C lculo num rico m dulo iii
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Cálculo Numérico Módulo III. Resolução Numérica de Equações (Parte III). Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros. Análise Comparativa dos Métodos. Critérios de Comparação. Garantias de Convergência Rapidez de Convergência

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C lculo num rico m dulo iii l.jpg

Cálculo NuméricoMódulo III

Resolução Numérica

de Equações (Parte III)

Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz

José Eustáquio Rangel de Queiroz

Marcelo Alves de Barros


An lise comparativa dos m todos l.jpg
Análise Comparativa dos Métodos

  • Critérios de Comparação

  • Garantias de Convergência

  • Rapidez de Convergência

  • Esforço Computacional


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Garantias de Convergência dos Métodos

  • Bissecção e Falsa Posição

    • Convergência garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b], tal que f(a)f(b)<0

  • Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante

    • Condições mais restritivas de convergência

    • Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Rapidez de Convergência

  • Número de Iterações Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergência de um método

  • Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de execução do programa

  • Tempo gasto na execução de uma iteração Variável de método para método


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Esforço Computacional

  • Indicadores

    • Número de operações efetuadas a cada iteração;

    • Complexidade das operações;

    • Número de decisões lógicas;

    • Número de avaliações de função a cada iteração; e

    • Número total de iterações.


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Esforço Computacional

  • Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método.

    • Bissecção Cálculos mais simples por iteração

    • Newton Cálculos mais elaborados

    • Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria das vezes, muito maior do que o número de iterações efetuadas por Newton


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal

  • Convergência assegurada

  • Ordem de convergência alta

  • Cálculos por iteração simples


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Escolha do Melhor Método

  • Newton-Raphson Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f´(x)

  • Secante Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f´(x), uma vez que não é necessária a obtenção de f´(x)


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Critério de Parada  Detalhe importante na escolha do método

  • Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a raiz Bissecção ou FalsaPosiçãoModificado (não usar o Método da FalsaPosição)

  • Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz  Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com aproximações xkpara a raiz exata)


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Observações Importantes

  • Situações nas quais se deve evitar o uso do Método deNewton-Raphson e da Secante

    • Tendência da curva ao paralelelismo a qualquer um dos eixos

    • Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos.


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Conclusão

  • Escolha do método  Diretamente relacionada com a equação cuja solução é desejada

    • Comportamento da função na região da raiz exata

    • Dificuldades com o cálculo de f´(x)

    • Critério de parada, etc.


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y

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2

1

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1

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x

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-3

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Análise Comparativa dos Métodos

  • Exemplo 01: f(x) = x3 – x – 1

 [1,2 ], 1 = 2=10-6


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Exemplo 01:

φ(x) = (x+1)1/3


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y

4

3

g(x)

2

1

x

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-3

-2

-1

0

1

3

4

5

2

-1

-2

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-5

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Análise Comparativa dos Métodos

  • Exemplo 02: x2 + x – 6= 0

 [1,3 ], 1 = 2=10-6


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Análise Comparativa dos Métodos

  • Exemplo 02:

φ(x) = (6 - x)1/2


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