Regresi n por m nimos cuadrados
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REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS - PowerPoint PPT Presentation


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REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS. -JOHNNY CARPIO QUIRÓS  -DOUGLAS ESPINOZA -DIEGO ANÍBAL NAVARRO CARRILLO -MAURICIO RETANA FERNANDEZ -MARCIA VEGA MONTIEL    -RAQUEL VILLALOBOS RODRIGUEZ. REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS. Regresión Lineal Múltiple. Mínimos Cuadrados Lineales.

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Regresi n por m nimos cuadrados

REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

-JOHNNY CARPIO QUIRÓS 

-DOUGLAS ESPINOZA

-DIEGO ANÍBAL NAVARRO CARRILLO

-MAURICIO RETANA FERNANDEZ

-MARCIA VEGA MONTIEL   

-RAQUEL VILLALOBOS RODRIGUEZ


Regresi n por m nimos cuadrados1

REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

Regresión Lineal Múltiple.

Mínimos Cuadrados Lineales.

Regresión No Lineal.



Definici n
DEFINICIÓN

  • Extensión útil de la regresión lineal cuando y es una función lineal de dos o más variables independientes.

  • Ejemplo:





Ejemplo
EJEMPLO

  • Los datos de la Tabla 1 se calcularon según la ecuación:

  • Utilice regresión lineal para ajustar esos datos.






Historia
HISTORIA

  • En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito maravilloso de resolver ecuaciones no lineales de Kepler por el método de mínimos cuadrados : simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de gauss Markov.


  • Las regresiones: lineal, polinomial y lineal múltiple pertenecen al siguiente modelo lineal general de mínimos cuadrados:

    donde todos los zm son funciones diferentes y los an son los coeficientes numéricos (“y” depende de múltiples valores de “x”, esto es, x1, x2, x3, … , xm).



  • donde [Z] es una matriz de los valores calculados de las funciones z en los valores medidos de las variables independientes (todos los valores de “x” en una tabla).

    donde m es el número de variables en el modelo (número de funciones “x”) y n el número de datos (número de valores “x”). [Z] no siempre es una matriz cuadrada.






Ejemplo1

Dados los datos: LU, Cholesky o matriz inversa.

Ajuste por mínimos cuadrados

EJEMPLO:


Por tanto nuestro sistema a resolver ser
Por tanto, nuestro sistema a resolver será: LU, Cholesky o matriz inversa.

de donde obtenemos que:

tendremos que el polinomio viene dado por:


Para ajustar los datos a una cuadrática (polinomio de grado 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:


Se obtienen: 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Con lo que el sistema a resolver es:


Cuya solución viene dada por: 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

y, por lo tanto, la cuadrática de ajuste es:


Regresi n no lineal

REGRESIÓN NO LINEAL 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:


Utilidad
UTILIDAD 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

  • Existe una gran cantidad de casos en ingeniería en donde modelos no lineales deben ser ajustados con datos.


En qu se basa
¿EN QUÉ SE BASA? 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

  • Al igual que en los mínimos cuadrados lineales se basa en la determinación de los valores de los parámetros que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos, la solución debe proceder en una forma iterativa.


C mo funciona
¿CÓMO FUNCIONA? 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

  • El método de Gauss-Newton sirve para minimizar los cuadrados de los residuos entre datos y ecuaciones no lineales.

  • Forma lineal aproximada por medio de una expansión por serie de Taylor.

  • Nuevas estimaciones por medio de la teoría de mínimos cuadrados.


M todo de gauss newton
MÉTODO DE GAUSS-NEWTON 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

  • Para resolver problemas no lineales por mínimos cuadrados.

  • Es un proceso iterativo. Debemos proporcionar una estimación inicial del parámetro vector que denominaremos p0.


  • Dadas 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones: m funciones f1, ..., fm de n parámetros p1, ..., pn con m≥n, queremos minimizar la suma

  • Donde, p se refiere al vector (p1, ..., pn).


  • Una estimación inicial del parámetro vector es 2), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones: p0.

  • Estimaciones posteriores pk para el vector parámetro son producidas por la relación recurrente:

  • donde f=(f1, ..., fm) yJf(p) denota el Jacobiano de f en p (nótese que no es necesario que Jf sea cuadrada).



Criterio de paro
CRITERIO DE PARO utiliza también un algoritmo de busqueda lineal: en lugar de la fórmula anterior para

  • El procedimiento antes descrito para la regresión no lineal se repite hasta que la solución converge, es decir cuando

  • este por debajo de un criterio de paro aceptable.


Posibles problemas
POSIBLES PROBLEMAS utiliza también un algoritmo de busqueda lineal: en lugar de la fórmula anterior para

  • Para el método de Gauss-Newton las derivadas parciales pueden ser difíciles de calcular, una alternativa es:

  • Donde delta es la perturbación fraccional pequeña.


Otros posibles problemas
OTROS POSIBLES PROBLEMAS utiliza también un algoritmo de busqueda lineal: en lugar de la fórmula anterior para

  • Puede converger con lentitud

  • Puede oscilar ampliamente, o sea cambia en forma continua de dirección.

  • Puede no converger



  • Gráfico de residuos utiliza también un algoritmo de busqueda lineal: en lugar de la fórmula anterior para


Ejemplo2
EJEMPLO utiliza también un algoritmo de busqueda lineal: en lugar de la fórmula anterior para

  • Dada la función f(x;ao,a1)=ao (1-e-a1x)






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