功放

直流电动机


3741161

传递函数?

减速器(齿轮系)

测速发电机

消去中间变量

控制系统数学模型(微分方程),令以下的参数为


3741161

Mc’

U1

U2

Ua

Ωm

Ug

运放1

运放2

Mc’

功放

直流电动机

Mc’

齿轮系统

-

u1

u2

ua

ωm

ω

ug

U1

U2

Ua

Ωm

Ω

Ug

Uf

运放1

运放2

功放

直流电动机

齿轮系统

测速发电机

K1

K2(τS+1)

K3

1/i

-

-

uf

测速发电机

Uf

Kt


3741161

x6

x5

x1

x3x7

I(s)

x4

x2

1/R1

R2

1+R1C1s

-1

2.5.1

2.5.3

2.5.2

2.5 信号流图及梅逊公式

2.3

2.4

2.1

2.2

  • 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。

  • 信号流图的基本性质:

    1) 节点标志系统的变量,节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和,用“O”表示;

    2) 信号在支路上沿箭头单向传递;

    3) 支路相当于乘法器,信号流经支路时,被乘以支路增益而变成另一信号;

    4) 对一个给定系统,信号流图不是唯一的。

  • 信号流图中常用的名词术语:

  • 源节点(输入节点):

  • 在源节点上,只有信号输出

  • 支路而没有信号输入的支路,

  • 它一般代表系统的输入变量。

  • 阱节点(输出节点):

  • 在阱节点上,只有信号输入的支路而没有信号输出的支路,它一般代表系统的输出变量。


2 5 1

2.5.1信号流图的绘制

  • 前向通路:信号从输入节点到输出节点传递时,每个节点只通过一次的通路,叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益,一般用Pk表示。

  • 混合节点:在混合节点上,既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。

  • 回路:起点和终点在同一节点,而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益,一般用La表示。

  • 不接触回路:回路之间没有公共节点时,称它们为不接触回路。

2.5.3

2.5.2

1. 由系统微分方程绘制信号流图

1)将微分方程通过拉氏变换,得到S的代数方程;

2)每个变量指定一个节点;

3)将方程按照变量的因果关系排列;

4)连接各节点,并标明支路增益。


3741161

C1

i1

i

R1

ui

R2

uo

uC(0)

Ui(s)-Uo(s)

I1(s)

Uo(s)

Uo(s)

-C1

I(s)

Ui(s)

1/R1

1+R1C1s

R2

-1

例2.12

  • 上式拉氏变换

  • 信号传递流程:


3741161

R(s)

G(s)

C(s)

(节点)

(支路)

(节点)

R(s)

C(s)

G(s)

D(s)

D(s)

1

C(s)

R(s)

G1(s)

G2(s)

R(s)

C(s)

1

1

E(s)

V(s)

G1(s)

G2(s)

(-)

V(s)

E(s)

Y(s)

-H(s)

H(s)

(b) 信号流图

(a) 结构图

2. 由系统结构图绘制信号流图

1) 用小圆圈标出传递的信号,得到节点。

2) 用线段表示结构图中的方框,用传递函数代表支路增益。

  • 注意信号流图的节点只表示变量的相加。


2 13 1

(-)

Uo(s)

I1(s)

Ui(s)

U(s)

IC(s)

(-)

(-)

I2(s)

-1

Ui(s)

Uo(s)

1/C2s

1/R1

1/C1s

1/R2

Uo(s)

U(s)

I2(s)

IC(s)

-1

-1

2.5.3

2.5.1

2.5.2

动画演示

例2.13绘制结构图对应的信号流图(1) 。


2 14 2

例2.14绘制结构图对应的信号流图(2) 。


2 5 2

—余因子式,即在信号流图中,把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的Δ值。

2.5.3

2.5.1

2.5.2梅逊增益公式

动画示例

其中: n—从输入节点到输出节点之前向通路总数。

Pk—从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益 。

  • 梅逊公式为:

  • 特征式 :

  • —所有单独回路增益之和;

  • —在所有互不接触的单独回路中,每次取其中两

  • 个回路增益乘积和;

  • —在所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路增益的乘积之和。


3741161

-H1

C

R

G1

G2

G3

-H2

H2

G4

参见

例2.15已知系统信号流图,求传递函数。

解:三个回路:

  • 回路相互均接触,则:

  • 前向通路有两条:

  • ,没有与之不接触的回路:

  • ,与所有回路不接触:


3741161

f

例2.16已知系统信号流图,

解:三个回路

有两个互不接触回路

求传递函数 X4/X1及X2/X1。


2 17 c s r s

例2.17已知系统信号流图,求传递函数C(S)/R(S)。

解:三个独立回路

三个前向通路

梅森公式

微分方程

结论


2 5 3

N(s)

R(s)

E(s)

C(s)

G1(s)

G2(s)

(-)

B(s)

H(s)

2.5.1

2.5.2

2.5.3闭环系统的传递函数

1. 输入信号作用下的闭环

传递函数 (N(s)=0)

2. 扰动作用下的闭环传递函数 (R(s)=0)

3. 输入信号和扰动信号同时作用时,系统的输出

4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]


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