平面向量数量积的坐标表示

1. 平面向量数量积的坐标表示

2. 1． 3． a⊥b a · b=0(判断两向量垂直的依据) 2． 平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有与一对实数 ， 使 ． 运算律： 平面向量数量积的坐标表示 平面向量的数量积

3. 平面向量数量积的坐标表示 用 计算，并观察 与 、 的坐标的关系： ① =(1,1), =(2,0) ② =(1, ), =( ,1) 、 思考： 已知 =(x1,y1)， =(x2,y2) ， 怎样用 、 的坐标表示呢？

4. 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 ① _____ ② ______ ③ ______ ④ _____ 能否推导出 的坐标公式? 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 平面向量数量积的坐标表示 1 0 0 1 证明：

5. （1）设a =（x，y），则 或|a |= . 若设 、 则 5.7 平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 性质 即平面内两点间的距离公式． （2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.

6. 平面向量数量积的坐标表示 例题讲解 【例1】设 ，求 及 、 的夹角. Y 【例2 】已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,求与圆Ｃ相切于点Ｐ０（x0,y0)的切线方程． 、 P(x,y) C(a,b) P０（x0,y0) l O http://zlb.ntzx.cn/xiangliang.doc X

7. 设 m ＝ ＡＢ ＝（４，－３） 例3、 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0， 求直线l1和l2的夹角． 解： 在l1上任取两点Ａ（０，３）Ｂ（４，０） 在l2上任取两点C（０，28）D（４，０） 设n＝CD＝（４，－28） 则 设m与n的夹角为　， 所以，直线l1和l2的夹角为４５０

8. 平面向量数量积的坐标表示 • 例3、 已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求直线l1和l2的夹角． 【引申】 方向向量：与直线l共线的向量称为直线l的方向向量。 例如例3中的 为直线l1的方向向量。 【思考】 ①一条直线的方向向量有多少个，你能再写出几个直线l1的方向向量吗？ ②给定斜率为k的直线，你能写出它的方向向量吗？

9. 5.7 平面向量数量积的坐标表示 • 4．总结提炼 　　（1）用坐标表示的数量积公式对问题带来了极大的方便，例如常用来计算两向量的夹角. 　　（2）平面向量在解析几何中有广泛的应用，例如垂直问题，可用两向量垂直来解决，并注意在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。 　　（3）注意单位向量和方向向量两个概念。

10. 例2．已知 ， ， ，求证 是直角三角形. 证明：∵ ∴ 是直角三角形. 5.7 平面向量数量积的坐标表示

11. 例3．求 与向量的夹角为 的单位向量． 解：设所求向量为 ∵ a 与b 成 ∴ 另一方面 ∴ ……① 又 ……② 联立解之： ， 或 ， 5.7 平面向量数量积的坐标表示

12. 5.7 平面向量数量积的坐标表示 练习： （1）已知a=(2,3) ，b=(-1,4) ，c=(5,6) ， 　求 和 ． （2）已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求证 是直角三角形. （3）已知a=（4，2），求与a 垂直的单位向量.