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Diskrete Mathematik II

Diskrete Mathematik II. Vorlesung 3 27.04.00 der Algorithmus von Floyd. Foliendesign: cand. geod. Jörg Steinrücken. Übersicht. letzte Stunden: Algorithmus von Dijkstra alle kürzesten Wege von einem Knoten ( 1:n ) Datenstrukuren für den Algorithmus von Dijkstra

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Presentation Transcript

  1. Diskrete Mathematik II Vorlesung 3 27.04.00 der Algorithmus von Floyd Foliendesign: cand. geod. Jörg Steinrücken

  2. Übersicht • letzte Stunden: • Algorithmus von Dijkstra • alle kürzesten Wege von einem Knoten (1:n) • Datenstrukuren für den Algorithmus von Dijkstra • Datenstruktur für Graphen mit Kosten • Adjazenzliste • Adjazenzmatrix • Datenstruktur für grüne Knoten • Heute: • Algorithmus von Floyd • kürzeste Wege zwischen allen Paaren von Knoten (n:n) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  3. Algorithmus von Floyd • Problem: Bestimmung der kürzesten Wege zwischen allen Paaren von Knoten • Lösung • iterative Anwendung des Algorithmus von Dijkstra • besser: Algorithmus von Floyd Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  4. Algorithmus von Floyd: Idee Do Vorgänger 20 35 füge neue direkte Kante ein, wenn noch keine Kante vorhanden oder die neue Kante kürzer ist als eine vorhandene Ha betrachteter Knoten 15 W Nachfolger Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  5. Algorithmus von Floyd: Idee Do 20 Für jedes Paar Vorgänger / Nachfolger 35 Ha Für jeden Knoten 15 W Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  6. Algorithmus von Floyd (Beispiel) Do 80 Vorgänger Du 20 Ha 30 20 betrachteter Knoten 15 W D 150 15 80 Nachfolger K Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  7. Do 80 20 Du Ha 30 20 15 D W 150 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  8. Do 80 20 Du Ha 30 20 15 D W 150 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) fangen wir wieder an mit Dortmund Knoten besitzt nur Nachfolger Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  9. Do 80 20 35 Du Ha 30 20 15 D W 150 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) als nächstes Hagen Do W Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  10. Do 20 35 Du Ha 30 20 15 D W 150 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) Jetzt haben wir 2 Vorgänge und 3 Nachfolger - wie viele Paare also? Do 80 80 Du Ha D K Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  11. Do 20 35 185 45 Du Ha 30 20 15 D W 150 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 65 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  12. Do 65 20 35 185 45 Du Ha 30 165 20 15 D W 150 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  13. Do 65 20 35 185 45 Du Ha 30 165 20 15 D W 150 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) Do Ha D W Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  14. Do 65 20 35 185 45 Du Ha 30 165 20 15 D W 150 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  15. Do 65 20 35 45 Du Ha 30 20 15 D W 150 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 85 165 165 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  16. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 20 15 D W 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 65 150 150 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  17. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 50 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  18. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 50 95 115 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) Do Du Ha W K Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  19. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 50 95 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 115 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  20. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 50 15 80 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 95 95 100 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  21. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 50 100 15 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 80 80 80 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  22. Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 50 35 80 100 15 K Algorithmus von Floyd (Beispiel) 65 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  23. Algorithmus von Floyd (Beispiel) Do 65 20 35 85 45 Du Ha 30 65 20 15 D W 50 35 80 100 15 65 K Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  24. Implementierung mit der Kostenmatrix-Darstellung private floyd (float A [n,n], float C [n,n]) { int i, j, k; for(j = 1; j <= n; j++) {for(k = 1; k <=n; k++) //A: Wege { A[j,k] = C[j,k]; } //C: Kanten, ggf.  } for(i = 1; i <= n; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { for(k = 1; k <= n; k++) { if(A[j,i] + A[i,k] < A[j,k]) { A[j,k] = A[j,i] + A[i,k]; }}}}} Heute wieder Java! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  25. Floyd-Erweiterung: Mitführung der kürzesten Wege private floyd (float A[n,n], float C[n,n], int W[n,n]) { int i, j, k; for(j = 1; j <= n; j++) {for(k = 1; k <=n; k++) { A[j,k] = C[j,k]; W[j,k] = } } for(i = 1; i <= n; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { for(k = 1; k <= n; k++) { if(A[j,i] + A[i,k] < A[j,k]) { A[j,k] = A[j,i] + A[i,k]; W[j,k] = i; }}}}} Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  26. Floyd (3) • Beachten Sie: • Die Ausgabeprozedur setzt voraus, daß ein Weg zwischen 2 Knoten x und y existiert • Übung: • Wie sehen Sie der Matrix A an, ob ein Weg zwischen 2 Knoten existiert • allgemeiner: Wie sehen Sie der Matrix A an, ob der Graph zusammenhängend ist • der Graph ist zusammenhängend, wenn zwischen jedem Paar (a,b) von Knoten ein Weg existiert • beachten Sie, dass wir von gerichteten Graphen sprechen, also (a,b)  (b,a) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  27. Ausgabe des kürzesten Weges public weg(int[][] W,int X,int Y) //gibt kürzesten Weg von X nach Y aus { weg_rekursiv(X,Y); gib Y aus; } private weg_rekursiv(int[][] W,int X,int Y) { if( W[X,Y] =  ) then gib X aus; else { Z = W[X,Y]; weg_rekursiv(W,X,Z); weg_rekursiv(W,Z,Y); }} Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 3 - 27.04.00

  28. Schönen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Auf Wiedersehen

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