第四章 基本的算法策略
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第四章 基本的算法策略. 4.1 迭代算法. 概念 用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法 适合的范围 数值计算 类型 ( 1 )递推法 s n =s n-1 +A n ( 2 )倒推法. 4 . 1 . 1 递推 法. 【 例 1】 兔子繁殖问题 问题描述: 一对兔子从出生后第三个月开始,每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死,一月份抱来一对刚出生的小兔子,问一年中每个月各有多少只兔子。 问题分析: 则繁殖过程如下: 一月 二月 三月 四月 五月 六月 ……

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第四章 基本的算法策略


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4.1 迭代算法

  • 概念

    用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法

  • 适合的范围

    数值计算

  • 类型

    (1)递推法

    sn=sn-1+An

    (2)倒推法


4 1 1

4.1.1 递推法

【例1】兔子繁殖问题

问题描述:一对兔子从出生后第三个月开始,每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死,一月份抱来一对刚出生的小兔子,问一年中每个月各有多少只兔子。

问题分析:则繁殖过程如下:

一月 二月 三月 四月 五月 六月 ……

1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……

数学建模:y1=y2=1,yn=yn-1+yn-2,n=3,4,5,……。


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算法1:

main( )

{ int i,a=1,b=1;

print(a,b);

for(i=1;i<=10;i++)

{ c=a+b;

print (c);

a=b;

b=c;

}

}


4 1 2

4.1.2 倒推法

所谓倒推法:是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的,从 后向前推解问题的方法。


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【例】猴子吃桃问题

一只小猴子摘了若干桃子,每天吃现有桃的一半多一个,

到第10天时就只有一个桃子了,求原有多少个桃?

数学模型:每天的桃子数为:a10=1, a9=(1+a10)*2, a8=(1+a9)*2,……a10=1,

递推公式为:ai=(1+ai+1)*2 I = 9,8,7,6……1

算法如下 :

main( )

{ int i,s;

s=1;

for (i=9 ;i>=1;i=i-1)

s=(s+1)*2

print (s);

}


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4.2 蛮力法

  • 蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性,在解决问题时采取的一种“懒惰”的策略。这种策略不经过(或者说是经过很少的)思考,把问题的所有情况或所有过程交给计算机去一一尝试,从中找出问题的解。

  • 应用

  • 蛮力策略的应用很广,具体表现形式各异,数据结构课程中学习的:选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等,都是蛮力策略具体应用。


4 2 1

4.2.1 枚举法

枚举(enumerate)法(穷举法)是蛮力策略的一种表现形式,也是一种使用非常普遍的思维方法。它是根据问题中的条件将可能的情况一一列举出来,逐一尝试从中找出满足问题条件的解。但有时一一列举出的情况数目很大,如果超过了我们所能忍受的范围,则需要进一步考虑,排除一些明显不合理的情况,尽可能减少问题可能解的列举数目。

用枚举法解决问题,通常可以从两个方面进行算法设计:

1)找出枚举范围:分析问题所涉及的各种情况。

2)找出约束条件:分析问题的解需要满足的条件,并用逻辑表达式表示。


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【例】解数字迷: A B C A B

× A

D D D D D D

算法设计1:按乘法枚举

1)枚举范围为:

A:3——9(A=1,2时积不会得到六位数),B:0——9,

C:0——9 六位数表示为A*10000+B*1000+C*100+A*10+B,

共尝试800次。

2)约束条件为:

每次尝试,先求5位数与A的积,再测试积的各位是否相

同,若相同则找到了问题的解。

测试积的各位是否相同比较简单的方法是,从低位开始,

每次都取数据的个位,然后整除10,使高位的数字不断变

成个位,并逐一比较。


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算法1如下:

main( )

{ int A,B,C,D,E,E1,F,G1,G2,i;

for(A=3; A<=9; A++)

for(B=0; B<=9; B++)

for(C=0; C<=9; C++)

{ F=A*10000+B*1000+C*100+A*10+B;

E=F*A; E1=E; G1=E1 mod 10;

for(i=1; i<=5; i++)

{ G2=G1; E1=E1/10; G1= E1 mod 10;

if(G1<>G2 ) break; }

if(i=6) print( F,”*”,A,”=”,E);

}

}


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4.3 分而治之算法


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4.3.1 分治算法框架

1.算法设计思想

分治法求解问题的过程是,将整个问题分解成若干个小问题后分而治之。如果分解得到的子问题相对来说还太大,则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题,直至产生出方便求解的子问题,必要时逐步合并这些子问题的解,从而得到问题的解。

分治法的基本步骤在每一层递归上都有三个步骤:

1)分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;2)解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则再继续分解为更小的子问题,直到容易解决;3)合并:将已求解的各个子问题的解,逐步合并为原问题的解。


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说明:

有时问题分解后,不必求解所有的子问题,也就不必作第三步的操作。比如折半查找,在判别出问题的解在某一个子问题中后,其它的子问题就不必求解了,问题的解就是最后(最小)的子问题的解。分治法的这类应用,又称为“减治法”。

多数问题需要所有子问题的解,并由子问题的解,使用恰当的方法合并成为整个问题的解,比如合并排序,就是不断将子问题中已排好序的解合并成较大规模的有序子集。


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2.适合用分治法策略的问题

当求解一个输入规模为n且取值又相当大的问题时,用蛮力策略效率一般得不到保证。若问题能满足以下几个条件,就能用分治法来提高解决问题的效率。

1)能将这n个数据分解成k个不同子集合,且得到k个子集合是可以独立求解的子问题,其中1<k≤n;

2)分解所得到的子问题与原问题具有相似的结构,便于利用递归或循环机制;

在求出这些子问题的解之后,就可以推解出原问题的解;


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4.3.2 二分法

不同于现实中对问题(或工作)的分解,可能会考虑问题(或工作)的重点、难点、承担人员的能力等来进行问题的分解和分配。在算法设计中每次一个问题分解成的子问题个数一般是固定的,每个子问题的规模也是平均分配的。当每次都将问题分解为原问题规模的一半时,称为二分法。二分法是分治法较常用的分解策略,数据结构课程中的折半查找、归并排序等算法都是采用此策略实现的。


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分治法的一般的算法设计模式如下:

Divide-and-Conquer(int n) /n为问题规模/

{ if (n≤n0) /n0 为可解子问题的规模/ { 解子问题;

return(子问题的解);}

for (i=1 ;i<=k;i++) /分解为较小子问题p1,p2,……pk/ yi=Divide-and-Conquer(|Pi|); /递归解决Pi/ T =MERGE(y1,y2,...,yk); /合并子问题/

return(T); }


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【例1】金块问题: 老板有一袋金块(共n块),最优秀的雇员得到其中最重的一块,最差的雇员得到其中最轻的一块。假设有一台比较重量的仪器,我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。


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  • 算法设计1:

     比较简单的方法是逐个的进行比较查找。先拿两块比较重量,留下重的一个与下一块比较,直到全部比较完毕,就找到了最重的金子。算法类似于一趟选择排序,

    算法如下:

    maxmin( float a[],int n)

    { max==min=a[1]; for(i=2; i<=n ;i++ ) if(max < a[i]) max=a[i];

    else if(min > a[i]) min=a[i]; }


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算法分析1:

算法中需要n-1次比较得到max。最好的情况是金块是由小到大取出的,不需要进行与min的比较,共进行n-1次比较。最坏的情况是金块是由大到小取出的,需要再经过n-1次比较得到min


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算法设计2:

  在含n(n是2的幂(n>=2))个元素的集合中寻找极大元和极小元。用分治法(二分法):

1)  将数据等分为两组(两组数据可能差1),  

2)  递归分解直到每组元素的个数≤2,可简单地找

  到最大(小)值。

3)  回溯时将分解的两组解大者取大,小者取小,

  合并为当前问题的解。


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算法2递归求取最大和最小元素

float a[n];

maxmin(int i, int j ,float &fmax, float &fmin){int mid; float lmax, lmin, rmax, rmin;

if (i=j) {fmax= a[i]; fmin=a[i];}

else if (i=j-1)

if(a[i]<a[j]) { fmax=a[j];fmin=a[i];}

else {fmax=a[i]; fmin=a[j];}

else {mid=(i+j)/2;maxmin(i,mid,lmax,lmin);maxmin(mid+1,j,rmax,rmin);if(lmax>rmax) fmax=lmax;

else fmax=rmax;if(lmin>rmin) fmin=rmin;

else fmin=lmin;}


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【例】大整数乘法

在某些情况下,我们需要处理很大的整数,它无法在计算机硬件能直接允许的范围内进行表示和处理。若用浮点数来存储它,只能近似地参与计算,计算结果的有效数字会受到限制。若要精确地表示大整数,并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字,就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。请设计一个有效的算法,可以进行两个n位大整数的乘法运算。


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图4-10 大整数X和Y的分段

算法设计:设X和Y都是n位的二进制整数,现在要计算它们的乘积X*Y。


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按照乘法分配律,分解后的计算过程如下:

记:X=A*2n/2+B ,Y=C*2n/2+D。这样,X和Y的乘积为:

X*Y=(A*2n/2+B)(C*2n/2+D)=A*C*2n+(AD+CB)*2n/2+B*D    (1)


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T(1)=1

T(n)=4T(n/2) (2)

由此递归式迭代过程如下:

T(n)=4T(n/2)

=4(4T(n/4))=4*4T(n/4)

=16*4T(n/8)

=……

=O(4k)= O(nlog4)

=O(n2)

所以可得算法的时间复杂度为T(n)=O(n2)。


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模型改进:

可以把X*Y写成另一种形式:

X*Y=A*C*2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]*2n/2+B*D (3)


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式(3)看起来比式(1)复杂,但它仅需做3次n/2位整数的乘法:AC,BD和(A-B)(D-C),6次加、减法和2次移位。由此可得:

(4)

用解递归方程的迭代公式法,不妨设n=2k:

T(n)=3T(n/2)

=3(3T(n/4))

=9(T(n/8)

=……

=3k +3k-1 *2c+3k-2 *4c+……+3c2k-1+c2k

= O(nlog3)

则得到T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)。


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4.3.4 其它分治方法


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【例】选择问题: 对于给定的n 个元素的数组a[0:n-1],要求从中找出第k小的元素。

问题分析:选择问题的一个应用就是寻找中值元素,此时k=[n/2]。

快速排序算法来解决选择问题,一趟排序分解出的左子集中元素个数nleft,可能是以下几种情况:

1)nleft=k-1,则分界数据就是选择问题的答案。

2)nleft>k-1,则选择问题的答案继续在左子集中找,问

题规模变小了。

3)nleft<k-1,则选择问题的答案继续在右子集中找,问

题变为选择第k-nleft-1小的数,问题的规模也变小了。


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