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第十八章 分析力学基础

第十八章 分析力学基础. 沈阳建筑大学 侯祥林. 第十八章 分析力学基础. 第十八章引言. § 18-1 自由度和广义坐标. § 18- 2 以广义坐标表示的质点系平衡条件. §18-3 动力学普遍方程. 动力学普遍方程例题. 拉格朗日方程例题. § 18-4 拉格朗日方程. 第十八章 分析力学基础. 矢量力学 : 解决质点和简单刚体 达朗伯原理 : 静力学方法求解动力学问题； 虚位移原理 : 动力学方法解静力学平衡问题； 达朗伯原理和虚位移原理 结合将推出 质点动力学普遍方程 ; 拉格朗日方程 ; 解决非自由质点系的动力学问题. ×.

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第十八章 分析力学基础

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  1. 第十八章 分析力学基础 沈阳建筑大学 侯祥林

  2. 第十八章 分析力学基础 第十八章引言 § 18-1 自由度和广义坐标 § 18- 2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18-3 动力学普遍方程 动力学普遍方程例题 拉格朗日方程例题 § 18-4 拉格朗日方程

  3. 第十八章 分析力学基础 矢量力学: 解决质点和简单刚体 达朗伯原理: 静力学方法求解动力学问题； 虚位移原理: 动力学方法解静力学平衡问题； 达朗伯原理和虚位移原理结合将推出质点动力学普遍方程;拉格朗日方程; 解决非自由质点系的动力学问题 ×

  4. § 18-1 自由度和广义坐标 在空间：一个自由质点位置需要3个独立参数，即自由质点在空间有3个自由度。 在平面：需要2个独立参数，即质点有2个自由度。 受到运动约束：质点自由度数将减少。 完整约束：约束方程中不含速度项； 稳定（定常）约束：约束方程中不显含时间t 若具有n个质点的质点系，有s个完整约束方程： 则：n个质点的质点系总自由度数为： 描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标； 完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。 ×

  5. 自由度数为： 自由度数为： 若质点限定在半球面上运动，球半径为R，是具有1个质点的空间质点系，自由度数为3，有1个约束方程： 通常用2个独立参数ψ和θ表示 由无重刚杆与小球构成平面摆，做定轴转动，摆长为l，是具有1个质点的平面质点系，自由度为2，有1个约束方程： 用一个独立参数ψ表示。 ×

  6. 设n个质点组成质点系受s个双面约束 用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标： 对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。 进行变分计算： ×

  7. 为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。 同理： ×

  8. § 18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。 这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移之间的关系。 若直接用广义坐标变分来表示虚位移，广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简洁形式。 ×

  9. 设： 则： 为广义虚位移 称为广义力 它的量纲由对应的广义虚位移而定。 δk为线位移， Qk 量纲是力的量纲； δk为角位移， Qk 量纲是力矩的量纲。 由于广义坐标都是独立的，广义虚位移是任意的。 上式成立必须满足： 质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零 ×

  10. 质点系具有N个自由度，由N个广义力，则有N个平衡方程是互相独立的，可联立求解质点系的平衡问题 。 大多数工程机构只有一个自由度，这只需要列出一个广义力等于零的平衡问题。 广义力求解方法有两种： 法1. 法2. 给质点系一个广义虚位移不等于零，而其它（N-1）个广义虚位移等于零。 ×

  11. 质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质点坐标的函数，总势能为V表示为：质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质点坐标的函数，总势能为V表示为： 虚功为： 虚位移原理表达为： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。 ×

  12. 用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义坐标函数，总势能为V为：用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义坐标函数，总势能为V为： 广义力为： 法3: 平衡条件为： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。 ×

  13. 表示 例6 复合摆机构， A、B点位置作用力F1 ,F2， F. 。用广义坐标表示A、B点位置，求平衡时作用力F1 ,F2， F与ψ1，ψ2关系。 解：方法 1： 1）取整个系统为研究对象，A,B 2个质点具有4个自由度。 两个约束方程： 该质点系自由度数为：4-2=2,可以用2个独立参数。 2）用广义坐标表示A,B ×

  14. ×

  15. ×

  16. 直接计算： （4）虚位移原理： ×

  17. ×

  18. 不变，给 虚位移 方法 2： ×

  19. 不变，给 虚位移 选题 ×

  20. §18-3 动力学普遍方程 设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi . 如果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔原理，Fi 、Fni、 FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平衡力系，质点系具有理想约束. 应用虚位移原理，得到： ×

  21. 得到： 在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。 称为动力学普遍方程。 ×

  22. 例1 图示滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为m1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量m2重物，滑轮和绳子重量以及轮轴摩擦忽略不计，求m2重物下降的加速度。 解： （1）取整个系统为研究对象，（2）力分析 设m2重物下降的加速度为a2， 设m1重物下降的加速度为a1。 系统的主动力为：m1g、m2g 惯性力为： 2）给系统虚位移s1 和s2 ×

  23. 3）动力学普遍方程： 代入加速度和虚位移关系得到： 选题 ×

  24. 例2 两个半径皆为r的均质轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的斜面上作纯滚动，设轮子质量皆为m1，对轮心的转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的加速度。 解： （1）取系统为研究对象 （2）受力分析： 主动力m1g、m2g （3）杆作平动，设杆的加速度大小为a 轮作平面运动： 质心加速度为：a 角加速度为：a/r 惯性力： ×

  25. （4）给杆虚位移δs 轮虚转角位移为：δψ=δs/r （5）动力学普遍方程： 选题 ×

  26. ×

  27. o 例3 如图二相同圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮Ⅰ可绕O轴转动，二轮相连绳铅直时，轮Ⅱ中心C的加速度。 解： （1）取系统为研究对象 （2）力分析： 作用的主动力mg （3）设轮Ⅰ的角加速度为α1 轮Ⅱ的角加速度为α2 轮Ⅰ惯性力偶：MIⅠ=J1α1 轮ⅠI 惯性力偶：MIⅡ=J2α2 惯性力：FI=maC ×

  28. I 轮定轴转动 II 轮平面运动 取B为基点 4)加虚位移： 轮Ⅰ： δψⅠ 轮ⅠI ：δψⅡ ×

  29. 5) 动力学普遍方程： ×

  30. 由虚位移的任意性： 解得： 选题 ×

  31. § 18-4 第一类拉格朗日方程 设n个质点组成质点系受s个双面约束 设： 由动力学普遍定理： 第一类拉格朗日方程 ×

  32. 例7 如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。 解： 1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2、y2。 2）运动分析： 系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。 ×

  33. ×

  34. 约束方程微分，消去 ×

  35. § 18-5 第二类拉格朗日方程 当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。 动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。 设一质点系由n个质点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、…qn表示系统的广义坐标。 设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为 ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数： ×

  36. 由质点系普遍方程： 上式第一项又可以表示为： 注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定为零。 ×

  37. 代入上式第二项得: ×

  38. 对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。 所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有： 这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。 表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。 对广义力做如下变换 ×

  39. 其中 再对 求偏导数： 进一步简化，先证明两个等式 1.证明： 在完整约束下 对时间求导数 是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。 得证 ×

  40. 将 对时间求导数得： 2.证明 ： 对某qj求偏导数 由此得证 ×

  41. ×

  42. 得 上式称为拉格朗日方程 为质点系的动能 其中 该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，每一个方程都是二阶常微分方程。 ×

  43. 如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广义力Qk可写成如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广义力Qk可写成 于是拉格朗日方程可写成 上式就是保守系统的拉格朗日方程。 记L=T-V，L称为拉格朗日函数或动势。 ×

  44. 因为势能是坐标的函数 拉格朗日方程用动势L =T-V表示 格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。 拉格朗日方程的表达式非常简洁，应用时只需计算系统的动能和广义力； 对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。 ×

  45. ×

  46. 例4 在水平面内运行的行星齿轮机构如图所示。均质系杆OA的质量为m1，它可绕端点O转动，另一端装有一质量为m2、半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时，求该系杆的运动方程。 解： 1）取系统为研究对象 机构具有1个自由度，选系杆转角ψ作为广义坐标。 系杆对O轴的转动惯量为JO。小齿轮对其质心A的转动惯量为JA。 2）运动分析； A点的速度为： ×

  47. 小齿轮的绝对角速度 系统的动能等于系杆的动能与小齿轮的动能的和，即 ×

  48. 3）拉格朗日方程 得： 解得： 选题 ×

  49. 例 5 均质杆AB长为l ，质量为m ，借助A端销子沿斜面滑下，斜面升角为θ，不计销子质量和摩擦，求杆的运动微分方程。又设杆当ψ =0时由静止开始运动，求开始运动时斜面受到的压力。 解： 1）取系统为研究对象 杆作平面运动 此系统具有2个自由度。 广义坐标为x，ψ 2）运动分析 ×

  50. ×

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