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È possibile misurare la fortuna?

LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III. È possibile misurare la fortuna?. Scuola edia Rainerum. Un po’ di storia …. . Il gioco dei dadi ha sempre affascinato l’umanità: era una sfida alla fortuna. Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C., i Greci, gli Etruschi, i Romani …

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È possibile misurare la fortuna?

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Presentation Transcript

  1. LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III È possibile misurare la fortuna? Scuola edia Rainerum

  2. Un po’ di storia … 

  3. Il gioco dei dadi ha sempre affascinato l’umanità: era una sfida alla fortuna. Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C., i Greci, gli Etruschi, i Romani … Si giocava a dadi nelle più diverse parti del mondo e in tutte le epoche: nel Medioevo, nel Rinascimento … sempre. 

  4. I V X secolo Il matematico G. Cardano (1501-1576) scrive il “Liber de ludo aleae”(Libro sul gioco dei dadi), che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte. 

  5. II V X secolo il cavaliere De Méré si pose questo quesito: ”È preferibile, scommettere sull’uscita di ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado oppure ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?” 

  6. II V X secolo De Meré chiese a Blaise Pascal e Pierre De Fermat di studiare il problema Dagli studi dei due matematici scaturì la moderna Teoria delle Probabilità(1650 circa) 

  7. II V X secolo 1656 L’olandese C. Huygens, prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat, pubblica “De ratiociniis in ludo aleae”(Ragionamenti nel gioco dei dadi) 

  8. III V X secolo Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume ”Ars conjectandi”(L’arte di congetturare) dello svizzero J. Bernoulli. Nel volume si propone l’uso della probabilità nel campo della medicina e della meteorologia. 

  9. X I X secolo Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilità nello studio della geodesia e topografia. L’abate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici. 

  10. X secolo X L’inglese K. Pearson introduce l’indagine statistica nella medicina e nella biologia. Nel 1944 l’americano di origine ungherese J.Von Neumann pubblica “Theory of Games end Economic Behavior” (Teoria dei giochi e comportamento economico), dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochi nelle scienze sociali, nelle strategie elettorali, nell’economia. 

  11. Un po’ di terminologia … 

  12. T E R M I N O L O G I A EVENTO (E) Ogni possibile risultato dell’esperimento Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado Evento(Risultati possibili): Testa,Croce Evento(Risultati possibili): 1,2,3,4,5,6, # pari,#dispari, 3 o 5,1 o 2 o 6,…, # < 2,# <4,…, # > 1,# >3,…, 

  13. T E R M I N O L O G I A S S < 2 < 3 T 2 < 5 1 C 3 > 6 4 pari < 6 5 6 > 3 … dispari SPAZIO DEGLI EVENTI (S) l’INSIEME di tutti i risultati dell’esperimento Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado Spazio degli Eventi: Spazio degli Eventi: {Testa, Croce} {1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5,1o2o6,#<2,#<4,#>1,#>3,…} 

  14. T E R M I N O L O G I A EVENTO CERTO Evento che SICURAMENTE si verificherà Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado EVENTO CERTO: Esce TESTA o CROCE EVENTO CERTO: Esce un numero compreso tra 1 e 6 

  15. T E R M I N O L O G I A EVENTO POSSIBILE Evento che PUÒ verificarsi Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado EVENTI POSSIBILI: Esce TESTA Esce CROCE EVENTI POSSIBILI: Esce 1 Esce 2 Esce un #  3 Esce numero pari … 

  16. T E R M I N O L O G I A EVENTO IMPOSSIBILE Evento che NON PUÒ verificarsi Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado EVENTI IMPOSSIBILI: Esce 1 Esce Giallo … EVENTI IMPOSSIBILI: Esce 0 Esce un #  7 Esce Testa … 

  17. Iniziamo (iniziate) a lavorare … 

  18. 1^ Prova Lavoro a coppie ogni coppia lancia un dado esaedrico regolare NON truccato e compila la scheda n°1, n°2, n°4, n°5 consegnatale 

  19. ISTOGRAMMA Esegui i 10 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU) nell’ISTOGRAMMA. Numero Uscite Evento: Numero sul dado Scheda 1 10 lanci di un dado Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione 

  20. ISTOGRAMMA Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i risultati di ulteriori 115 lanci. Numero Uscite Evento: Numero sul dado Scheda 2 125 lanci di un dado Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione 

  21. T E R M I N O L O G I A Rappresenta l’ALTEZZA della colonna dell’istogramma ISTOGRAMMA X Numero Uscite fA(E) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 1 2 3 4 5 6 Evento: Numero sul dado FREQUENZA ASSOLUTA fA(E) Numero di volte che si è verificato l’evento E fA(1) = 5 fA(2) = 4 fA(3) = 6 fA(4) = 1 fA(5) = 2 fA(6) = 7 

  22. T E R M I N O L O G I A ISTOGRAMMA X Numero Uscite fA(E) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 1 2 3 4 5 6 Evento: Numero sul dado FREQUENZA RELATIVA fr(E) È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numero totale di lanci effettuati 

  23. T E R M I N O L O G I A FREQUENZA RELATIVA fr(E) Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra 0 e 1, a volte si preferisce esprimerla in percentuale: ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e si scrive il simbolo % 

  24. Scheda 3 calcolo frequenze Relativamente all’ultimo istogramma (quello con i 125 lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento, Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Relativa in percentuale Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia alla propria destra per la correzione 

  25. Scheda 4 250 lanci di un dado Due gruppi si uniscono e creano un unico istogramma di 250 dati. Confrontano i tre istogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendo attenzione su: Frequenze Assolute e Relative 500 lanci di un dado Due gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se le osservazioni precedenti sono ancora valide. Porre l’attenzione su: Frequenze Assolute (si osservino le differenze) Frequenze Relative (si osservino i valori) 

  26. Scheda 5 1000 lanci di un dado Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato. Simuliamo con un foglio di calcolo (‘Calc’ o ‘Excel’) 1000000 lanci di un dado. Tiriamo le conclusioni : 

  27. 100 Lanci 1000000 Lanci O S S E R V A Z I N I O Osservazione Qualitativa Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo(distribuzione rettangolare) 

  28. O S S E R V A Z I N I O Osservazione Qualitativa Frequenza ASSOLUTA: Aumentando il numero dei lanci le differenze tra i valori delle fA di ogni evento si riducono avvicinandosi a zero, ossia Frequenza RELATIVA: Aumentando il numero dei lanci 

  29. O S S E R V A Z I N I O Osservazione Qualitativa Abbiamo un dado NON truccato con 6 facce uguali tra di loro, allora non vi è alcun motivo di pensare che una faccia debba mostrarsi più volte di un’altra. Si può quindi ipotizzare che ogni faccia debba comparire un numero di volte pari a 1/6 del numero dei lanci totale 1/6 perché: “1” è il numero dei casi favorevoli “6” è il numero dei casi possibili Definiamo PROBABILITÀ Matematica dell’evento E il numero 

  30. C O N C L U S I O N I Abbiamo fatto vedere che l’espressione Matematica indicante la PROBABILITÀ che esca un valore sul dado è nota prima del lancio PROBABILITÀ Matematica dell’evento E ed è confermata dall’esperienza se vengono effettuate un numero estremamente elevato di prove 

  31. La PROBABILITÀ P(E) è una stima numerica del verificarsi di un determinato evento 

  32. 2^ Prova Si vuole studiare cosa avviene se anziché lanciare 1 dado se ne lancino 2. Questo studio avverrà confrontando i risultati del lancio di 2 dadi esaedrici con il lancio di 1 dado dodecadrico Confronteremo poi il risultato anche con un secondo esperimento che preveda la somma di 2 numeri ‘casuali’: il gioco del ‘pari o dispari’ 

  33. 2^ Prova Lavoro: 5 coppie e 2 terne 4 coppie: lancio di due dadi esaedrici regolari NON truccati e compilazione della scheda n°6, n°7 e n°8 1 coppia: lancio di 1 dado dodecaedrico regolare NON truccato e compilazione della scheda n°8a terna: due elementi giocano a ‘pari e dispari’ , il terzo segna i risultati; viene compilata la scheda n°6b e n°8b 

  34. Scheda 6 50 lanci di due dadi Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Esegui i 50 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA. Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione 

  35. Scheda 7 200 lanci di due dadi Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i risultati di ulteriori 150 lanci. Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione 

  36. Scheda 8 1000 lanci di due dadi Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato. E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci 

  37. Scheda 8a 1000 lanci di un dado dodecaedrico Creiamo un istogramma di 1000 lanci. E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci 

  38. Scheda 6b 500 scambi a ‘pari/dispari’ Prima di iniziare a giocare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Esegui i 500 scambi riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA. IMPORTANTE: “ NON giocare per vincere “ Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione 

  39. Scheda 8B 1000 scambi a ‘pari/dispari’ Creiamo un istogramma di 1000 scambi utilizzando tutti i dati che avete rilevato. 

  40. O S S E R V A Z I N I O Lancio di 1 dado dodecaedrico Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di un dado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numero compreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri. Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare) 

  41. O S S E R V A Z I N I O Lancio di 2 dadi esaedrici Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un triangolo (distribuzione triangolare) 

  42. 1 dado 2 dadi O S S E R V A Z I N I O Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici Confrontiamo come si ‘formano’ gli eventi che analizziamo 

  43. 1 dado 2 dadi O S S E R V A Z I N I O Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici 

  44. O S S E R V A Z I N I O Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici Le determinazioni hanno un numero di ‘modi’ diversi per potersi verificare: (Evento COMPOSTO) Ogni determinazione ha un UNICO ‘modo’ per potersi verificare: (Evento ELEMENTARE) 

  45. T E R M I N O L O G I A TABELLA A DOPPIA ENTRATA Per mostrare l’esito del lancio di 2 dati è anche possibile utilizzare una TABELLA A DOPPIA ENTRATA 

  46. T E R M I N O L O G I A Determinazioni 1°+ 2° dado: 36 casi possibili Ci sono 2 casi favorevoli all’ 11 Ci sono 4 casi favorevoli al 9 Ci sono 6 casi favorevoli al 7 Come si legge la Tabella a doppia entrata determinazioni 1° dado determinazioni 2° dado 

  47. E S E R C I Z I O A questo punto, utilizzando la tabella a doppia entrata, calcola la probabilità di uscita di ogni determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi 

  48. E S E R C I Z I O C T T TT TC C CT CC Consideriamo il lancio di 2 monete: - individua le possibili determinazioni - compila la relativa tabella a doppia entrata - calcola la probabilità di ogni determinazione 1ª moneta Determinazioni 2 monete: TT, TC, CC 2ª moneta 

  49. 2 dadi O S S E R V A Z I N I O Confronto: 2 dadi esaedrici e “pari dispari” Per il gioco del “pari dispari" mi aspetto qualcosa di analogo al lancio di 2 dadi. Prima confrontiamo le due tabelle a doppia entrata Poi verifichiamo l’ipotesi osservando l’istogramma ottenuto dai due gruppi 

  50. O S S E R V A Z I N I O Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici RISULTATI STUDENTI …. 

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