ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2. §1Множества. Основные определения. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают .

3. Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми. Примерами числовых множеств являются: N множество натуральных чисел; Z множество целых чисел; Q  множество рациональных чисел; R множество действительных чисел.

4. В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы: означает «для любого», «для всякого», «каждый»;  означает «существует», «найдется»; : «имеет место», «такое, что»; равносильны»;  «предложения и  «из предложения следует предложение ».

5. §2 Числовые промежутки. Окрестность точки.  действительные числа, причем Пусть и Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид  отрезок;  интервал;  полуинтервал;  полуинтервал.

6. Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Пусть  любое действительное число (точка на числовой оси). Окрестностью точки называется любой интервал содержащий точку В частности, интервал , где называется -окрестностью точки

8. §3 Понятие функции. Способы задания функций. и Пусть даны два непустых множества Правило по которому каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент называется функцией и записывается или называется областью При этом множество определения функции и обозначается множеством значений или а множество функции и обозначается или

9. Пусть функция такова, что для В этом случае любому элементу может быть поставлен в соответствие единственный элемент тем самым определена новая функция называемая обратной заданной функции Графики взаимно обратных функцийсимметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

10. Если где R, то функция называется сложной функциейили композицией функций и Чтобы задать функцию необходимо указать правило, позволяющее, зная находить соответствующее значение Существуют три способа задания функций:

11. 1) графический: задается график функции; 2)табличный: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции; 3)аналитический: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию

12. §4 Основные характеристики функции. 1) Функция определенная на множестве называется четной, если выполняются условия: и выполняются условия: нечетной, если и Из определения следует, что если функция задана не является аналитически и ее область определения симметричным относительно точки множеством, то функция не может быть ни четной, ни нечетной.

13. График четной функции симметричен относительно оси а нечетной  относительно начала координат. называется возрастающей на 2) Функция на интервале если выполняется условие Функция называется убывающей на на интервале если выполняется условие Возрастающие и убывающие функции называются строгомонотонными.

14. Интервалы, на которых функции монотонны, называются интервалами монотонности. 3) Функцию определенную на множестве называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число

15. §5 Основные элементарные функции и их графики. Понятие элементарной функции. Основными элементарными функциями называются следующие функции: R. 1.Степенная функция

21. 2.Показательная функция

24. 3.Логарифмическая функция

27. 4.Тригонометрические функции

32. 5.Обратные тригонометрические функции.

33. Функция, задаваемая одной формулой и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиций, называется элементарной функцией. Примеры элементарных функций:

34. Примеры неэлементарных функций: где

35. §6. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Функция, областью определения которой является N натуральных чисел, называется числовой множество последовательностью и обозначается или или При этом называется n-ым членом последовательности. Геометрически каждому члену последовательности соответствует точка на числовой оси

36. Пример. Формула задает последовательность:

37. последовательно Пусть функция принимает значения т.е.пробегает последовательность Важным случаем такого изменения функции является тот, при котором по мере возрастания номера соответствующие значения неограниченно приближаются (стремятся) к некоторому постоянному значению в этом случае говорят, что последовательность стремится к пределу Но выражения «неограниченно приближаются», «стремятся»  неопределенные и поэтому не годятся для точного математического понятия предела.

38. Для точного определения понятия «предел» введем произвольное малое положительное число поскольку оно произвольно, его по желанию можно задавать равным 0,01, и 0,001, и вообще Факт неограниченного сближения последовательности с постоянной можно охарактеризовать так: каково бы ни было малое положительное число в процессе изменения последовательности рано или поздно должен наступить такой момент, начиная с которого все ее дальнейшие значения будут отличаться от по абсолютному значению меньше, чем на это произвольное

39. Пусть этому моменту отвечает значение оно, очевидно, зависит от задания числа чем меньше, тем больше должно быть от зависимость записывается в виде Итак, факт неограниченного приближения к постоянной последовательности можно математически записать следующим образом:

40. Число Определение. называется пределом последовательности если для любого найдется такое натуральное положительного числа что для всех номеров число будет выполняться неравенство

41. Кратко определение предела можно записать так: (6.1) Геометрический смысл определения предела последовательности: равносильно неравенствам Неравенство или т.е.

42. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать так: число называется пределом последовательности если для любой  окрестности точки найдется такой номер что все члены последовательности для которых попадут в  окрестность точки

43. Ясно, что чем меньше тем больше число но в любом случае внутри  окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае расходящейся. Пример. Доказать, что Решение.Воспользуемся определением (6.1):

44. Преобразуем последнее неравенство Таким образом, можно взять равным ближайшему по избытку к натуральному числу, т.е. где равным

45.  целая часть числа т.е. наибольшее целое число, не превосходящее Итак, для указано соответствующее значение Это и доказывает, что Например, для соответствующее значение т.е. все члены последовательности, попадут в интервал начиная с

46. §7Предел функции в точке. Бесконечно большая и бесконечно малая функция. Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргумента стремится к и предположим, что аргумент некоторому числу Может случиться, что при неограниченном приближении аргумента к числу соответствующие значения функции неограниченно приближаются к некоторому числу

48. Определение. Число называется пределом функции при если при всяком положительном числе можно указать другое положительное число зависящее от выбора такое, что абсолютная величина разности будет меньше когда абсолютная величина разности будет меньше т.е. если числовые значения функции будут заключены в произвольной -окрестности при условии, что числовые значения аргумента числа взяты в достаточно малой -окрестности числа (исключая само число ):

50. Бесконечно большая функция (б.б.ф). Определение. Функция называется б.б.ф. при если для любого числа найдется такое положительное число зависящее от выбора что для всех удовлетворяющих условию будет выполняться: