Wyk ad 8
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 14

Wykład 8 PowerPoint PPT Presentation


  • 109 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Wykład 8. Indukcja i Rekursja. Arytmetyka. Aksjomaty Arytmetyki. Zero 0 jest liczbą naturalną. Jeżeli k jest następnikiem liczby n i k jest następnikiem liczby m, to n=m. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. Zasada indukcji zupełnej:

Download Presentation

Wykład 8

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Wyk ad 8

Wykład 8

Indukcja i Rekursja

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Arytmetyka

Arytmetyka

Aksjomaty Arytmetyki

Zero 0 jest liczbą naturalną.

Jeżeli k jest następnikiem liczby n i k jest następnikiem liczby m, to n=m.

Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.

Zasada indukcji zupełnej:

Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych N takim, że 1. 0  A 2. Dla każdej liczby naturalnej n, jeżeli n  A i m jest następnikiem n, to m A

to A = N.

Dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna liczba naturalna s(n) , która jest następnikiem n.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Definiowanie przez indukcj

Definiowanie przez indukcję

Dodawanie

n + 0 = n

n + s (m) = s (n+ m)

Mnożenie

n * 0 = 0

n * s (m) = (n* m) + n

Twierdzenie Dla każdej pary liczb naturalnych zdefiniowany jest iloczyn n *m.

Niech n będzie dowolnie ustaloną liczbą naturalną i A będzie zbiorem tych liczb naturalnych m, dla których n*m jest zdefiniowane.

(1) 0 A (2) Założenie indukcyjne: n*m jest dobrze zdefiniowane, tzn m A. Na mocy definicji mamy n*s (m) = (n* m) + n. Zatem z założenia indukcyjnego n*s (m) N. Czyli s (m) A.

Na mocy zasady indukcji A=N c.b.d.o.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Zasada indukcji ii

Zasada indukcji II

Baza indukcji

Jeśli W jest własnością określoną w zbiorze liczb naturalnych N, taką że(1) W(0), tzn. 0 ma własność W

(2) dla dowolnej liczby naturalnej n, jeśli W(n), to W(n+1),

to każda liczba naturalna ma własność W.

Krok indukcyjny

Teza

Założenie indukcyjne

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Zasada minimum

Zasada minimum

Twierdzenie

W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

Dowód: Niech A i A N i niech A nie ma liczby najmniejszej (pierwszej).Weźmy B = {n : (m n) m A}

(1) 0 B

(2) Załóżmy, że n B .

Gdyby n+1 A to byłby to element najmniejszy w A. Zatem n+1 nie należy do A. Czyli n+1 B. Na mocy zasady indukcji wszystkie liczby naturalne należą do B. Ale to oznacza że zbiór A jest pusty, wbrew założeniu.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Zasada indukcji iii

Zasada indukcji III

Jeżeli A jest podzbiorem zbioru N takim, że

(1) 0  A

(2) dla każdej liczby n, jeśli dla wszystkich k<n+1, k A , to n+1  A,

to A=N.

Gdyby (1) i (2) oraz dla pewnego n, n A. Wtedy zbiór N\A nie jest pusty. Weźmy więc jego element najmniejszy n0. Ale n0 0, bo 0  A.

Wszystkie liczby <n0 też nie należą do N\A, więc należą do A. Zatem na mocy (2) n0 A. Sprzeczność.

Dowody twierdzeń matematycznych, w których korzysta się z zasady indukcji matematycznej nazywamy indukcyjnymi.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Zasada indukcji

Zasada indukcji

Niech n będzie liczbą całkowitą oraz niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na zbiorze {n Z : n m}.

Jeśli

(1) zdanie p(m) jest prawdziwe

(2) Jeśli wszystkie zdania p(m),...,p(k-1)dla k>m są prawdziwe, to p(k) też jest zdaniem prawdziwym,

to p(n) jest zdaniem prawdziwym dla dowolnych n  m.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Przyk ady

Przykłady

silnia(0)=1

silnia(n+1)= silnia (n) * (n+1)

a0 =1an+1 = an a

Ciąg Fibonacciego F(0) = F(1)= 1

F(n) = F(n -1) + F(n - 2) dla n>1

Definiowanie

przez rekursję

T(1) = 1

T(n) = 2 T(n/2) dla n >1 będących potęgą 2

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Definiowanie c d

Definiowanie c.d.

Funkcja Ackermmann’a A : N N NA(x,y) = if x=0 then y+1 else if y=0 then A(x-1,1) else A(x-1, A(x,y-1))

A(x,y) jest funkcją całkowitą

Stąd na mocy zasady indukcji, twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich par (n,m).

Uporządkujmy wszystkie pary (n,m) leksykograficznie.(1) Twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich par postaci (0,y).(2) Załóżmy, że jest prawdziwe dla wszystkich par < (n,m).

W szczególności dobrze określone są wartości:A(n -1,1) , A(n-1, y) dla dowolnego y, oraz A(n , m-1).Czyli wartość A(n,m) też jest dobrze określona.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Przyk ad 1

Przykład 1

Twierdzenie Liczba podzbiorów zbioru n elementowego wynosi 2n.

Dowód: Niech będzie własność W liczb naturalnych określona jako

W(n) wttw liczba podzbiorów zbioru n elementowego wynosi 2n.

Zbiór pusty ma tylko 1 podzbiór

(1) Liczba 0 ma własność W

Jest ich 2k

Podzbiory zbioru X, w których nie występuje element x k+1

(2) Załóżmy, że wszystkie zbiory k elementowe mają własność W.

Rozważmy zbiór k elementowy X. X = {x1,x2,..., xk,x k+1}.Będziemy dowodzili, że zbiór k+1 elementowy ma też własność W.

Jest ich 2k

Podzbiory zbioru X, w których występuje element x k+1

Razem 2k + 2k = 2k+1 podzbiorów.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Przyk ad 2

Przykład 2

Czy n = 37 500 - 37 100 jest czy nie jest wielokrotnością 10?

Oczywiście mamy37 500 - 37 100 = (37 100 ) 5 - 37 100i ta liczba jest podzielna przez 2 jako różnica liczb nieparzystych.Gdybyśmy udowodnili, że (37 100 ) 5 - 37 100 jest podzielne przez 5 , to twierdzenie byłoby udowodnione.

Rzeczywiście: Niech A={n  N: n>1 i (n5 -n)mod 5=0}

Mamy 1A, 2 A, 3 A.Załóżmy, że k A. Wtedy(k+1)5 - (k+1) = k5 + 5k4 +10k3 +10k2 +5k +1-k-1 = k5 - k + 5(...) Stąd k+1  A.

A może każda liczba postaci n5-n dla n>0 jest podzielna przez 5?

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Algorytm euklidesa

Algorytm Euklidesa

NWD(n,m)= największy wspólny dzielnik n i m.

x:=n; y := m;

While x  y do

if x>y then x := x-y else y:=y-x fi

od;

NWD(x,y)=NWD(n,m)

NWD(x,y)=NWD(n,m)

niezmiennik

NWD(x,y)=NWD(n,m)

NWD(x,y)=NWD(n,m)

NWD(x,y)=NWD(n,m)

NWD(x,y) = NWD(x,y mod x)NWD(x,y) = NWD(x,y -x), gdy y>x NWD(x,y) = NWD(x-y,y), gdy x>y

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Niezmiennik

Niezmiennik

Powiemy, że zdanie a jest niezmiennikiem pętli

while <warunek> do <Instrukcja> od jeśli z tego, że a jest prawdziwe przed wykonaniem Instrukcji pętli wynika, że a jest prawdziwe po wykonaniu instrukcji pętli.

Zasada niezmiennika

Jeżeli zdanie a jest prawdziwe przed wejściem do pętli oraz jest niezmiennikiem pętli, to po wyjściu z pętli zdanie a też jest prawdziwe.

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


Przyk ad

Przykład

Rozważmy program

{ z:= x; y :=1; m := n;

while (m  0) { if odd(m) { y := y * z; } m := m div 2; z := z * z; }}

zm* y = xn

zm* y = xn

Odd(m)  (z * z)mdiv 2* (y * z) = xn lub Odd(m)  (z * z)mdiv 2* y = xn

WniosekDla dowolnych xR i nN, po wykonaniu programu mamy y = xn .

zm* y = xn

zm* y = xn oraz m=0

Matematyka Dyskretna, Indukcja i Rekursja G.Mirkowska, PJWSTK


  • Login