Colégio Estadual Figueira - Matemática
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Colégio Estadual Figueira - Matemática. Professor: Sulimar Gomes. segunda-feira, 7 de setembro de 2014. Sequências. Definição de sequência numérica: Observe a situação a seguir:

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Presentation Transcript


Col gio estadual figueira matem tica

Colégio Estadual Figueira - Matemática

Professor: Sulimar Gomes

segunda-feira, 7 de setembro de 2014

Sequências


Col gio estadual figueira matem tica

Definição de sequência numérica:

Observe a situação a seguir:

Olimpíadas. Os anos em que ocorreram os últimos seis jogos olímpicos formam uma sequência ou sucessão e, assim, podemos escrevê-los as seguinte forma:

(1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008)

Os elementos ou termos desta sequência podem ser representados por uma letra (geralmente a letra a) e um índice que indica a posição do elemento na sequência. Desta maneira: a1 = 1988 é o primeiro termo da sequência, a2 = 1992 é o segundo termo, e assim sucessivamente até a6 = 2008

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Col gio estadual figueira matem tica

Para indicar um termo qualquer as sequência, o enésimo termo, escrevemos an.

Se a sequência possuir um último termo n, então dizemos que a sequência é finita.

Senão, dizemos que é infinita e a indicamos colocando reticências no final.

  • Exemplos:

  • A sequência das estações de um ano é finita, pois tem um último elemento:

  • (verão, outono, inverno, primavera).

  • A sequência dos números primos é infinita, assim escrevemos os seus primeiros elementos e colocamos reticências ao final:

  • (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)

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Uma sequência numérica é uma função f cujo domínio está contido em N* e cujo contradomínio é R.

Uma sequência finita de n termos é indicada por (a1, a2, a3,..., an).

Uma sequência infinita por (a1, a2, a3,..., an, ...)

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Col gio estadual figueira matem tica

Determinação de uma sequência numérica

Uma sequência numérica pode ser determinada por uma lei de formação que associa a cada número natural n diferente de zero um termo an = f(n). O termo an é chamado também de termo geral da sequência.

  • Exemplos:

  • A lei de formação da sequência de números ímpares é an =2n – 1, com N , ou seja:

an = 2n – 1

Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 1 = 1

Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 1 = 3

Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 1 = 5

E assim sucessivamente

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Col gio estadual figueira matem tica

  • Exemplos:

  • A lei de formação da sequência de números pares é an =2n – 2,

  • com N , ou seja:

an = 2n – 2

Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 2 = 0

Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 2 = 2

Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 2 = 4

E assim sucessivamente

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Col gio estadual figueira matem tica

Determinação de uma sequência numérica

As vezes podemos determinar números de uma sequência sem precisar determinar sua lei de formação, usando somente a lógica e pela verificação de alguns termos da sequência.

  • 35, 33, 34, 32, 33, 31, 32, ___, ___.

  • Exemplos:

  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, ___, ___, ...

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Exercícios

1. Obter o décimo segundo termo da sequência em que an = 2n – 6

2. Determine o quarto termo da sequência, em que an = 2. 5n – 1

3. Complete a sequência (12, 7, 2, – 3, __, – 13, __)

4. Analise a seqüência numérica seguinte:

35, 33, 34, 32, 33, 31, 32, ___, ___.

Explique seu padrão e descubra os dois números seguintes para os espaços em branco.

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Exercícios - Lógica

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Exercícios - Lógica

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Exercícios - Lógica

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Somatório de termos

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Somatório de termos

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Exercícios

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Col gio estadual figueira matem tica

ENEM 2010

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Progressão Aritmética – P.A.

  • Vamos considerar as seguintes progressões:

  • (2, 4, 6, 8, 10, 12)

  • Veja que a partir do segundo termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante.

  • a2 – a1 = 4 – 2 = 2 a5 – a4 = 10 – 8 = 2

  • a3 – a2 = 6 – 4 = 2 a6 – a5 = 12 – 10 = 2

  • a4 – a3 = 8 – 6 = 2

  • (10, 6, 2, – 2, – 6, – 10)

  • Veja que a partir do segundo termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor também é constante.

  • a2 – a1 = 6 – 10 = – 4 a5 – a4 = – 6 – (– 2) = – 4

  • a3 – a2 = 2 – 6 = – 4 a6 – a5 = – 10 – (– 6) = – 4

  • a4 – a3 = – 2 – 2 = – 4

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Progressão Aritmética – P.A.

Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).

Observações:

Quando r = 0 a P.A. é constante

Ex: (3, 3, 3, 3, 3); r = 3 – 3  r = 0

Quando r > 0 a P.A. é crescente

Ex: (2, 7, 12, 17, 22) r = 7 – 2 = 5  r = 5

Quando r < 0 a P.A. é decrescente

Ex: (10, 8, 6, 4, 2, 0, – 2, – 4) r = 8 – 10 = – 2 R = – 5

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Progressão Aritmética – P.A.

De um modo geral temos:

Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é:

Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)

a2– a1 = a3– a2 = a4– a3 = ...= an– an–1 = r

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Progressão Aritmética – P.A.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Em uma P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) de razão r, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro.

Para isso, basta partirmos da definição de P.A.

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r  a3 = (a1 + r) + r  a3 =a1 + 2r

a4 = a3 + r  a4 = (a1 + 2r) + r  a4 = a1 + 3r

a5 = a4 + r  a5 = (a1 + 3r) + r  a5 = a1 + 4r

Logo concluímos que o termo geral que ocupa a enésima posição na P.A é dado por:

an = a1 + (n – 1)r, com n

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Progressão Aritmética – P.A.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

an = a1 + (n – 1)r, com n

Onde:

an = termo geral da P.A.

n = número de termos da P.A.

a1 = primeiro termo da P.A.

r = razão da P.A.

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Progressão Aritmética – P.A.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Exemplos:

Seja a P.A. (8,15, 22, 29, 36, ...)

Determinar o termo geral:

an = a1 + (n – 1)r

an = 8+ (n – 1)7

an = 8+ 7n – 7

an = 7n + 1

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Progressão Aritmética – P.A.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Exemplos:

Quantos termos compõe a P.A. finita (7, 2, ..., – 38)

an = a1 + (n – 1)r

– 38 = 7+ (n – 1)(– 5)

– 38 = 7– 5n + 5

5n = 12 + 38

5n = 50

n =

n = 10

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Progressão Aritmética – P.A.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Exemplos:

Sabendo que em uma P.A. o primeiro termo é – 3 e o décimo segundo termo é 41, determine sua razão.

an = a1 + (n – 1)r

41= – 3+ 11r

44= 11r

r =

r = 4

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Progressão Aritmética – P.A.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Exemplos:

Observe a sequência de figuras cujas quantidades de pontos estão em progressão aritmética.

Continuando essa sequência, quantos pontos formarão a 12ª figura?

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Progressão Aritmética – P.A.

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) é considerado um dos maiores matemáticos do século XVIII. Conta-se que quando criança, o professor de sua turma pediu aos alunos que calculassem a soma:

1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

Como são 50 parcelas iguais a 101, a soma dos termos dessa P.A será igual a 50 .101 = 5050

Carl Friedrich Gauus, filho único de pai sem instrução, foi matemático, astrônomo e físico.

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Progressão Aritmética – P.A.

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Considerando a sequência somada por Gauss:

1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 100

Generalizando para soma de qualquer P.A.

Onde:

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Progressão Aritmética – P.A.

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Exemplo: Utilizando a fórmula da soma de um P.A. determine a soma da sequência (7, 11, 15, 19, 23, 27)

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Progressão Aritmética – P.A.

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Exemplo: Utilizando a fórmula da soma de um P.A. determine a soma da sequência de 14 termos (-12,...,40)

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Progressão Aritmética – P.A.

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Em alguns casos pode não ser informado o primeiro, o último ou o número de termos da P.A., para efetuar a soma teremos que primeiro descobrir esse valor utilizando para isso a fórmula do termo geral da P.A.

an = a1 + (n – 1)r

Exemplo: Calcular a soma dos 80 primeiros termos da P.A.

Onde, a1= – 10 e r = 3

Primeiro vamos determinar o 80º termo da P.A.

a80 = – 10+ (n – 1). 3

a80 = – 10+ 79 . 3

a80 = – 10+ 237

a80 = 227

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Progressão Aritmética – P.A.

RESUMO

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

...

an = a1 + (n – 1)r

Fórmula do termo geral de uma P.A.

an = a1 + (n – 1)r

Fórmula da soma de uma P.A.

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Qual o 10º termo das progressões aritméticas abaixo?

  • 1, 4, 7, 10, ...

  • 18, 16, 14, ...

  • 110, 105, 100, ...

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Em uma P.A. o primeiro termo é – 5 e o quinto termo é 3. Qual a razão desta P.A.?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Calcule a quantidade de múltiplos de 3 existentes entre 100 e 1000.

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Um nadador estabeleceu que iria nadar 400m a mais que no treino anterior. Sabe-se que no 2º dia ele nadou 1100 m. Quantos metros ele nadará no 10º dia?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Os dois últimos termos de uma sequência de 13 termos são 35 e 42. Quais são os três primeiros termos dessa sequência?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Num teatro, a primeira fila tem 24 assentos, a segunda 28, a terceira 32, e assim por diante. Quantos assentos têm a 18ª fila?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Encontre o 101º termo da P.A. (– 4, 1, 6,...)

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Em uma estrada são instalados telefones S.O.S a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones instalados no trecho que vai do quilometro 5 ao 61, sabendo que nessas duas marcas existem telefones instalados e considerando inclusive esses dois telefones.

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Calcule a soma dos termos da P.A. (2, 4, 6, 8, 10)

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Calcule a soma dos termos da P.A. (23, 28, 33, 38, 43)

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Qual a soma dos trinta primeiros termos da P.A.

  • (4, 9, 14, 19, ...)?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00 por mês. A partir daí, o valor da mensalidade sofre um decréscimo de R$ 8,00 a cada mês.

  • a) Quanto o aluno pagará no 8º mês do plano?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00 por mês. A partir daí, o valor da mensalidade sofre um decréscimo de R$ 8,00 a cada mês.

  • b) Qual o valor total anual pago pelo aluno?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

  • Uma herança deve ser dividida em P.A. de razão R$ 6 000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais velho receba a maior parte, que é de R$ 45 000,00.

  • Quanto cada filho receberá?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

Uma herança deve ser dividida em P.A. de razão R$ 6 000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais velho receba a maior parte, que é de R$ 45 000,00.

Qual é o valor total da herança a ser dividida?

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

Determinar o 10º termo de uma P.A., sabendo que a soma dos seus 48 primeiros termos é igual a 1008 e que a razão é r = 2.

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

Calcule a soma dos 24 primeiros termos de cada P.A.

a)

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

Calcule a soma dos 24 primeiros termos de cada P.A.

b)

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

Em uma P.A., sabe-se que a soma dos 20 primeiros termos é igual a 200 e que a soma dos 30 primeiros é zero. Determine o valor do primeiro termo desta P.A.

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Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios

Um cinema tem 448 lugares, distribuídos da seguinte maneira: na primeira fila, têm-se 13 poltronas, na segunda, 15, na terceira, 17, e assim sucessivamente, até completar n filas. Determine o número total de filas desse cinema.

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