INVERZIJA U ODNOSU NA KRUG

1. Nebojša Ložnjaković Saša Jekić Dušan Mančić Nemanja Tošić INVERZIJA U ODNOSU NA KRUG

2. Definicija • Neka je kkrugsacentrom u tačkiOipoluprečnikomr. Tada preslikavanjekojim se svakojtačkiPrazličitojodOpridružujetačkaP'polupraveOP, takvada je: • OP x OP’ = r2 • zovemoinverzijomravni u odnosunakrugk. Pri tom je kkruginverzije, tačkaO je centarinverzije, a r je poluprečnikinverzije.

3. Slika inverzije u odnosu na krug

4. Inverzija u odnosu na krug nije transformacija cele ravni, već samo jednog njenog dela • Inverzija u odnosu na krug vrsi preslikavanje iz skupa E2 u skup E2*. • Skup E2* je skup E2 /{0} • Transformacija je takvazbognemogućnosti preslikavanja centara kruga k

5. Svojstva • Inverzija u odnosunakrug je involuciona transformacija • U inverziji ψ: E2* -> E2*tacka X je invarijantnaakko X є k • U inverzijiψk: E2* -> E2*tacki X koja se nalazi u krugu kodgovaratacka X’ koja se nalazi izvan kruga k; i obrnuto. • Kompozicija dvaju inverzija ψk1 i ψk2 definisanih u odnosu nakoncentricne krugove k1(O, r1) i k2(O, r2) predstavlja homotetiju

6. Svojstva • Neka su u ravni E2 dati krug k(O,r) i prava p. Pri tome, ako prava p sadrzi tacku O, tada je ψk (p\{O}) = p\{O}, akoprava p ne sadrzitackuO, tadalikψk(p) predstavljakrugkojemnedostajetackaO. • Nekasu u ravniE2 data dvakrugak(O,r)il(S,p). Pri tome, 1º ako je Oєl, tada je ψk(l\{O}) pravalinija; 2º ako je Oєl, tada je ψk(l) takodjekrug.

7. Svojstva • Ugao pod kojim se sekudvelinijepiqravniE2 u presecnojtackiS jednak je s uglom pod kojim se seku njimainverzne krive p’ i q’ u odgovarajucojtackiS’.

8. Primer • Ako je ψkinverzija u odnosunanekikrugk(O,r) iA,Bbilokoji par tačaka različit od tačke O, dokazati da je:

9. Dokaz • Prema definiciji inverzije imamo da je: • Ugao AOB je zajednički ugao trouglova OAB i Oψk(B)ψk(A). Tako da su oni slični. • Iz prethodne dve relacije nalazimo da je:

10. Primeri: