slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Fonctions de transfert Conception d’un asservissement

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 35

Fonctions de transfert Conception d un asservissement - PowerPoint PPT Presentation


  • 106 Views
  • Uploaded on

Fonctions de transfert Conception d’un asservissement. François BONDU CNRS [email protected] Collaboration VIRGO Institut de Physique de Rennes Equipe photonique et lasers Université de Rennes 1 Avril 2009. Alfred Perot (1863-1926). Charles Fabry (1867-1945). Plan.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Fonctions de transfert Conception d un asservissement' - alameda


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1
Fonctions de transfert

Conception d’un asservissement

  • François BONDU CNRS
  • [email protected]
  • Collaboration VIRGO
  • Institut de Physique de Rennes
  • Equipe photonique et lasers
  • Université de Rennes 1
  • Avril 2009

Alfred Perot (1863-1926)

Charles Fabry (1867-1945)

slide2
Plan
  • Éléments des boucles
      • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert
      • Densités spectrales
      • Capteurs et actionneurs
      • La cavité FP comme capteur
      • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence
  • II. Boucles d’asservissement
      • Calculs de boucle fermée
      • Critères de stabilité
      • boucle simple
      • ex. de boucles imbriquées
      • Prescriptions pour la conception d’une boucle
      • Mesures dans une boucle d’asservissement
slide3

Fonctions propres :

I. Éléments de boucles

1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (1/2)

Fsys

signal entrée

signal en sortie

Linéarisation autour d’un point de fonctionnement

Système linéaire invariant dans le temps :

}

slide4

Fonction de transfert du système :

Où est une fonction continue de f(“unwrap” en Matlab®)

I. Éléments de boucles

1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (2/2)

Fonctions propres :

Fsys

signal entrée

Signal en sortie

Décomposition d’un signal sur la base des fonctions propres : transformée de Fourier

slide5

Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation :

est une fonction réelle paire

I. Éléments de boucles

2. Densités spectrales (1/3)

Fsys

bruit en entrée

bruit en sortie

Fonction d’autocorrélation :

slide6

I. Éléments de boucles

2. Densités spectrales (2/3)

Densité spectrale de puissance :

définie pour les fréquences positives seulement

Densité spectrale linéaire :

nombre réel positif

Fsys

bruit en entrée

bruit en sortie

slide7

I. Éléments de boucles

2. Densités spectrales (3/3)

Dans la pratique, une méthode pour calculer la DSL:

résolution en fréquence : 1/Tinteg

s unité DSL

longueur mètres m/√Hz

fréquence Hertz Hz/√Hz

onde gravitationnelle 1 1/√Hz

slide8

I. Éléments de boucles

3. Capteurs et actionneurs (1/3)

Capteur :

bruit

ñc(f)

+

référence

S(f)

tension (V)

+

+

-

grandeur physique

  • Exemple : cavité FP pour mesurer la fréquence d’un laser
  • bruit de photon
  • finesse
  • bruit thermique de la cale d’espacement
  • bruit thermique des couches minces des miroirs
  • bruit accélérométrique
  • La qualité du capteur dépend
  • - de son bruit de mesure
  • de sa sensibilité S(f)
  • de la stabilité de sa référence
slide9

I. Éléments de boucles

3. Capteurs et actionneurs (2/3)

bruit

ñc(f)

Capteur :

+

référence

S(f)

tension (V)

+

+

-

grandeur physique

densité spectrale de résolution :

Une grande sensibilité S(f) peut rendre négligeable l’effet du bruit de lecture de la mesure

Ex: mesure de fréquence sur une cavité FP rigide couplée optimalement, F=1000, P=20 mW, L=30 cm

 résolution limitée par bruit thermique jusqu’à f=10 kHz

slide10

I. Éléments de boucles

3. Capteurs et actionneurs (3/3)

Actionneurs :

“driver”

D(f)

tension (V)

grandeur physique

Actionneur de déplacement : bande passante limitée par la mécanique :

- pendules (fres ~ 1 Hz)

- miroirs montés sur cristaux piezo-électriques (fres ~30 kHz et harmoniques)

slide11

I. Éléments de boucles

4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (1/5)

  • - Mesure de longueurs d’onde (spectroscopie)
  • Mesure d’épaisseur d’étalons standards, du mètre étalon (5 fois plus précis que Michelson)
  • Mesure de la masse du dm3 d’eau
  • Mise en évidence de l’effet Doppler-Fizeau
  • Raies d’émission du soleil, rotation différentielle, décalage vers le rouge, température
  • Eclat de la voie lactée
  • Rotation et température de la nébuleuse d’Orion
  • Découverte de la couche d’ozone dans l’atmosphère
slide12

I. Éléments de boucles

4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (2/5)

Pour les faisceaux gaussiens : comparaison entre le mode incident et le mode résonnant

Mesure de front d’onde (distribution transverse de puissance)

- mesure d’agitation transverse et angulaire de faisceau

Mesure de longueur d’onde

Mesure de longueur

Mesure de rayon de courbure de miroir

Mesure différentielle de réflectivités de miroirs

Mesure d’ondes gravitationnelles (avec des miroirs inertiels)

slide13

Porteuse résonnante dans la cavité

Bandes latérales non résonnantes

C

C

LSB

LSB

USB

USB

E.O.

modulator

~

RF synthesizer

mesure

référence

I. Éléments de boucles

4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (3/5)

Laser

Mirror 1

Mirror 2

slide14

I. Éléments de boucles

4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (4/5)

Fonction de transfert en réflexion pour les ondes lumineuses :

a : varie avec la chemin optique, la fréquence, une onde gravitationnelle

  • L1 : pertes dans le miroir d’entrée
  • : déphasage sur un aller-retour

r1, r2 : réflectivités des miroirs en amplitude

  • : réflexion à résonance en amplitude

f : écart à la résonance

slide15

I. Éléments de boucles

4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (5/5)

T1 = 12%

T2 = 5%

L = 0

(finesse = 35)

Fonction de transfert pour les ondes lumineuses :

REFLECTION

TRANSMISSION

slide16

I. Éléments de boucles

5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

a. Bruit de fréquence (1/3)

porteuse

Onde entrante :

fmod

f : écart à la résonance

Signal Pound Drever Hall

  • électronique
  • puissance du laser
  • indice de modulation de phase
  • couplage de la cavité (visibilité = 1 - z2)
  • pôle de la cavité
slide17

I. Éléments de boucles

5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

a. Bruit de fréquence (2/3)

porteuse

Onde entrante :

fmod

fmes

Fonction de transfert, pour une porteuse à résonance :

slide18

Fréquence de modulation

Désalignement de la cavité

Intervalle spectral libre

désalignement + modulation

I. Éléments de boucles

5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

a. Bruit de fréquence (3/3)

  • Mesure précise
  • du pôle de la cavité
  • de sa longueur
  • du rayon de courbure effectif
  • du couplage d’impédance
  • fraction d’énergie sur un mode désaligné
  • fraction d’énergie sur un mode désadapté en front d’onde transverse

module

f / ISL

slide19

I. Éléments de boucles

5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

b. Bruit de longueur

-- miroir d’entrée

-- miroir de fond

slide20
Plan
  • Éléments des boucles
      • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert
      • Densités spectrales
      • Capteurs et actionneurs
      • La cavité FP comme capteur
      • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence
  • II. Boucles d’asservissement
      • Calculs de boucle fermée
      • Critères de stabilité
      • boucle simple
      • ex. de boucles imbriquées
      • Prescriptions pour la conception d’une boucle
      • Mesures dans une boucle d’asservissement
slide21

Magnet-coil

A

D

C

digital

filter

D

A

C

laser

Phase

modulator

Control

phase

shifter

R.F.

6 MHz

mixer

II. Boucles d’asservissement

1. Calculs de boucle fermée (1/3)

slide22

Actuation

Sensing

A

D

C

digital

filter

D

A

C

Correction filter

zseismic

laser

Phase

modulator

nlaser

SPDH

Cfilter

Factuation

+

zcavity

e

Control

-

actuation

Correction filter

ncavity

phase

shifter

R.F.

n0/Lcavity

6 MHz

mixer

sensing

II. Boucles d’asservissement

1. Calculs de boucle fermée (2/3)

slide23

nc

zseismic

Factuation

nlaser

SPDH

Cfilter

+

e

zcavity

-

ncavity

n0/Lcavity

Le signal d’erreur compare

la longueur d’onde du laser avec

la longueur d’onde du mode résonnant dans la cavité,

au bruit de lecture près.

NB : il s’agit de la DSL de l’écart

Le signal de correction mesure

les fluctuations parasites

avec le facteur de calibration Factuation

là où elles dominent

i.e. là où la boucle est utile

Les fluctuations de longueur de la cavité “suivent”

les fluctuations de longueur d’onde du laser,

lorsque le gain de boucle est grand ;

la perturbation sismique est très atténuée.

II. Boucles d’asservissement

1. Calculs de boucle fermée (3/3)

  • NB: sont sous-entendus :
  • les ~ sur les DSL
  • la dépendance en f des FT
  • les facteurs devant les DSL sont des valeurs absolues

Fonction de transfert en boucle ouverte :

Boucle “efficace” : |G|>>1

slide24

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : a. « placement » des pôles et zéros

  • On approxime GOLTF par une fraction rationnelle N(f)/D(f)
  • La fonction G/(1+G) ou 1/(1+G) ne doit pas avoir de pôle à partie réelle positive
    • exponentielle divergente dans le domaine temps

équivalent à :

Le polynôme N(f) + D(f) ne doit pas avoir de zéro à partie réelle positive

  • Inconvénients :
  • pas très facile à visualiser si les pôles et zéros sont répartis sur plusieurs décades
  • robustesse pas facilement identifiable
  • l’approximation peut être dangereuse si il y a des retards importants
  • Vérification utile en cas de doute si la fonction est complexe
slide25

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : b. critère de Bode

Marge de phase

de la fonction de transfert en B.O.

au croisement du gain unité

gain unité

Marge de gain ↑ = 5.6

Marge de gain ↓ = 3.7

  • Inconvénients :
  • seulement si le gain unité n’est « croisé » qu’une seule fois
  • systèmes à phase minimale
  • Facile, pour les systèmes courants (pas de résonance forte)

fGU = fréquence au gain unité = 32 Hz

MP = marge de phase = +41°

slide26

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (1/3)

laisser « le » point (-180,1)

sur la droite lorsqu’on

parcourt la courbe

vers les fréquences croissantes

  • Inconvénient :
  • absence de lecture des fréquences
  • Avantages :
  • - facile
  • toutes les marges
  • en un coup d’œil
  • surtensions en boucles fermée
  • (amplification des bruits)

Marge de gain ↑ = 5.6

gain unité

MP = marge de phase = +41°

Marge de gain ↓ = 3.7

slide27

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (2/3)

Laisser tous les points (-180*(2k+1),1)

sur la droite lorsqu’on

parcourt la courbe

vers les fréquences croissantes

Exemple de système avec une résonance (ça arrive !)

Bode ne “marche” pas

Marges “confortables” :

MG = 2

MP = 30°

(surtension =2)

slide28

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (3/3)

Cas très exceptionnel : filtres de Coulon

slide29

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (1/2)

Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités

slide30

II. Boucles d’asservissement

2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (2/2)

Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités

La boucle lente contient un capteur effectif ;

elle est indépendante de la réponse de la cavité.

Pour que l’ensemble soit stable,

il suffit que la fréquence de G.U.

de la boucle rapide soit

une décade au-dessus de celle de la boucle lente.

avec

slide31

II. Boucles d’asservissement

3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (1/3)

  • 1.
  • La “vitesse” de réponse de l’actionneur ou du capteur, éventuellement les retards,
  • définissent la fréquence de gain unité.
  • 2.
  • Conception la forme de la FTBO pour remplir les spécifications :
  • sur le RMS du signal d’erreur
  • et/ou sur sa densité spectrale
  • ou tout autre fonction de la DSL
slide32

II. Boucles d’asservissement

3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (2/3)

Méthode itérative, pour un système dont on n’a pas une connaissance à priori de tous les paramètres :

1. On définit une première boucle, de forme simple, sans souci des spécifications ;

on verrouille le système.

2. On mesure

- la DSL du signal de correction

- la DSL du signal d’erreur

- la FTBO (fonction de transfert en boucle ouverte)

=> On ajuste le modèle informatique des éléments de la boucle à la mesure

3. On définit une nouvelle boucle plus performante telle qu’elle remplit les spécifications.

Intégrateurs à très basse fréquence, jusqu’à ~fGU/10 : annule les erreurs statiques de position, de vitesse, etc.

slide33

II. Boucles d’asservissement

3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (3/3)

Dans la pratique, on peut se trouver limité (saturation) par les dynamiques des électroniques, des échantillonneurs, etc.

Solution 1 : filtres de pré-compensation (Dolby)

Solution 2 : changement de fréquence de gain unité

par ex : actionneurs multiples

slide34

II. Boucles d’asservissement

4. Mesures dans une boucle d’asservissement

p

zseismic

nlaser

SPDH

Cfilter

Factuation

+

scorr

e1

e2

zcavity

-

ncavity

n0/Lcavity

On ajoute une perturbation pendant que la boucle est fermée :

  • bruit blanc, bruit “blanc” dans une bande limitée, bruit coloré
  • sinus, et mesure avec ampli lock-in ou analyseur de réseau
slide35
Plan
  • Éléments des boucles
      • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert
      • Densités spectrales
      • Capteurs et actionneurs
      • La cavité FP comme capteur
      • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence
  • II. Boucles d’asservissement
      • Calculs de boucle fermée
      • Critères de stabilité
      • boucle simple
      • ex. de boucles imbriquées
      • Prescriptions pour la conception d’une boucle
      • Mesures dans une boucle d’asservissement
ad