第九章 多变量系统的多项式矩阵描述及结构特性分析

1. 第九章 多变量系统的多项式矩阵描述及结构特性分析 • 状态空间描述便于时域分析及计算机实现与仿真，能揭示内部状态对系统的影响，但不 能直接用于频域分析，输入-输出关系不明显。传递函数矩阵描述则不含内部状态信息，但其输入-输出的系统外部描述可能把单变量系统频域法推广应用到多变量系统。为将状态空间与传递函数矩阵描述的优点相结合，罗森布洛克提出了多项式

2. 矩阵描述(PMD)。PMD同样是根据系统原始微分方程组导 矩阵描述(PMD)。PMD同样是根据系统原始微分方程组导 • 出，但只选择容易测量的变量或和其线性组合作为状态变 • 量，记为 ，它是状态空间法中所选状态变量的一部分， • 故有‘分状态’之称。PMD中微分方程的阶次通常包含高于一 • 阶的微分方程。将PMD中诸矩阵写出紧凑格式便得到系统 • 矩阵，用系统矩阵对多变量系统结构特性所作的大量研究，导出了解耦零点、多项式矩阵互质性等重要概念，揭示了与

3. 多变量系统能控能观测性、最小实现、稳定性之间的重要关 系，这种基于多项式矩阵的系统分析综合方法是一种多变量 • 频域设计法。

4. §9.1 多项式矩阵描述 §9.2 系统矩阵及其等价变换 §9.3解耦零点与能控性、能观测性 §9.4闭环系统的系统矩阵及其稳定性 §9.5 多变量系统的整体性的概念多

5. 9.1 多项式矩阵描述 • PMD的动态方程与传递函数矩阵 系统的PMD的一般动态 • 方程为 • (9.1) • 式中 ； 为 维分状态向量，对于 阶系统，通常 • 为 维输入向量， 为 维输出向量。PMD的唯一约束 • 便是 ，以便保证式(9.1)有唯一解。对式(9.1)进行

6. 拉氏变换，且令初始条件为零，有 • (9.2) • 并简称系统为 。由于 非奇异， • 可导出传递函数矩阵 的又一表达式。由 • (9.3) • 故 (9.4)

7. PMD与其他描述的关系 当PMD取下列动态方程 • (9.5) • 则 (9.6) • 故 (9.7) • 式（9.7）为 的右矩阵分式描述。

8. 当PMD取下列动态方程 • (9.8) • 则 • (9.9) • 故 • (9.10)

9. 式（9.10）为 的左矩阵分式描述。 • 对于状态空间表达式 ， ，当用 • PMD时有 • (9.11) • 故 与 描 • 述了同一系统，这时有 , 代换为

10. 即可。 • 对于同一系统的各种描述，其传递函数矩阵显然不变， • 故有

11. 图9.1 机械系统

12. 例9.1 列写图9.1所示机械系统的状态空间表达式及多项 • 式矩阵表达式。 • 解 由牛顿定理列出动态平衡方程 • 考虑 ，取输出 ，故状态方程为

13. 输出方程为

14. 对动态方程作拉式变换可得PMD：

15. 显见 是 的一部分， 称分状态向量。

16. 9.2 系统矩阵及其等价变换 • 式（9.2）所示动态方程可改写为 • （9.13） • 罗森布洛克（Rosenbrock）定义 • 下列多项式矩阵 • (9.14)

17. 为式（9.2）所示系统的系统矩阵，它包含了系统动力学行为的全部信息。 是多项式矩阵，其中 的行列式的次数为 。记为 即系统阶次。左、右矩阵分式描述、状态空间描述所对应的系统矩阵分别为

18. 系统矩阵在多变量系统分析综合中占有重要地位。为研究系系统矩阵在多变量系统分析综合中占有重要地位。为研究系 • 统动态特性，需对系统矩阵进行各种变换，以便简化计算或 • 给出规范形式，但希望保持系统固有信息，如系统的阶次、 • 传递函数矩阵具有不变性，即变换前后系统应是严格等价的。 • 下面介绍两种严格等价变换及其特性。 • 一、罗森布洛克意义下的严格系统等价

19. 定义 9.1 若存在单模矩阵 、 以及多项式矩阵 • 、 使 • (9.15) • 则称下列两个系统矩阵

20. 是罗森布洛克意义下严格系统等价 的，记为 。 • 定理9.1 若两个系统 ，则具有相同的系统阶次和 • 传递函数矩阵。 • 证明 将式（9.15）展开有（略去S ） • (9.16）

21. 式中 ，由于 、 均为单模矩阵，故 • 得证。其中 = 常数，故 。 • 系统 生成的传递函数矩阵 为

22. 得证,当 时，由于 • , , ,

23. 都是单模矩阵，故 与 有相同的Smith型， 与 • 有相同的Smith型。由于式（9.15）可分解为 • 故 与 、 与 具有相同的Smith型。

24. 定理9.2 任一系统矩阵 • 可用 变换成状态空间型系统矩阵，即存在 、 、 • 使 • （9.17）

25. 式中 为 矩阵， ， 为多项式矩阵。 • 证明 任一多项式矩阵 ，总存在单模矩阵 、 • 使 化为Smith型 • （9.18） • 对于 ，矩阵 也可化为Smith型。一个系统的 • Smith型是唯一的，于是下列等价关系成立

26. （9.19） • 即 ，因而存在单模矩阵 、 使 • （9.20） • 引入单模矩阵

27. 则 • （9.21） • 有 。再引入单模矩阵

28. 则 • （9.22）

29. 令 • （9.23） • 则 • （9.24） • 式中 • （9.25） • 故

30. （9.26） • 得证。值得注意的是，当 的维数 满足 时，直接对 进行行、列初等变换，便可获得状态空间型的多项式系统矩阵。但当 时，需用如 • 下增广系统矩阵

31. 来进行行、列初等变换，以便导出 是 维的。增 • 广系统矩阵与系统矩阵具有等同的描述特性。 • 例9.2 将下列系统矩阵 变换成状态空间型的系统矩阵 • 。 • 解 第二行乘 加至第一行：

32. 第一行乘 加至第三列：

33. 式中 ，表示输出方程中含有输入导数。 • Rosenbrock意义下的等价变换关系式（9.15）要求 • 为单模矩阵，但是，有些显然式严格等价的两个系 • 统，却找不到单模矩阵 、 ，（即不能用初等行、列 • 变换导出等价的系统矩阵），见例9.4，因此有必要寻找一 • 种比式（9.15）更为一般的等价变换关系，放宽 、 • 为单模矩阵的要求。

34. 二、富尔曼意义下的严格系统等价 • 定义9.2 若存在多项式矩阵 、 、 、 ，使 • （9.27） • 且 左互质 • 右互质 • （9.28）

35. 是富尔曼（Fuhrmann）意义下严格系统等价的，记为 。 • 式（9.27）中的 、 不一定是单模矩阵，甚至不 • 一定是方阵。 • 式（9.27）所示等价变换关系仍可保持传递函数矩阵不 • 变，这是由于

36. （9.29）

37. 故 • 但对于 ，由式（9.27）导出的

38. 欲证明 以及有关矩阵对具有相同 • 的Smith标准型却相当困难，这是由于 、 为非单模 • 态阵以及 、 的维数可能不等造成的。为此提出了改 • 进的富尔曼意义下严格系统等价定义。 • 定义9.3 若存在多项式矩阵 、 、 、 • 、使

39. （9.30） • 且{ 、 }左互质，{ 、 }右互质 • （9.31） • 则称改进的富尔曼意义下严格系统等价的，记为

40. 为证明式（9.30）的成立，要用到关于互质性的广义贝 • 佐特恒等式。 • 广义贝佐特横等式 设 是右互质的， • 非奇异，由简单贝佐特恒等式已知存在多项式矩阵 • 使下式成立 • \*MERGEFORMAT(9.26) 设 是左互质的，

41. 非奇异，同理存在多项式矩阵 使下式成立 • （9.33） • 考虑传递函数矩阵的左、右矩阵分式描述关系 • （9.34） • 将式至式写成分块矩阵形式，得

42. （9.35） • 式中 。式两端右乘 ,而 • （9.36）

43. 故 • 令 （9.37） • 则 （9.38）

44. 例3.3 已知系统矩阵 和 如例所示，试求 • Rosenbrock严格系统等价的变换矩阵。 • 解 按Rosenbrock严格系统等价定义有 • 式中 、 为待求的单模矩阵， 、 为待求的多项

45. 式矩阵。重写式： • 有 ，令 ，故本例有 • 由于本例 ，故本例有

46. ，即 ，解得 。 • 由 可解得 • 为任意，设 ，故 • 。 • 结果为

47. ， • 式称为广义贝佐特恒等式。式表明：多项式矩阵的逆阵仍 • 是多项式矩阵，故式中两个分块矩阵均为单模矩阵。 • 在此，由于 、 左互质， 、 右互质， • 故广义贝佐特恒等式可改写为

48. （9.39） • 式中 、 、 、 均为特征多项式，且式（9.39）中的分块矩阵都是单模矩阵，故富尔曼提出在互质条件下将 做扩展便可构成单模矩阵，记为 • （9.40）

49. 并对系统矩阵中 、 进行扩展，即 • （9.41） • 式中 、 具有相同的维数，并记 • （9.42） • 由式（9.30）有

50. 由于 、 均为非奇异矩阵，故 、 均非奇异，有 • 对 左乘一单模矩阵，且考虑简单贝佐特恒等式，有