Fonctions de transfert
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Fonctions de transfert Conception d’un asservissement. François BONDU CNRS [email protected] Collaboration VIRGO Institut de Physique de Rennes Equipe photonique et lasers Université de Rennes 1 Avril 2009. Alfred Perot (1863-1926). Charles Fabry (1867-1945). Plan.

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Fonctions de transfert Conception d’un asservissement

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Fonctions de transfert conception d un asservissement

Fonctions de transfert

Conception d’un asservissement

  • François BONDU CNRS

  • [email protected]

  • Collaboration VIRGO

  • Institut de Physique de Rennes

  • Equipe photonique et lasers

  • Université de Rennes 1

  • Avril 2009

Alfred Perot (1863-1926)

Charles Fabry (1867-1945)


Fonctions de transfert conception d un asservissement

Plan

  • Éléments des boucles

    • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert

    • Densités spectrales

    • Capteurs et actionneurs

    • La cavité FP comme capteur

    • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence

  • II. Boucles d’asservissement

    • Calculs de boucle fermée

    • Critères de stabilité

    • boucle simple

    • ex. de boucles imbriquées

    • Prescriptions pour la conception d’une boucle

    • Mesures dans une boucle d’asservissement


  • Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Fonctions propres :

    I. Éléments de boucles

    1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (1/2)

    Fsys

    signal entrée

    signal en sortie

    Linéarisation autour d’un point de fonctionnement

    Système linéaire invariant dans le temps :

    }


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Fonction de transfert du système :

    Où est une fonction continue de f(“unwrap” en Matlab®)

    I. Éléments de boucles

    1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (2/2)

    Fonctions propres :

    Fsys

    signal entrée

    Signal en sortie

    Décomposition d’un signal sur la base des fonctions propres : transformée de Fourier


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation :

    est une fonction réelle paire

    I. Éléments de boucles

    2. Densités spectrales (1/3)

    Fsys

    bruit en entrée

    bruit en sortie

    Fonction d’autocorrélation :


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    2. Densités spectrales (2/3)

    Densité spectrale de puissance :

    définie pour les fréquences positives seulement

    Densité spectrale linéaire :

    nombre réel positif

    Fsys

    bruit en entrée

    bruit en sortie


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    2. Densités spectrales (3/3)

    Dans la pratique, une méthode pour calculer la DSL:

    résolution en fréquence : 1/Tinteg

    s unitéDSL

    longueur mètres m/√Hz

    fréquence HertzHz/√Hz

    onde gravitationnelle 11/√Hz


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    3. Capteurs et actionneurs (1/3)

    Capteur :

    bruit

    ñc(f)

    +

    référence

    S(f)

    tension (V)

    +

    +

    -

    grandeur physique

    • Exemple : cavité FP pour mesurer la fréquence d’un laser

    • bruit de photon

    • finesse

    • bruit thermique de la cale d’espacement

    • bruit thermique des couches minces des miroirs

    • bruit accélérométrique

    • La qualité du capteur dépend

    • - de son bruit de mesure

    • de sa sensibilité S(f)

    • de la stabilité de sa référence


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    3. Capteurs et actionneurs (2/3)

    bruit

    ñc(f)

    Capteur :

    +

    référence

    S(f)

    tension (V)

    +

    +

    -

    grandeur physique

    densité spectrale de résolution :

    Une grande sensibilité S(f) peut rendre négligeable l’effet du bruit de lecture de la mesure

    Ex: mesure de fréquence sur une cavité FP rigide couplée optimalement, F=1000, P=20 mW, L=30 cm

     résolution limitée par bruit thermique jusqu’à f=10 kHz


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    3. Capteurs et actionneurs (3/3)

    Actionneurs :

    “driver”

    D(f)

    tension (V)

    grandeur physique

    Actionneur de déplacement : bande passante limitée par la mécanique :

    - pendules (fres ~ 1 Hz)

    - miroirs montés sur cristaux piezo-électriques (fres ~30 kHz et harmoniques)


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (1/5)

    • - Mesure de longueurs d’onde (spectroscopie)

    • Mesure d’épaisseur d’étalons standards, du mètre étalon (5 fois plus précis que Michelson)

    • Mesure de la masse du dm3 d’eau

    • Mise en évidence de l’effet Doppler-Fizeau

    • Raies d’émission du soleil, rotation différentielle, décalage vers le rouge, température

    • Eclat de la voie lactée

    • Rotation et température de la nébuleuse d’Orion

    • Découverte de la couche d’ozone dans l’atmosphère


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (2/5)

    Pour les faisceaux gaussiens : comparaison entre le mode incident et le mode résonnant

    Mesure de front d’onde (distribution transverse de puissance)

    - mesure d’agitation transverse et angulaire de faisceau

    Mesure de longueur d’onde

    Mesure de longueur

    Mesure de rayon de courbure de miroir

    Mesure différentielle de réflectivités de miroirs

    Mesure d’ondes gravitationnelles (avec des miroirs inertiels)


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Porteuse résonnante dans la cavité

    Bandes latérales non résonnantes

    C

    C

    LSB

    LSB

    USB

    USB

    E.O.

    modulator

    ~

    RF synthesizer

    mesure

    référence

    I. Éléments de boucles

    4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (3/5)

    Laser

    Mirror 1

    Mirror 2


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (4/5)

    Fonction de transfert en réflexion pour les ondes lumineuses :

    a : varie avec la chemin optique, la fréquence, une onde gravitationnelle

    • L1 : pertes dans le miroir d’entrée

    • : déphasage sur un aller-retour

      r1, r2 : réflectivités des miroirs en amplitude

    • : réflexion à résonance en amplitude

      f : écart à la résonance


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (5/5)

    T1 = 12%

    T2 = 5%

    L = 0

    (finesse = 35)

    Fonction de transfert pour les ondes lumineuses :

    REFLECTION

    TRANSMISSION


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

    a. Bruit de fréquence (1/3)

    porteuse

    Onde entrante :

    fmod

    f : écart à la résonance

    Signal Pound Drever Hall

    • électronique

    • puissance du laser

    • indice de modulation de phase

    • couplage de la cavité (visibilité = 1 - z2)

    • pôle de la cavité


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

    a. Bruit de fréquence (2/3)

    porteuse

    Onde entrante :

    fmod

    fmes

    Fonction de transfert, pour une porteuse à résonance :


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Fréquence de modulation

    Désalignement de la cavité

    Intervalle spectral libre

    désalignement + modulation

    I. Éléments de boucles

    5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

    a. Bruit de fréquence (3/3)

    • Mesure précise

    • du pôle de la cavité

    • de sa longueur

    • du rayon de courbure effectif

    • du couplage d’impédance

    • fraction d’énergie sur un mode désaligné

    • fraction d’énergie sur un mode désadapté en front d’onde transverse

    module

    f / ISL


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    I. Éléments de boucles

    5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot

    b. Bruit de longueur

    -- miroir d’entrée

    -- miroir de fond


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Plan

    • Éléments des boucles

      • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert

      • Densités spectrales

      • Capteurs et actionneurs

      • La cavité FP comme capteur

      • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence

  • II. Boucles d’asservissement

    • Calculs de boucle fermée

    • Critères de stabilité

    • boucle simple

    • ex. de boucles imbriquées

    • Prescriptions pour la conception d’une boucle

    • Mesures dans une boucle d’asservissement


  • Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Magnet-coil

    A

    D

    C

    digital

    filter

    D

    A

    C

    laser

    Phase

    modulator

    Control

    phase

    shifter

    R.F.

    6 MHz

    mixer

    II. Boucles d’asservissement

    1. Calculs de boucle fermée (1/3)


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Actuation

    Sensing

    A

    D

    C

    digital

    filter

    D

    A

    C

    Correction filter

    zseismic

    laser

    Phase

    modulator

    nlaser

    SPDH

    Cfilter

    Factuation

    +

    zcavity

    e

    Control

    -

    actuation

    Correction filter

    ncavity

    phase

    shifter

    R.F.

    n0/Lcavity

    6 MHz

    mixer

    sensing

    II. Boucles d’asservissement

    1. Calculs de boucle fermée (2/3)


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    nc

    zseismic

    Factuation

    nlaser

    SPDH

    Cfilter

    +

    e

    zcavity

    -

    ncavity

    n0/Lcavity

    Le signal d’erreur compare

    la longueur d’onde du laser avec

    la longueur d’onde du mode résonnant dans la cavité,

    au bruit de lecture près.

    NB : il s’agit de la DSL de l’écart

    Le signal de correction mesure

    les fluctuations parasites

    avec le facteur de calibration Factuation

    là où elles dominent

    i.e. là où la boucle est utile

    Les fluctuations de longueur de la cavité “suivent”

    les fluctuations de longueur d’onde du laser,

    lorsque le gain de boucle est grand ;

    la perturbation sismique est très atténuée.

    II. Boucles d’asservissement

    1. Calculs de boucle fermée (3/3)

    • NB: sont sous-entendus :

    • les ~ sur les DSL

    • la dépendance en f des FT

    • les facteurs devant les DSL sont des valeurs absolues

    Fonction de transfert en boucle ouverte :

    Boucle “efficace” : |G|>>1


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : a. « placement » des pôles et zéros

    • On approxime GOLTF par une fraction rationnelle N(f)/D(f)

    • La fonction G/(1+G) ou 1/(1+G) ne doit pas avoir de pôle à partie réelle positive

      • exponentielle divergente dans le domaine temps

        équivalent à :

        Le polynôme N(f) + D(f) ne doit pas avoir de zéro à partie réelle positive

    • Inconvénients :

    • pas très facile à visualiser si les pôles et zéros sont répartis sur plusieurs décades

    • robustesse pas facilement identifiable

    • l’approximation peut être dangereuse si il y a des retards importants

    • Vérification utile en cas de doute si la fonction est complexe


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : b. critère de Bode

    Marge de phase

    de la fonction de transfert en B.O.

    au croisement du gain unité

    gain unité

    Marge de gain ↑ = 5.6

    Marge de gain ↓ = 3.7

    • Inconvénients :

    • seulement si le gain unité n’est « croisé » qu’une seule fois

    • systèmes à phase minimale

    • Facile, pour les systèmes courants (pas de résonance forte)

    fGU = fréquence au gain unité = 32 Hz

    MP = marge de phase = +41°


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (1/3)

    laisser « le » point (-180,1)

    sur la droite lorsqu’on

    parcourt la courbe

    vers les fréquences croissantes

    • Inconvénient :

    • absence de lecture des fréquences

    • Avantages :

    • - facile

    • toutes les marges

    • en un coup d’œil

    • surtensions en boucles fermée

    • (amplification des bruits)

    Marge de gain ↑ = 5.6

    gain unité

    MP = marge de phase = +41°

    Marge de gain ↓ = 3.7


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (2/3)

    Laisser tous les points (-180*(2k+1),1)

    sur la droite lorsqu’on

    parcourt la courbe

    vers les fréquences croissantes

    Exemple de système avec une résonance (ça arrive !)

    Bode ne “marche” pas

    Marges “confortables” :

    MG = 2

    MP = 30°

    (surtension =2)


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (3/3)

    Cas très exceptionnel : filtres de Coulon


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (1/2)

    Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (2/2)

    Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités

    La boucle lente contient un capteur effectif ;

    elle est indépendante de la réponse de la cavité.

    Pour que l’ensemble soit stable,

    il suffit que la fréquence de G.U.

    de la boucle rapide soit

    une décade au-dessus de celle de la boucle lente.

    avec


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (1/3)

    • 1.

    • La “vitesse” de réponse de l’actionneur ou du capteur, éventuellement les retards,

    • définissent la fréquence de gain unité.

    • 2.

    • Conception la forme de la FTBO pour remplir les spécifications :

    • sur le RMS du signal d’erreur

    • et/ou sur sa densité spectrale

    • ou tout autre fonction de la DSL


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (2/3)

    Méthode itérative, pour un système dont on n’a pas une connaissance à priori de tous les paramètres :

    1. On définit une première boucle, de forme simple, sans souci des spécifications ;

    on verrouille le système.

    2. On mesure

    - la DSL du signal de correction

    - la DSL du signal d’erreur

    - la FTBO (fonction de transfert en boucle ouverte)

    => On ajuste le modèle informatique des éléments de la boucle à la mesure

    3. On définit une nouvelle boucle plus performante telle qu’elle remplit les spécifications.

    Intégrateurs à très basse fréquence, jusqu’à ~fGU/10 : annule les erreurs statiques de position, de vitesse, etc.


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (3/3)

    Dans la pratique, on peut se trouver limité (saturation) par les dynamiques des électroniques, des échantillonneurs, etc.

    Solution 1 : filtres de pré-compensation (Dolby)

    Solution 2 : changement de fréquence de gain unité

    par ex : actionneurs multiples


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    II. Boucles d’asservissement

    4. Mesures dans une boucle d’asservissement

    p

    zseismic

    nlaser

    SPDH

    Cfilter

    Factuation

    +

    scorr

    e1

    e2

    zcavity

    -

    ncavity

    n0/Lcavity

    On ajoute une perturbation pendant que la boucle est fermée :

    • bruit blanc, bruit “blanc” dans une bande limitée, bruit coloré

    • sinus, et mesure avec ampli lock-in ou analyseur de réseau


    Fonctions de transfert conception d un asservissement

    Plan

    • Éléments des boucles

      • Systèmes « LTI » – fonctions de transfert

      • Densités spectrales

      • Capteurs et actionneurs

      • La cavité FP comme capteur

      • fonctions de transfert pour déplacement et fréquence

  • II. Boucles d’asservissement

    • Calculs de boucle fermée

    • Critères de stabilité

    • boucle simple

    • ex. de boucles imbriquées

    • Prescriptions pour la conception d’une boucle

    • Mesures dans une boucle d’asservissement


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