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第十一章 统计推断 PowerPoint PPT Presentation


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第十一章 统计推断. 江西工业工程职业技术学院课时计划 课程名称 经济数学 2009~ 10 年第 二 学期 第 14 周 第 1 次课 总第 11 次课. 课 题 第十一章 统计推断 11.3 参数的点估计 11.4 区间估计 目的要求 1 、理解点估计、区间估计的的概念。 2 、掌握点估计、区间估计在经济管理中的应用。 重点、难点和突破的方概念法 重点、 难点: 点估计、区间估计的的概念、点估计、区间估计在经济 管理中的应用。 突破方法: 通过对例题的详细讲解与课堂练习相结合

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第十一章 统计推断

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第十一章 统计推断


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江西工业工程职业技术学院课时计划

课程名称经济数学2009~ 10年第二学期 第14周 第1 次课 总第11次课

课 题 第十一章 统计推断

11.3 参数的点估计 11.4 区间估计

目的要求

1、理解点估计、区间估计的的概念。

2、掌握点估计、区间估计在经济管理中的应用。

重点、难点和突破的方概念法

重点、 难点:点估计、区间估计的的概念、点估计、区间估计在经济 管理中的应用。

突破方法:通过对例题的详细讲解与课堂练习相结合

复习提问

统计量、抽样分布

教具

多媒体等。

作业(附后)P242 :6、7

课后记

教学内容的步骤(附后)


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11.3 参数的点估计

11.3  参数的点估计

11.3.1 矩估计法

11.3.2 最大似然估计法

11.3.3估计量的评价标准


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11.3参数的点估计

  当总体的分布类型已知,对它的一个或多个未知参数进行估计时,称为参数估计,否则称为非参数估计.

  假设总体 的分布函数的形式为已知,但它的一个或多个参数未知.如果得到了 的一组样本观察值 , ,…, ,很自然地会想到用这组数据来估计总体参数的值,这类问题称为参数的点估计问题.

  有时不是对参数作定值估计,而是要估计参数的一个所在范围,并指出该参数被包含在该范围内的概率,这类问题称为参数的区间估计.


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上一页

上一页

下一页

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11.3.1参数的点估计

  设 为总体 的待估计的参数, , ,…, 为总体 的一个样本,构造一个统计量         作为参数 的估计,称统计量  为参数  的一个估计量,

当 , ,…, 为一组样本值时,则        就是 的一个点估计值.

返回

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11.3.1矩估计法

  设总体 的分布中包含未知参数 , ,…, ,则其分布函数可以表成 .显然它的  阶原点矩            中也包含了未知参数 , , …, ,即        .又设 ,  ,…, 为总体 的 个样本值,样本

的 阶原点矩为 ,

按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有


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11.3.1矩估计法

  由上面 个方程,解出 个未知参数     就是参数      的矩估计量.

例1设 , ,…, 是来自正态总体    的一个样本,试求 和 的估计量.


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从上式解出 和 ,得

  若要求标准差 的估计量 ,则从上式可得

11.3.1矩估计法

解 因为 , ,…, 是来自正态总体    的一个样本,因此     , , ,2, …, .

  于是              ,从而有


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求 和 的估计值.

即 和 的估计值分别为

11.3.1矩估计法

例2 设某种灯泡寿命      , 其中 和 未知,今随机抽取5只灯泡,测得寿命(单位:)分别为

1 623,1 527,1 287,1 432,1 591.

解 根据例1的结论,得


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例3 设 服从均匀分布

,其他

11.3.1矩估计法

设1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1是总体  的一组样本值,试估计这个总体的数学期望、方差以及参数 .

解 分别用样本的均值和方差估计总体的均值和方差,故总体期望的估计值为

总体方差的估计值为


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  为了估计参数 ,先求总体的数学期望   ,

令   ,则得 的矩估计值 为

11.3.1矩估计法


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11.3.2最大似然估计法

  设 , ,…, 是来自密度为   的一个样本, 是未知参数,称          为 的似然函数,记作       即

  最大似然估计法的直观想法就是:既然随机试验的结果得到样本观测值 , ,…, ,说明这组样本观测值出现的可能性(概率)最大,因此我们所选取的参数 的估计量 应使似然函数       达到极大值,即当参数 用 作估计量时


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11.3.2最大似然估计法

使似然函数        达到极大值的 称为参数 的最大似然估计量.记作

如果似然函数        关于参数 是可微的,求      

的极大值时,解方程

从中得到 ,经过适当检验,便可得到 的最大似然估计量 .实际计算时,往往先对 取对数,然后再解方程

从中得到的使  取得极大值的 , 就是参数 的最大似然估计量.


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取对数,得        .

11.3.2最大似然估计法

例4 设总体  的分布为指数分布,其密度为

其中 为未知参数.设 , ,…, 是来自总体 的一个样本,求参数 的最大似然估计.

解 似然函数为


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从中解出的使  取得极大值的 , ,就是参数 , 的最大似然估计量.

解方程

故参数 的最大似然估计量为

11.3.2最大似然估计法

 总体分布 中含有两个未知参数 , 时,最大似然估计法仍然适用,这时似然函数是二元函数         .由二元函数极值原理


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取对数

11.3.2最大似然估计法

例5 设 , ,…, 是正态总体    的一个样本,试求 和 的最大似然估计.

 解 似然函数是


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于是得到 和  的最大似然估计是

.

11.3.2最大似然估计法

解方程组

得到

与矩估计法的结论相同.


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例6 证明:           且    是总体均值 的无偏估计量.

证 因为            

                 ,

则称 为参数 的无偏估计量.

所以 是 的无偏估计.

11.3.3估计量的评价标准

1.无偏性

定义11.5如果参数 的估计量   满足:


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11.3.3估计量的评价标准

例7 设 , ,…, 是来自总体 的一个样本,证明:

(1)样本均值     是总体均值 的无偏估计;

(2)统计量       不是总体方差 的无偏估计,而

是 的无偏估计.


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证(1)由于    ,  ,2,…, ,

所以

(2)

11.3.3估计量的评价标准


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定义11.6 若 , 都是 的无偏估计,而且      ,则称 比 更有效.

11.3.3估计量的评价标准

  注意:无偏性的要求并不是总能满足的,例如对正态总体,虽然         是 的无偏估计,但是

却不是总体标准差 的无偏估计.

2.有效性


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例8 若总体 服从泊松分布

证 因为     ,所以     ,  ,即 与 都是 的无偏估计.但是     ,     ,所以 比 有效. 

,1,2,…

11.3.3估计量的评价标准

对于容量为    的样本 , ,…, ,证明   比        有效.


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11.3.3估计量的评价标准

  方差最小的无偏估计是一个“最佳”的估计.可以证明:

(1)频率 是概率 的最小方差无偏估计;

(2)若总体  服从正态分布  ,则 与 分别是 与 的最小方差无偏估计量.


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11.4 区间估计

11.4.1 置信区间与置信度

11.4.2 数学期望的区间估计

11.4.3 方差的区间估计


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解 因为测量值     ,有

11.4.1置信区间与置信度

例9 设 , ,…, 是物体长度 的测量值,已知测量误差      是各次独立的,都遵从    ,其中 是已知的常数,问以99%的把握可以断言长度的真值 在什么范围内?

 , ,…, 是独立同分布的随机变量,即       ,于是 的点估计量量      .由正态分布的性质可知


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11.4.1置信区间与置信度

也即以0.95的概率断言不等式      成立,此不等式就是         或写成

.这样就获得了长度真值 的一个估计区间,

该区间称为置信度为95%的置信区间,当然,也可能碰上这个区间不包含真值 的偶然情况,出现这种偶然情况的概率有5%(即1-95%).

  完全类似,有以99%的把握(概率)断言真值


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(12.4.1)

11.4.1置信区间与置信度

定义11.5 设 , ,…, 是分布密度为   的一个样本,对给定的    ,如能求得两个统计量      

使得

则称  为置信度,称区间      ,

为参数  的置信度为   的置信区间.置信度简称为信度,置信度为  的置信区间在不至于混淆时也简称为置信区间.


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  置信区间的含义是:在重复的随机抽样中,如果得到很多(12.4.1)式这样的区间,则其中的100% 分含有直值 ,而只有 %不包含真值 .从定义看出,置信区间是与一定的概率保证相应的;概率大的相应的置信区间长度就长;概率相同时,测量精度越高(测量误差越小),相应的置信区间就越短.

11.4.1置信区间与置信度


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3.利用估计量的分布给出置信区间.例1中利用     导出 ,于是 .

1.明确问题:明确要估计的参数.如例1中要估计的参数是 (总体的期望),确定置信度.

2.用参数的点估计,导出估计量的分布.例1中用 的估计量 ,并已知      .

11.4.1置信区间与置信度

  求置信区间的步骤:


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设 , ,…, 为总体    的一个样本.

对数学期望 的区间估计分为两类情况:

1.已知方差   (已知),对期望 进行区间估计

所以          .

11.4.2数学期望的区间估计

  ,由定理12.1知


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故所求期望 的置信度为  的置信区间为

于是由不等式        ,推得

11.4.2数学期望的区间估计

对于给定的置信度   ,存在

使得

返回


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解 因为     ,所以    ,查正态分布数值表,          ,故    ,于是

例10 从正态总体   中抽取容量为4的样本,样本均值为       .求 的置信度为0.95的置信区间.

即 的置信度为0.95的置信区间是(9.28,17.12).

11.4.2数学期望的区间估计


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对于给定的置信度  ,存在      ,

,

2.未知方差 ,对期望 进行区间估计

11.4.2数学期望的区间估计

  设 , ,…, 为总体    的一个样本,由于 未知,用 的无偏估计样本方差  来估计 ,并且由定理12.3知道


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使得

例11 用某仪器测量温度,重复5次,得   ,   ,   ,   ,  .若测得的数据服从正态分布,试求温度真值所在的范围?

故所求期望 的置信度为  置信区间为

11.4.2数学期望的区间估计


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解 在总体方差未知的情况下,总体均值

(温度真值)的置信区间是

计算知        ,

查  分布表可知

11.4.2数学期望的区间估计


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所以                ,

11.4.2数学期望的区间估计

故温度真值的置信度为0.95的置信区间是

(1 244.2,1 273.8).


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11.4.3方差的区间估计

  考虑方差 相应的样本方差 ,并由定理12.1知道

故有

由此得:当总体    的参数 未知时,方差 的  的置信区间为


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11.4.3方差的区间估计

例12 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间.

解  的置信区间为

查表可知            ,

返回


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11.4.3方差的区间估计

  已知    ,例2已计算出    ,故

于是总体标准差 的置信度为0.95的置信区间是(7.2,34.2).


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