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4.1 — 4.3 习题的 作业布置

4.1 — 4.3 习题的 作业布置. 4.1 习题 #1 ; #2 . 4.2 习题 #1 (a),(b),(c); #5 ; #10 . 4.3 习题 #1 (i),(ii),(iii); #3 ; #10. 函数 的 概念. 从集合 X 到集合 Y 的函数 f:XY 是 X 到 Y 的满足下列条件的二元关系 f: x(xX!y(yY ∧ x,yf)

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4.1 — 4.3 习题的 作业布置

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  1. 4.1—4.3习题的作业布置 4.1 习题 #1 ; #2 . 4.2 习题 #1 (a),(b),(c); #5 ; #10 . 4.3 习题 #1 (i),(ii),(iii); #3 ; #10 .

  2. 函数的概念 • 从集合X到集合Y的函数f:XY是X到Y的满足下列条件的二元关系f: x(xX!y(yY∧x,yf) • x,y函数f时,记为f(x)=y,(x称为自变量,y称为函数值)函数f的定义域等于其前域:D(f)=X,其值域R(f)记为f(X). • 关系fXY是函数关系的充要条件是:f的定义域等于其前域和 xx’(x,y,x,y’fy=y’).

  3. 函数的合成 • 设f:XY和g:YZ是函数关系,则f与g的合成关系有意义,并且是从X到Z的函数关系,称为函数f与g的合成函数,记为g(f). 证:我们知道g(f)是从X到Z的合成关系.由f是函数得 x(xX!y(yY∧x,yf), 令此唯一的y为y’(Y),再由g是函数得 !z(zZ∧y’,zg).  x(xX!z(zZ∧x,zg(f)). • 因一般关系的合成运算是结合的,从而函数的合成运算也是结合的.

  4. 满射,单射,双射函数的定义 • 函数f:XY称为是满射函数,如果f(X)=Y; • 函数f:XY称为是单射函数,如果 xx’(x,x’X∧xyf(x)f(x’)); • 函数f称为是双射函数,如果f同时是满射的和单射的. • 满射函数的特性是其陪域与值域等同,即陪域中每个元素都在象中. • 刻画单射函数的条件按逆反律也可叙述为: xx’(x,x’X∧f(x)=f(x’)x=x’). • 函数f为双射当且仅当其陪域的每个元素是且仅是前域的一个元素的象(从而|X|=|Y|).

  5. 例: g:[0,1][a,b], 其中,b>a,g(x)=(b-a)x+a.因g(x)被x唯一确定,故g是函数.因对每个y[a,b],x=(y-a)/(b-a)[a,b]满足g(x)=y,故g是满射函数.因g(x)=(b-a)x+a= g(x’)=(b-a)x’+a  x=x’,故g是单射函数. 结论:g是双射函数. 同理可证:R上的任意线性函数:f(x)=ax+b(a0)都是R上的双射函数.

  6. 合成运算保持函数的满射,单射,双射性 • 对于函数f:XY与g:YZ的合成函数g(f)成立: ① f满射∧g满射g(f)满射; ②f单射∧g单射g(f)单射; ③ f双射∧g双射g(f)双射. • ②的证明:g(f(x))=g(f(x’))  f(x)=f(x’) (∵ g为单射)  x=x’ (∵ f为单射)  xx’(x,x’X∧g(f(x))=g(f(x’))x=x’). • ①的证明类似(见教本);③直接由①和②推出.

  7. 恒等函数与特征函数 • X上的相等关系也是X到自身的函数关系,称为X上的恒等函数,记为1X,即 x(xX1X(x)=x) • 1X是双射函数. • 令U为全集合,AU.集A的特征函数A:U{0,1}定义为:

  8. 特征函数的性质 • A= x(A(x)=0); • A=U  x(A(x)=1); • AB  x(A(x)B(x)); • A∩B(x)=A(x)B(x). 证:xA∩B  xA∧xB A(x)=1∧B(x)=1 A(x)B(x)=1.

  9. 集合X上函数f的幂 • 定义: f0 = 1X; f1 = f; f2 = f(f); … fk+1 = f(fk); … • 性质: ①f有任意次幂; ② 取论述域为X上所有函数的集合:XX,则 f(f为满(单,双)射k(kNfk为满(单,双)射)).

  10. 4.2#1 下列函数是否满,单,双射? (d) f:NNN,f(m,n)=mn 解: 0N,f(0,0)=00 没有意义,故f不是函数. (e) f:RR+=(0,+),f(x)=3x 解: 因3x是由x决定的唯一正数,故f是函数(指数函数).可证f是双射.它为单射的理由是: xx’(f(x)=f(x’)x=x’)(∵3x=3x’=y  x=x’=log3y); f是满射的理由是: y(yR+x(xR∧f(x)=y)) (∵x=log3y满足f(x)=y)

  11. n元集X上的双射函数P称为n次置换 • 常令X={1,…,n},X上的n次置换P可用矩阵表示如下: • X上两个n次置换P,P’的合成,常记为PP’.令 • 则hi可简便地计算如下:先在的矩阵表示的第i列找到P(i);再找到P’的矩阵表示的第P(i)列,其下面的元素就是hi. • 不同n次置换的个数是n!.

  12. 4.2#10 已知4次置换P求其各次幂 • 依次计算P的各次幂如下:

  13. 若f:XY是双射函数,则其逆关系f~也是双射函数f~:YX若f:XY是双射函数,则其逆关系f~也是双射函数f~:YX 证:由定义知: x,yf  y,xf~ 由f是满,单射也推出;y(yY!x(xX∧y,xf~) 换句话说,f~是函数.此外, D(f~)=f(X)=Y; f~(Y)=X=D(f),易见:f~也是满,单射,即双射. X Y f x y f~

  14. 双射函数f:XY的逆关系f~所唯一确定的双射函数称为f的逆函数,记为:f-1:YX.双射函数f:XY的逆关系f~所唯一确定的双射函数称为f的逆函数,记为:f-1:YX. • 由关系求逆的对合性推出函数求逆的对合性: (f-1)-1 =f. • f为可逆函数  f-1为可逆函数. • f-1(f)=1X; f(f-1)=1Y; 特别地,对X上任意可逆函数都有f-1(f)=f(f-1)=1X 证: xX,f(x)=yY, f-1(y)=x, f-1(f(x))= f-1(y)=x=1X(x)  f-1(f)=1X

  15. 逆象的概念 • 定义:函数f:XY陪域的子集Y’Y的逆象定义为 f-1(Y)={x|f(x)Y} • 注意:逆象记号中的f-1与逆函数记号中的f-1不是同一含义;并且Y(YYf-1(Y)X. • 例:X={a,b,c,d},Y={0,1,2,3,4},函数f:XY由下图定义. f-1({0})={b}; f-1({1})={a,c}; f-1({2,3})={d};f-1({2,4})=. f-1({f(a)})=f-1({1}) ={a,c}a=f-1(f(a)) 0 a 1 b 2 c 3 d 4

  16. 函数诱导的等价关系 • 如果函数f:XY的定义域(即前域)非空,则X的下列子集族: ={{f-1({y})|yY∧f-1({y})} 构成X的一个划分.(∵yy’f-1({y})∩f-1({y’}) =,否则x(xX∧f(x)=y∧f(x)=y’),便与函数定义矛盾) • 划分导出的X上等价关系R(xRx’f(x)=f(x’))是这个关系的刻画)称为函数f诱导的等价关系.

  17. 集合X上等价关系R商集上的规范映射 • 定义:对X上等价关系R,函数 g:XX/R,g(x)=[x]R (即x的象是它关于的R等价类)称X为到商集X/R的规范映射. • 性质:①规范映射g恒为满射; ②规范映射g为单射x(xX|[x]R|=1); ③规范映射g为双射g为单射.

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