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# 剩余类及完全剩余类 - PowerPoint PPT Presentation

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## PowerPoint Slideshow about ' 剩余类及完全剩余类' - aldan

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Presentation Transcript

### 剩余类及完全剩余类

(1): a b mod m , cd mod m 则

a+b c+d mod m

a-b c-d mod m

ab cd mod m

(2): ab ac mod m ,(a, m)=1 则

bc mod m

(3): a b mod m1a b mod m2.

(m1, m2)=1 则

a b mod m1m2.

(4): a b mod m 则

f(a)  f(b) mod m

ac mod m

a mod m=b mod m 除以m后余数相等。

[0]:表示除以m余0的数 C0={c| c mod m=0 mod m}或

[1]:表示除以m余1的数 C1={c| c mod m=1 mod m}

[2]:表示除以m余2的数 C2={c| c mod m=2 mod m}

[a]:表示除以m余a的数 Ca={c| c mod m=a mod m}

[0]即 C0={c| c mod m=0 mod m}

={c| c mod 10=0 mod 10}

={c| c mod 10=0}={c|c=t10}

={0,10,20,30,40,50,60,…,-10,-20,…}

[1]即 C1={c| c mod m=1 mod m}

={c| c mod m=1}={c| c=s10+1}

={1,11,21,31,41,51,…,-11,-21,-31,…}

[a]即Ca={c| c mod m=a mod m} (a<10)

={c| c mod 10=a }

={c| c=k10+a}

Ca={c| ca mod m}={c| c mod m=a mod m}

(1) aZ+, Cr(0r m-1) aCr,都属于一类

(2)Ca=Cb ab mod m 同类即同余 不同类不同余

(3)CaCb={} a mod m b mod m 反证法

(1)带余除法,任意整数a除以m,可惟一写成：

a=tm+r t,r是唯一的，先复习同余4类.

a mod m=(tm+r) mod m=r mod m=r

(2) 即若 ab mod m则Ca=Cb 两集合相等

Ca={c| ca mod m} Cb={c| cb mod m}

若两集合相等，则a mod m=b mod m

{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小

{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

{1,2,3,4,5}

{-2,-1,0,1,2}

m为奇数-[m/2]…,0,…[m/2] 绝对值最小

m为偶数-m/2,…,0,….(m/2)-1 右端少1个

-m/2+1,…0,…m/2 左端少1个

从m个等价类各取一个代表元

每个元素各属一个类

根据引理1(3)的“不同类不同余”可知

除以m的余数不相等

当ij时 ai mod maj mod m,又(k,m)=1

kai mod m  kaj mod m (反证)

X依次取a1,a2,…,am时,kx+b依次取… 遍历！

M=10 k=3, b=2则0,1,2,3,4,5,6,7,8,9为完全剩余系，则3*0+2，3*1+2，3*2+2，3*3+2，3*4+2, 3*5+2, 3*6+2, 3*7+2, 3*8+2, 3*9+2即

2,5,8,11,14,17,20,23,26,29也是剩余系,模10:

2,5,8, 1, 4, 7,0, 3, 6, 9 各不个相同，所以处在不同的类中，不同类各取一个，构成完全剩余系。

a mod n=b mod n (m,n)=1

mn完全剩余系中有0,1,2,…, mn-1个元素。

nai0+mb0, nai0+mb1, … , nai0+mbn-1,共有n个

n(aI1-aI2 )+m(bJ1-bJ2)=tmn 两边同时对n取模

x依次取(遍历)剩余系a0,a1,…,am-1,y依次取(遍历)剩余系b0,b1,…,bn-1时，nx+my依次取mn的某个剩余系c0,c1,c2,…,cmn-1.

qx+pyc mod n即

qx+pyc mod (qp) 反证

a0,a1,…,aq-1, b0,b1,…,bp-1, 假设(x1x2)或(y1y2 )

qx1+py1c mod (qp) qx2+py2c mod (qp)

qx1+py1 qx2+py2 mod (qp) 不可能的！

{1,3,7,9}是简化剩余系 (?,10)=1

{1,2,3,4}除去余0(正好是倍数)外，其它都互素。

(m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}|

=简化剩余系的元素个数

x遍历模m的简化系时,kx遍历m的简化系。

ka1+0,ka2+0,…,kat+0也为完全剩余系的一部分.

(m,ai)=1,(m,k)=1则(m,kai)=1

x,y遍历m,n的简化系nx+my遍历mn简化剩余系.

(n,m)=1 则(nai,m)=1 s(nai)+tm=1

(m,n)=1 则 (mbj,n)=1

(nai,m)=1 s(nai)+tm=1 

s(nai)+smbj+tm-smbj=1s(nai+mbj)+(t-sbj)m=1

(nai+mbj,m)=1

1,7,11,13,17,19,23,29 共8个

(30)= (3*10)

= (3)* (10)

= (3)* (2)* (5)

=(3-1)*(2-1)*(5-1)=10

30=2*3*5

(30)=30*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)

=30*1/2*2/3*4/5=1*2*4=8

(k,m)=1时 x遍历简化剩余系时 kx也遍历简化系

(7,30)=1 则

X= 1,7,11,13,17,19,23,29

kx=7*1,7*7,7*11,7*13,7*17,7*19,7*23,7*29 也是

7 19 17 1 29 13 11 23

(m)=欧拉函数=|{k|0<k<m, (k, m)=1}|

=m简化剩余系的元素个数=t

(n)=欧拉函数=|{L|0<L<n, (L, n)=1}|

=n简化剩余系的元素个数=s

(mn)=mn简化剩余系的元素个数=st

= (m)(n)

(mn)= (m)(n) (where (m,n)=1) 多举例

(m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}|

=简化剩余系的元素个数

(mn)= (m) (n) 当(m,n)=1

(p)= p-1 当p是prime时

(p2)=(pp) = (p) (p) =(p-1)(p-1) 当p是素数

(p2)=|{t|0<t< p2, (t, p2)=1}|

=|{1,2,3,…,p-1,p

p+1,p+2,p+3,….p+p(2p),

2p+1,2p+2,2p+3,….2p+p(3p),

(p-1)p+1,(p-1)p+2, (p-1)p+3,…. (p-1)p+p(pp)}|

=p2-p=p2 (1-1/p)

(pt)=pt-pt-1. (pt-1-1)p+pt-1 (ppt-1) 详细展开！

(pt qs)=(pt) (qs) p,q是素数(p,q)=1 (p2,q)=1 ?

(m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}|

=简化剩余系的元素个数

(mn)= (m) (n) 当(m,n)=1

(p)= p-1 当p是prime时

(p2)=(pp) = (p) (p) =(p-1)(p-1) 当p是素数

(p2)=|{t|0<t< p2, (t, p2)=1}|=p2-p=p2 (1-1/p)

(pt)=pt-pt-1. (pt-1-1)p+pt-1 (ppt-1) 详细展开！

(pt qs)=(pt) (qs) p,q是素数(p,q)=1 (p2,q)=1

n=p1L1p2L2…ptLt 则

(n)= (p1L1p2L2…ptLt)

=p1L1 (1-1/p1)*p2L2 (1-1/p2)*… ptLt (1-1/pt)

=p1L1p2L2…ptLt (1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pt)

=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pt)

(m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}|

=简化剩余系的元素个数

(mn)= (m) (n) 当(m,n)=1

(p)= p-1 当p是prime时

(p2)=(pp) = (p) (p) =(p-1)(p-1) 当p是素数

(p2)=|{t|0<t< p2, (t, p2)=1}|=p2-p=p2 (1-1/p)

(pt)=pt-pt-1. (pt-1-1)p+pt-1 (ppt-1) 详细展开！

(pt qs)=(pt) (qs) p,q是素数(p,q)=1 (p2,q)=1

n=p1L1p2L2…ptLt 则

(n)= (p1L1p2L2…ptLt)

=p1L1 (1-1/p1)*p2L2 (1-1/p2)*… ptLt (1-1/pt)

=p1L1p2L2…ptLt (1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pt)

=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pt)

(p)=(p-1) (q)=q-1

(pq)=(p-1)(q-1)=pq-p-q+1

p+q=pq-(pq)+1 两数的和变成积

p+q=n-(n)+1

pq =n

n=30 (30)=8

p+q=30-8+1 p+q=23

pq=30 pq=30

x2-23x+30=0 其根是因数

4=1*4=2*2 1 2 4

1 1 2=4

6=1*6=2*3 1 2 3 6

1 1 2 2=6

10=1*10=2*5 1 2 5 10

1 1 4 4=10

30=1*30=2*6=3*10=5*6

=1*2*3*5

1,2,3,5,6,10,15,30

1 1 2 4 2 4 8 8=30

Cd={m| (m,n)=d,1mn}

={m | (m/d,n/d)=1,1mn}

={kd| (k,n/d)=1, 1kn/d}

#(Cd)= (n/d) 比它小且互素的个数

#(C)= #(Cd) 而#(C)=n 故n= (n/d)

n= (n/d)=(d).

n=30 d=1,2,3,5,6,10,15,30

30/d=30,15,10,6,5,3,2,1

n=30 d=1,2,3,5,6,10,15,30最大公约数

C1={1,7,11,13,17,19,23,29} d=1 1

C2={2,4,8,14,16,22,26,28} d=2 1

C3={3,9,21,27} d=3 2

C5={5,25} d=5 4

C6={6,12,18,24} d=6 2

C10={10,20} d=10 4

C15={15} d=15 8

C30={30} d=30 8

Euler定理：mZ+,m>1 (a,m)=1 则

a(m)mod m=1

1, 2, 3, 4, 5, 6 剩余系

2*1 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 剩余系

2*1 mod m=2 mod m

2*2 mod m=4 mod m

2*3 mod m=6 mod m

2*4 mod m=1 mod m

2*5 mod m=3 mod m

2*6 mod m=5 mod m 相乘

(2 (m) (1*2*3*4*5*6))mod m=(2*4*6*1*3*5)*1 mod m

2(m)mod m=1mod m 即2(m)1mod m

Euler定理：mZ+,m>1 (a,m)=1 则

a(m)mod m=1

a1, a2, a3, … at剩余系

aa1, aa2, aa3, … aat剩余系

aa1 mod m=ai mod m

aa2 mod m=aj mod m

……

aat mod m=ak mod m 相乘

(a (m) (a1*a2*a3…at))mod m

=(a1*a2*a3…at)*1 mod m

a(m)mod m=1mod m 即a(m)1mod m

m >1 正整数 (a,m)=1 a(m) 1mod m

210mod 11=1 m=11 (m)=10 (a,m)=1

a22mod 23=1 m=23 (m)=22 (a,m)=1

78mod 30=1 m=30 (m)=8 (a,m)=1

1, 2, 3, 4, 5, 6 剩余系

2*1 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 剩余系

2*1 mod m=2 mod m

2*2 mod m=4 mod m

2*3 mod m=6 mod m

2*4 mod m=1 mod m

2*5 mod m=3 mod m

2*6 mod m=5 mod m 相乘

(2 (m) (1*2*3*4*5*6))mod m=(2*4*6*1*3*5)*1 mod m

2(m)mod m=1mod m 即2(m) 1mod m