11 09 2012
Download
1 / 59

А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012 - PowerPoint PPT Presentation


  • 206 Views
  • Uploaded on

Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовых рынков. А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012' - aimee


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
11 09 2012

Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородныхиндексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовыхрынков

А.А. Шананин

Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ)

11.09.2012


Построение метод вычисления положительно однородныхэкономических индексов___________________________________________________________

– потребительская корзина

– вектор цен на товары

– стоимость корзины товаров

– базовый период времени

– текущий период времени

– эффект Гершенкрона: замещение относительно подорожавших товаров относительно подешевевшими

Индекс спроса

Ласпейреса


Индексы Конюса метод вычисления положительно однородных

Пусть у нас задана система поверхностей безразличия. Спросу в момент времени соответствует уровень полезности , а спросу - уровень полезности Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени и имеющий полезность , обозначим . Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени t и имеющий полезность , обозначим .

индекс спроса Конюса-Ласпейреса.

индекс спроса Конюса-Пааше.


Задача о рационализируемости метод вычисления положительно однородных___________________________________________________________

– объемы потребления товаров

– цены на эти товары

– обратные функции спроса

– класс непрерывных, вогнутых, положительно-однородных и положительных в функций

Определение. рационализируемы в классе , если такая функция полезности , что


Предложение 1. метод вычисления положительно однородных

Постановки задачио рационализируемости

Пусть выполнено Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  • Существуют такие что

  • Существует функция такая что справедливо

    где Q(P) – преобразование Янга1) функцииF(X)

  • Существует , рационализирующая обратные функции спроса

    1) Преобразование Янга инволютивно в классе , т.е. двукратное

    применение переводит функцию в себя


Индексы Конюса метод вычисления положительно однородных

Предложение 2

Пусть функция полезности рационализируетобратные функции спроса . Тогдаиндекс Конюса-Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше

Предложение 3

Предложение

Пусть функция полезности рационализируетобратные функции спроса . Тогдаиндекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.


Индексы Дивизиа метод вычисления положительно однородных___________________________________________________________

  • Траектории (пути интегрирования)

  • Разные траектории – разные формулы для практических расчетов;


Индексы Конюса-Дивизиа метод вычисления положительно однородных___________________________________________________________

Предложение 6. (Балк, Халтен) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа.

Критика: наличие функциональной зависимости между ценами и объемами – функции спроса не общего положения. Существует ли такой индекс?


Критерий рационализируемости – метод вычисления положительно однородныхI___________________________________________________________

Определение. принадлежит классу , если

и в выполнены следующие условия:

  • строго квазивогнута;

  • хотя бы одно оптимальное на решение


Критерий рационализируемости – метод вычисления положительно однородныхII___________________________________________________________

Утверждение 1.

Пусть Обозначим

рационализируемы в тогда и только тогда, когда:

  • ни при каких

    4. различных

    5.


Проблема интегрируемости метод вычисления положительно однородных

Условия интегрируемости Фробениуса

- это условия типа равенства


Индекс потребления и индекс цен метод вычисления положительно однородныхТеория выявленного предпочтения___________________________________________________________

Функция полезности – индекс потребления

– индекс цен

Определение.выявленнопредпочтительнее чем

(обозначается ), если и только если

Слабая аксиома. Если

то


Сильная аксиома и однородная сильная аксиома теории выявленного предпочтения___________________________________________________________

Определение.косвенно выявленно предпочтительнее, чем

(обозначается ), если и только если что

Сильная аксиома. Если то

Определение.удовлетворяют однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА), если


Рационализируемость сильная аксиома теории выявленного предпочтенияобратных функций спроса ___________________________________________________________

Утверждение 2

Пусть

Тогда следующие утверждения эквивалентны.

  • рационализируемы в классе .

  • решение системы

  • удовлетворяют ОСА.


Рационализируемость сильная аксиома теории выявленного предпочтенияторговой статистики___________________________________________________________

– торговая статистика

– объемы потребления товаров

– цены на эти товары

Торговая статистика – значения обратных функций спроса в точках

Определение. Торговая статистика называется рационализируемой, если ее можно продолжить до обратных функций спроса, рационализируемых в классе .


Теорема Африата – Вериана сильная аксиома теории выявленного предпочтения___________________________________________________________

Следующие утверждения эквивалентны:

  • функция полезности вида ,

    рационализирующая торговую статистику , т.е.

    2) решение системы линейных неравенств

    (I)

    3) удовлетворяет однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА):


Непараметрический метод построения индекса Конюса-Дивизиа _______________________________________________

Предложение 7

Пусть где удовлетворяют (I), а

Тогда

Такой метод вычисления индексов называется непараметрическимметодом.


Алгоритм Варшалла – Флойда построения индекса Конюса-Дивизиа __________________________________________________________________________________________________________

– матрица индексов цен Пааше

2)такие что

(I) Разрешима , и

Рассмотрим идемпотентное полукольцо с операциями и

Тогда


Необходимость численных экспериментов

  • Что содержательно означает нарушение условий существования положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа?

  • Как влияют на условия существования первичная обработка статистики и выбор групп товаров?

  • Как использовать индексы Конюса-Дивизиа для анализа сегментации рынков и структуры спроса?


1921 1938
Шведская статистика 1921-1938 гг. экспериментов___________________________________________________________

  • Колебания индекса Конюса-Дивизиа сглажены по сравнению с исходными данными;

  • 1933-1935: нарушение условий рационализируемости;

  • Последствия Великой Экономической Депрессии: появление новых потребностей и товаров (холодильники);

  • Связь системных перестроек экономики и нарушения условий рационализируемости выявлена непараметрическим методом.


1975 1984
Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984. ___________________________________________________________


1975 19841
Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984. ___________________________________________________________


Венгрия: классификация товаров Пример: ___________________________________________________________

Товарные группы различаются длительностью службы товаров. Первые три класса – товары повседневного спроса – имеют время потребления месяц, «Одежда» – около года, оставшиеся классы – 5-10 лет (товары и услуги длительного пользования).


Изменение структуры потребления Пример: ___________________________________________________________

- Появление рыночных отношений на потребительском рынке;

- Сдвиг потребления в пользу товаров длительного пользования;


Дерево экономических индексов. Сегментация рынков.___________________________________________________________

– все остальные товары


Все товары и услуги Сегментация рынков.

Товары и услуги повседневного спроса

Товары и услуги длительного пользования

Прод. товары,

Напитки,

Табачные изделия

Одежда

ЖКО, Здравоохранение,

Транспорт,

Образование

Статистика Венгрии. Отделимость ___________________________________________________________

  • Группа товаров "Одежда" не удовлетворяет ОСА, но удовлетворяет ОСА, если добавить еще один агрегированный товар "Продукты питания".

  • Классификация, используемая товароведами, оказалась неадекватной;

  • Процессам, которые происходили в стране, соответствует другая классификация, основанная на характерном времени потребления;


Статистика Нидерландов Сегментация рынков.___________________________________________________________

  • Предварительная обработка статистики (классификация по группам) в общем случае не адекватно отражает ее свойства, так как опирается на эвристический опыт и лингвистические особенности. Как предварительная обработка искажает информацию о взаимозаменяемости товаров?

  • Статистика Нидерландов: из групп, выделенных товароведами, ни одна не рационализируема. Тем не менее, вся статистика рационализируема.


Обобщенный непараметрический метод___________________________________________________________

Обобщение непараметрического метода:

(I)

Минимальное , при котором разрешима система (I) , называется показателем нерациональности торговой статистики.

Математический смысл показателя нерациональности: связь с идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона для матрицы индексов цен Пааше.


Статистика Нидерландов. ОНМ. метод___________________________________________________________

  • Товарные группы, выделенные стат. cлужбами, не рационализируемы;

  • С помощью ОНМ можно посчитать индексы:

    • Индекс по индексам групп;

    • Индекс по всем товарам

  • Максимальное отклонение индексов, построенных двумя способами, составляет 1.76%.

  • ОНМ позволяет исследовать структуру спроса

  • Появляется возможность анализировать влияние предварительной обработки торговой статистики.


Анализ дерева индексов с помощью ОНМ ___________________________________________________________

При использовании ОНМ у нас появляется возможность проверить, насколько предварительная обработка с вычислением индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, влияет на рационализируемость. Действительно, мы можем вычислить индекс тремя способами:

Первый способ: посчитать напрямую по всем товарам торговой статистики.

Второй способ: С предварительным агрегированием по группам, т.е. рассчитать сначала индексы Конюса-Дивизиа для групп из классификатора, а затем построить индекс всей статистики.

Третий способ: С предварительным агрегированием по группам, но при этом рассчитывая для групп индекс цен Ласпейреса и спроса Пааше, т.е. имитируя обработку, которая обычно производится статистическими службами.


Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Нидерланды. ___________________________________________________________


Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация статистических служб________________________________________________________

Для расчетов использована классификация статистических служб: Продтовары, Напитки, ЖКХ, Медицина и т.д.


Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация по времени потребления________________________________________________________

Для расчетов использована классификация по характерному времени потребления: товары повседневного спроса и товары длительного пользования


Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Вывод ___________________________________________________________

На всех рисунках отклонение графиков, построенных по первому и второму способам, меньше, чем по первому и третьему. Таким образом, можно утверждать, что агрегирование с построением для групп товаров индексов Конюса-Дивизиа в большей степени отражает структуру потребительского спроса.


Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________

  • Статистика содержит помесячные данные (январь 2007 - декабрь 2007) о продажах безалкогольных напитков в 643 магазинах г. Москвы, 14 наименований товаров;

  • Товар – конкретное наименование в конкретном магазине;

  • На рынке пара дополняющих товаров: торговая услуга по продаже и сам товар;

  • Вопрос: сегментация зависит от торговой услуги или от наименования (бренда)?


Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________

  • Почти все группы, объединяющие товары одного бренда, рационализируемы;

  • Более 2/3 классов-магазинов имеют показатель нерациональности, больший, чем единственный нерационализируемый класс-бренд;

  • Разброс цен внутри бренда достаточно велик (до 50%);

  • Вывод: выявлена сегментация по брендам.


Первичная статистика. Компьютерное оборудование___________________________________________________________

  • Наименьший показатель нерациональности имеет группа "Все товары". Она, по-видимому, полнее учитывает отношение взаимодополнения и взаимозамещения товаров.


Компьютерное оборудование. Объединение классов. ___________________________________________________________

Объединения групп имеют намного меньший показатель нерациональности, чем сами группы. Это связано с тем, что объединения полнее учитывают свойства взаимозаменяемости и взаимодополняемости. Хорошим примером служит то, что товары из группы "Память" образуют рационализируемую группу с "Процессорами" и "Сетевым оборудованием". Это иллюстрирует поведение потребителя: обычно покупатель приобретает память и процессор не по отдельности, а вместе, чтобы характеристики подходили друг к другу.


Статистика фондового рынка Объединение классов. ___________________________________________________________

  • - цены акций, - объемы торгов в штуках

  • 21 крупнейшая мировая биржа:

    • Нью-Йорксая фондовая биржа, Лондонская фондовая биржа,

    • Фондовая биржа Токио,

    • Фондовая биржа Франкфурта,

    • Фондовая биржа Гонконга,

    • Фондовая биржа Шанхая...

Проблемы:

  • Разное число перепродаж крупных пакетов акций, различная активность спекулянтов влияет на рационализируемость;

  • Биржи торгуются в разных валютах.


Анализ валютного рынка. Арбитражные цепочки. ___________________________________________________________

Пусть - это количество валюты j, которое мы можем получить, обменяв единицу валюты i. Полученная матрица A называется матрицей кросс-курсов. Будем говорить, что матрица кросс-курсов А допускает арбитражную цепочку , если

  • Теорема (Африат, Вериан) Пусть А – положительная матрица, тогда следующие утверждения эквиваленты:

  • У матрицы А отсутствуют арбитражные цепочки;

  • Система линейных неравенств имеет положительное решение

  • Существование решения можно связать с продуктивностью

  • матрицы А в идемпотентном смысле.


Анализ валютного рынка. Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________

С помощью алгоритма Варшалла-Флойда решим неравенства

получим «веса» валют . Умножая решение на одно и то же положительное число, мы снова получим решение. Положим «вес» доллара США равным единице.


Мировой индекс Приведение к единой валюте.


Мировой индекс и Нью-Йорк Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________

Мировой индекс более волатилен, чем индекс для Нью-Йоркскойфондовой биржи, который в свою очередь более волатилен, чем индексДоу-Джонса.


Бразилия Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________

Бразильский рынок обладает очень высокой волатильностью. Например, по сравнению с мировым индексом.


Развитые и развивающиеся рынки Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________

В целом развивающиеся рынки более волатильны.


Финансовый сектор Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________

ОНМ позволяет строить индексы по отраслям. Анализ показал,что наиболее сильно от кризиса 2008 года пострадал финансовыйсектор.


Компании-производители потребительских товаров ___________________________________________________________

Компании-производители потребительских товаров оказалистабилизирующее влияние на рынок.


Металлургия потребительских товаров ___________________________________________________________

Металлургические компании продемонстрировали наибольший рост перед кризисом.


Сегментация фондового рынка потребительских товаров ___________________________________________________________

Индексы, построенные по индексам отраслей, по индексам отдельных бирж и по акциям почти совпадают.


Рационализируемость потребительских товаров ___________________________________________________________

Показатель нерациональности наименьший для всего мирового рынка.


Неоклассическая модель потребительского поведения___________________________________________________________

– количество социальных групп

– функции полезности этих групп

– доходы групп,

Утверждение 3. Пусть

Тогда

где – индекс цены с точки зрения группы


Интегрируемость и распределение доходов___________________________________________________________

Утверждение 4. Если где

то существует такая что


Функция общественного благосостояния Бергсона


Связь функции благосостояния Бергсона с индексом продукта___________________________________________________________

Утверждение 5. Пусть

где

Тогда индекс продукта не меньше, чем оптимальное значение функционала в задаче

(#)

Если - решение (#), то


Нарушение условий интегрируемости и социальная структура общества ________________________________________________________


Литература интегрируемости и социальная структура общества ___________________________________________________________________________________________________________________

  • Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data // International economic review, 1967, № 7, p. 67-77.

  • Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior // The review of economic studies, 1983, v.L(1), № 160 (1), p.99-100.

  • Шананин А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса. // Мат. моделирование, № 9, 1993, с.3-16.

  • Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis // Dissertation № 95-32, 1995, University of Limburg, Maastricht, the Netherlands.

  • Levin V.L. Reduced cost function and their applications // J. of Math. Econ., 1997, v.28.

  • Петров А.А., Шананин А.А. Об условиях существования агрегированных функций спроса. М.:Докл. АН, 1997, Т. 356, \No2,с.170-172

  • Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод // Мат. моделирование, № 4, 1998, с.105-116.


Литература интегрируемости и социальная структура общества ________________________________________________________

  • Шананин А.А. Агрегирование конечных продуктов и проблема интегрируемости функций спроса.// М.: ВЦ АН СССР, 1986, 66 с.

  • Петров А.А., Шананин А.А. Условия интегрируемости, распределение доходов и социальная структура общества. // Математическое моделирование, 1994, т.6, №8, с. 105-125.

  • Шананин А.А. Об агрегации функций спроса. // Экономика и математические методы, 1986, т. 25, №6, с.1095-1105.

  • Тарасов С.П.,Шананин А.А. О гладкости функции полезности в теореме Африата - Вериана. // Докл. АН, 2003, т. 388, №1, с.19-22.

  • Вратенков С.Д., Шананин А.А. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов. // М.: ВЦ АН СССР, 1991, 62 с.

  • Шананин А.А. Проблема интегрируемости и обобщенный непараметрический метод анализа потребительского спроса. // Труды МФТИ, 2009, т.1, №4, с.84-98.


Литература интегрируемости и социальная структура общества ________________________________________________________

  • Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Усанов Д.А., Шананин А.А. Технологии анализа рынков на основе обобщенного непараметрического метода. // М.: ВЦ РАН, 2010, 67 с.

  • Кондраков И.А. Шананин А.А. Идемпотентные аналоги теорем о неотрицательных матрицах и их приложения к анализу экономической информации // Журнал вычислительной математики и математической физики 2011, том 51, № 2, с. 188–205.

  • Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Обобщенный непараметрический метод. Применение к анализу товарных рынков. // Труды МФТИ, 2010, т.2, №3, c.32-45.

  • Кондраков И.А. Программный комплекс анализа торговой статистики на основе обобщенного непараметрического метода "Индекс" // Системы управления и информационные технологии, 1.1(43), 2011, с. 198-203.

  • Кондраков И.А.Поспелова Л.Я. Шананин А.А. Программа исследования и сегментации потребительских рынков. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008615547. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19 ноября 2008 г. Москва, реестр программ для ЭВМ, 2008, 50 с.


Спасибо за внимание! интегрируемости и социальная структура общества ________________________________________________________


ad