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第三篇 代数系统

第三篇 代数系统. 第六章 半群、语言和自动机. §6.1 半群与语言 §6.2 语言和文法 §6.3 有限状态机 §6.4 有限状态自动机 §6.5 语言与自动机的关系. §6.1 半群与语言. 【 定义 6.1.1 】 对于定义了二元运算 “ ·” 的非空集合 A ，如果： (1) ，有 ， (2) ，有 ， 则集合 A 称为一个半群。为区别于集合 A ，常把上述半群记为（ A ， · ）。. §6.1 半群与语言.

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  1. 第三篇代数系统

  2. 第六章半群、语言和自动机 • §6.1 半群与语言 • §6.2 语言和文法 • §6.3 有限状态机 • §6.4 有限状态自动机 • §6.5 语言与自动机的关系

  3. §6.1 半群与语言 • 【定义6.1.1】 对于定义了二元运算“·”的非空集合A，如果： (1) ，有， (2) ，有， 则集合A称为一个半群。为区别于集合A，常把上述半群记为（A，·）。

  4. §6.1 半群与语言 • 【定义6.1.2】设（A，·）为一半群，如果存在元素，有e·a=a，则称e为A的一个左单位元。如果存在元素， 有，则称u为A的一个右单位元。若A的一个元素既是左单位元，又是右单位元，则称其为A的单位元。

  5. §6.1 半群与语言 • 【定义6.1.3】若A是含有单位元e的半群，对于A中元素，如果存在使得，则称 为的左逆元，称为左可逆的；如果存在使得 ，则称c为的右逆元，称 为右可逆的。若既是左可逆的又是右可逆的，则称可逆。 • 在可逆的情形下， 的左逆 与右逆c必相等，称为 的逆元，记做 。

  6. §6.1 半群与语言 • 【性质6.1.1】若半群的单位元存在，则必唯一；在可逆的情况下每个元素的逆元也唯一。 • 【性质6.1.2】若半群中的元素a, b皆可逆，则(a·b)1=b1 · a1。(请自行推广至任意有限个元素的情形)

  7. §6.1 半群与语言 • 设是符号集，也称为字母表，上的字定义为中元素的一个有穷序列。例如 U = abbaabd 和V = abccdaa 都是字母表= {a, b, c, d}上的字。 • 为了叙述上的方便，aa记为a2，aaa记为a3，等等。此外，空序列也看成上的一个字，用ε表示空字。而用*表示上全体字组成的集合。

  8. §6.1 半群与语言 • 对任意U，V∈ *，把V的字母依次写在U的后面，就得到UV∈ *。这实际相当于一种封闭运算，即( *)2 中的元<U, V>在该运算下的值是UV∈ *，这种运算称为联接。 • *关于联接运算是一个半群, 这一特殊的半群又被称为上的自由半群（也称为由生成的半群）

  9. §6.1 半群与语言 • 由于上的自由半群含有幺元ε（这是因为空字ε与任何字联接的结果仍为该字），故 *同联接运算与空字ε构成了含幺半群（又称为独异点）。进一步发现，上的自由半群满足左和右的消去律。

  10. §6.1 半群与语言 • 我们将上字的集合定义为语言（用L表示）。 上的语言就是 *的一个子集（我们把空集 叫做空语言）。

  11. §6.1 半群与语言 • 【定理6.1.1】对A, B, C, *，为空语言，我们有 • （1）A = A = ； • （2）A{ε} = {ε}A = A； • （3）(AB)C = A(BC)； • （4）AC BD。

  12. §6.1 半群与语言 • 【定理6.1.2】对 A, B, C, *，我们有 （1）； （2）； （3）； （4）。

  13. §6.1 半群与语言 • 设是上的一个语言，我们规定，而对，这就产生了语言的n次幂语言 . • 【定义6.1.4】我们称为 的星闭包，而 称为的正闭包。

  14. §6.1 半群与语言 • 【定理6.1.3】 设A和B是上的语言，则 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）；

  15. §6.1 半群与语言 （6）； （7）； （8）； （9）。

  16. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.1】 设A是有限集合，A上的（形式）语言L是A上所有字符串的集合的子集。

  17. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.2】 一个短语构造文法（或文法）G组成为： （1）一个有限集合N，其元素称为非终结符号； （2）一个有限集合T，其元素称为终结符号，其中；

  18. §6.2 语言和文法 （3）的一个有限子集P，称为产生式的集合； （4）一个开始符号。 我们写为。

  19. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.3】设是一个文法。如果是一个产生式且，我们说可直接从推导并写为 如果对于，且对于可直接从推导，我们说可从推导并写为。我们称 是（从）的推导。

  20. §6.2 语言和文法 • 约定，的任意元素都是从自身可推导的。由G生成的语言是从 可推导的T上的所有字符串组成，记为。

  21. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.4】设G是一个文法并设是空串。如果每个产生式形式为 ，其中 则称G为无限制（0型）文法。

  22. §6.2 语言和文法 • 如果每个产生式形式为 我们称G为上下文有关（1型）文法。 • 如果每个产生式形式为 我们称G为上下文无关（2型）文法。

  23. §6.2 语言和文法 • 如果每个产生式形式为 则称G为正则（3型）文法。

  24. §6.2 语言和文法 • 以上讨论的四类文法，它们相互之间的关系可如图所示：

  25. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.5】如果存在一个上下文有关（上下文无关，正则）文法G使得L = L(G)，那么称语言L是上下文有关（上下文无关，正则）的。 • 【定义6.2.6】如果，那么我们称文法和是等价的。

  26. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.7】一个上下文无关交互Lindenmayer文法组成为 （1）一个有限的非终结符号集合N； （2）一个有限的终结符号集合T，满足 （3）一个有限的产生式集合P，其中 ； （4）一个开始符号。

  27. §6.2 语言和文法 • 【定义6.2.8】设是上下文无关交互Lindenmayer文法。如果，并在P中存在产生式，则我们写为，并说是直接可推导的。

  28. §6.3 有限状态机 • 【定义6.3.1】一个有限状态机M组成为 ⑴ 一个有限输入符号集合 ⑵ 一个有限输出符号集合 ⑶ 一个有限状态集合 ⑷ 一个从到的下个状态函数 ⑸ 一个从到 的输出函数 ⑹ 一个初始状态 我们写为。

  29. §6.3 有限状态机 • 【定义6.3.2】 设是一个有限状态机。M的转换图是一个有向图G，它的顶点是的成员，一个箭头指定初始状态。如果在状态下输入i使得，则G中存在一条有向边。在这种情形下，如果，则边被标记为i/o。

  30. §6.3 有限状态机 • 【定义6.3.3】 设是一个有限状态机。M的一个输入串是上的一个字符串。如果存在使 则字符串是M对应于输入串的输出串。

  31. §6.4 有限状态自动机 • 【定义6.4.1】一个有限状态自动机是有限状态机，输出符号集合是 ，并且当前的状态决定最后的输出。最后输出的那些状态称为接收状态。 • 有限状态自动机的转换图通常被绘制为接收状态放进双圆内且忽略输出符号。

  32. §6.4 有限状态自动机 • 【定义6.4.2】一个有限状态自动机A组成为 ⑴ 一个有限输入符号集合 ⑵ 一个有限状态集合 ⑶ 一个从到 的下个状态函数 ⑷ 接收状态的子集 ⑸ 一个初始状态 我们写为。

  33. §6.4 有限状态自动机 • 【定义6.4.3】设是一个有限状态自动机。设是上的一个串。如果存在状态满足 ⑴ ； ⑵ 对于，有； ⑶ ； 则我们说被A接收。

  34. §6.4 有限状态自动机 • 一个空串被接收当且仅当。 • 我们称是被A接收的字符串的集合并且说A接收。 • 设是 上的一个串。按上述⑴和⑵条件定义状态。我们称（有向）通路是A中表示的通路。我们可以得出如果通路P表示一个有限状态自动机A的串，则A接收当且仅当P终止在一个接收状态。

  35. §6.4 有限状态自动机 • 【定义6.4.4】一个非确定有限状态自动机A组成为 ⑴ 一个有限输入符号集合 ⑵ 一个有限状态集合 ⑶ 一个从到的下个状态函数 ⑷ 接收状态的子集 ⑸ 一个初始状态 我们写为。

  36. §6.4 有限状态自动机 • 【定义6.4.5】设是一个非确定有限状态自动机。一个空串被接收当且仅当。设是 上的一个串。如果存在状态满足： ⑴ ； ⑵ 对于，有； ⑶ ； 则我们说被A接收。

  37. §6.4 有限状态自动机 • 非确定有限状态自动机和有限状态自动机之间的唯一区别是，在有限状态自动机中，下个状态函数引导我们到唯一确定的状态，而在非确定有限状态自动机中，下个状态函数引导我们的一个状态集合。看起来似乎非确定有限状态自动机是一个更一般的概念，但是可以证明，给出一个非确定有限状态自动机，我们能够构造一个等价于它的有限状态自动机。

  38. §6.5 语言与自动机的关系 • 【定理6.5.1】设A是一个有限状态自动机，它以转换图形式给出。设是初始状态，T是输入符号的集合，N是状态的集合。如果存在从到的标记为x的边，则定义产生式，并且如果是一个接收状态，定义。设G是正则文法。则由A接收的字符串集合等于。

  39. §6.5 语言与自动机的关系 • 【定理6.5.2】设是正则文法。设 则非确定有限状态自动机 准确地接收。

  40. §6.5 语言与自动机的关系 • 【定理6.5.3】设是非确定有限状态自动机。设 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 则有限状态自动机等价于A。

  41. §6.5 语言与自动机的关系 • 【定理6.5.4】语言L是正则的当且仅当存在一个有限状态自动机准确接收L中的字符串。

  42. 第七章 群，环和域 • §7.1 群的基本概念 • §7.2 子群 • §7.3 群的同态与同构 • §7.4 子群的陪集 • §7.5 对称群，置换群，正规性与商群 • §7.6 群在集合上的作用 • §7.7 同态基本定理与同构定理 • §7.8 环的基本概念

  43. 第七章 群，环和域 • §7.9 子环，理想与商环 • §7.10 交换环中的因子分解 • §7.11 多项式环 • §7.12 多项式环的因子分解 • §7.13 域的基本概念 • §7.14 分裂域 • §7.15 有限域

  44. §7.1 群的基本概念 • 【定义7.1.1】设“  ”是集合G的一个二元运算(常称为乘法)，称(G，)为一个群，如果下列条件被满足： (1)a，b，cG，(a b) c = a  (b c)；即乘法满足结合律； (2)eG，使得aG，e a = a e = a；即存在单位元； (3)aG，bG，使得a b = b a = e；即每个元素均有逆元素。 • 该定义等价于：设(G，)是一个有单位元的半群，若的每个元都是可逆元，则称是一个群。 • 如果G是有限集合，则称(G，)是有限群，其元素的个数称为该群的阶。 • 满足交换律的群称为交换群或阿贝尔群，交换群的运算常用“＋”表示，并称是加法群。

  45. §7.1 群的基本概念

  46. §7.1 群的基本概念

  47. §7.1 群的基本概念

  48. §7.1 群的基本概念

  49. §7.1 群的基本概念

  50. §7.1 群的基本概念

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