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Capítulo 2

Capítulo 2. Flambagem Primária. Flambagem Primária. Flambagem Secundária. Flambagem Secundária. Equações Básicas – Teoria da Elasticidade. O Método do Equilíbrio Neutro. A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses. x. P. w. P. P. M y. L. x. P. z, w. P. P.

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Presentation Transcript


  1. Capítulo 2

  2. Flambagem Primária

  3. Flambagem Primária

  4. Flambagem Secundária

  5. Flambagem Secundária

  6. Equações Básicas – Teoria da Elasticidade

  7. O Método do Equilíbrio Neutro

  8. A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

  9. x P w P P My L x P z, w P P A Coluna Simplesmente Apoiada

  10. w P My x P Coluna Simplesmente Apoiada - Solução

  11. P Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro Equilíbrio Estável dmax O Comportamento da Coluna de Euler

  12. x P M0 w P L -EIw” x z , w M0 M0 P P Coluna Bi-Engastada

  13. w P -EIw” x M0 P Coluna Bi-Engastada - Solução

  14. Coluna Equivalente de Euler

  15. d P P x Coluna Equivalente de Euler L L 2L z, w Pd P P Coluna em Balanço

  16. w P EIw” -EIw” x w Pd P Coluna em Balanço - Solução

  17. P P q kq q M / L M M = kqq L x z, w M / L P P Coluna com Restrições Elásticas

  18. w P M / L -EIw” x M / L P Coluna com Restrições Elásticas - Solução

  19. Restrição Elástica – Casos Particulares

  20. L P EI L EI x z, w P q M Coluna em Pórtico

  21. Comprimento Efetivo

  22. Comprimento Efetivo

  23. Coeficientes de Engastamento • Restrições de Rotação • nas Extremidades: • Numa Extremidade • Iguais, em Ambas as Extremidades

  24. Coeficientes de Engastamento Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades

  25. Métodos de Energia • O Método da Conservação da Energia • O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total • Cálculo de Variações • O método de Rayleigh-Ritz • O método de Galerkin

  26. Trabalho das Forças Externas z, w D ds dw s dx P P x, u L’ L O Método da Conservação da Energia

  27. Trabalho das Forças Externas

  28. Energia de Deformação

  29. Energia de Deformação

  30. Exemplo A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%. O Método da Conservação de Energia

  31. A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%. O Método da Conservação de Energia

  32. Erro de 0,13% Erro de 0,014% O Método de Conservação de Energia

  33. Trabalho das Forças Externas Se o corpo é elástico linear, o trabalho é dado pela expressão We = ½ P u. P We DWe u du O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total

  34. Energia de Deformação s F DF e de O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total

  35. Energia de Deformação O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total

  36. Unidimensional Energia de Deformação - Particularização

  37. Estado Plano de Tensões Energia de Deformação - Particularização

  38. O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma Forças conservativas Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total

  39. Resumo – Exemplo Seja, . A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por Pp k g Mínimo M v veq v O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total

  40. Deseja-se achar o extremo de Cálculo de Variações

  41. Cálculo de Variações

  42. Equação de Euler Possíveis condições de contorno Cálculo de Variações

  43. z, w kq kz(x) EI(x) P P k L x Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema Cálculo de Variações - Exemplo

  44. Coluna com Suportes Elásticos - Formulação

  45. Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução

  46. Coluna simplesmente apoiada w x P Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço Problema de Auto-Valor: Caso Especial

  47. Ponto de deslocamento horizontal nulo xk p x(x) Pk h dh x Potencial de Cargas Concentradas e Distribuídas

  48. wj(x) são funções assumidas que neces-sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema. O Método de Rayleigh-Ritz

  49. O Método de Rayleigh-Ritz

  50. Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos aij). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser expressos em termos de em vez de . O Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial

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