第 3 章 Wigner 分布

1. 第3章 Wigner 分布 • 3.1 Wigner分布的定义 • 3.2 WVD的性质 • 3.3 常用信号的WVD • 3.4 Wigner分布的实现 • 3.5 Wigner分布中交叉项的行为 • 3.6 平滑Wigner分布

2. 3.1 Wigner分布的定义 • 时－频分布分类 • 线性形式的时－频分布： STFT、Gabor变换 及小波变换。 • 双线性形式时－频分布: • 是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘 • 的形式出现两次。又称非线性时－频分布。 Wigner分布 • 及Cohen类分布。

3. 联合Wigner分布定义 令信号　 ， 的傅立叶变换分别是　　 ，　　 ，那 么　 ，　的联合Wigner分布定义为： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3.1.1） 信号 的自Wigner分布定义为： （3.1.2） Wigner分布又称Wigner－Ville分布，简称为WVD。 若令 ，则 ，代入（3.1.1）有 （3.1.3）

4. 令 ， 则式（3.1.1）可变为： • 令 ，则上式变为 • （3.1.4） • 对自WVD，有 • （3.1.5） • 显然，WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。

5. 若令 • 则 • （3.1.6） • 显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t。但此 • 处的 并不是我们以前定义过的相关函数。在时－频分 • 析中，我们称 为瞬时自相关。

6. 3．2WVD的性质 • 的奇、偶、虚、实性 • 不论 是实信号还是复值信号，其自WVD都是t和 的实函数，即 （3.2.1） • 若为 实信号，则 不但是t、 的实函数，还是 的偶函数，即 （3.2.2） • 对 ， 的互WVD， 不一定是实函数，但具有如下性质： (3.2.3)

7. WVD的能量分布性质 • 时间边缘（timemarginal）性质令（3．1．1）式两边对 积分，有 (3.2.4) 该式表明，信号x(t)的WVD 沿频率轴的积分等于该信号在时刻 的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。

8. 频率边缘性质　 • 同理，令（3.1.5）式两边同时对积分，有 • (3.2.5) • 即WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。

9. (3.2.6) • (3.2.7) • (3.2.8)即， 在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而 在整个平面 上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知， 在平面上某一点的值并不能反映信号的能量，这是因为 有可能取负值。

10. 由WVD重建信号 • 由（3.1.1）式，我们有 • 令 这一特定时刻，有 • 于是 • （3.2.9） • 若 含有常数的相位因子，如 ，由于 • 因此由WVD恢复出的 将不会有此相位因子。

11. WVD的运算性质 • 移位——WVD的移不变性 • 令　　 • 则 　　　　　　　　　　 （3.2.10） • 调制——频率调制不变性 • 　 令　 • 　 则 　　　　　　　　　 （3.2.11） • 移位加调制 • 　令　　 • 则 　　　　　　　 • （3.2.12）

12. 时间尺度 • 令 （ 为大于零的常数） • 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 • （3.2.13） • 信号的相乘 • 令　　　 • 则 • (2.3.14)

13. 即 两个信号积的自WVD等于这两个信号各自WVD在频率 • 轴上的卷积。 • 这是WVD的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短 • 时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。 • 信号的滤波 • 令　　 　 　 • 则　　　　　　　 　　　　　　 • （3.2.15）

14. 信号的相加 • 令　　 　 ， 则 • （3.2.16） • 即 两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和 • 式中 是 和 的互WVD，称之为“交叉项”， • 它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。 • 进一步，若令 ，

15. 则 • 后两项也是交叉项干扰。一般，若会有N个分量，那么这些分量之间共产生 个互项的干扰。

16. WVD的时限与带限性质 • 若在 和 时， ，即 是时限的，则对一切 ，有 • 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 （3.2.18） • 由上述结论，若 ， 均是因果信号，及当 时 ， 那么 • 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 （3.2.19） • 若当 和 时， ，即 是带限的，则对一切的t ，有 • （3.2.20）

17. 解析信号的自WVD • 令 是 的Hilbert变换，则 • 是 的解析信号。由Hilbert变换的性质可知： • （3.2.21） • 由WVD的带限性质可知，当 时， ，并有　　　　　　 • 　　　　　 （3.2.22） • 将式（3.2.21）代入得： • 　　　　　　　　 　　　　　 （3.2.23）

18. 上式积分号中相当于乘了一个从 至 的矩形窗。由 • 运算性质5，可得信号x(t)和其解析信号z(t) 的WVD之间的 • 关系，即 • （3.2.24）

19. 瞬时频率与群延迟 • 设信号 可写成解析形式，即 ，其WVD • 为 ，则 的瞬时频率和WVD有如下关系： • （3.2.25） • 群延迟和WVD的关系 ： • （3.2.26）

20. WVD的Parseval 关系 令 和 的WVD分别是 和 ，则 • 该式又称为Moyal’s 公式。

21. WVD的缺点 • 两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和； • 由于WVD是信号能量随时间－频率的分布，因此，理论上讲， 应始终为正值，但实际上并非如此。 因为 是 的傅立叶变 换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证 非负。

22. ３.３常用信号的WVD • 几种典型信号的WVD • 例3.3.1、令 • 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3.3.1） • 求 。 • 解：确定对 的积分限，由 • 得 或 • 所以 • （3.3.2）

23. 图3.3.1　例3.3.1的WVD 在时间轴上只在的范围 内有值，在频率轴上是的函数。最大值出现在 处，最大值

24. 例3.3.2　令 ，求 。 • 解：由定义 • 即　 • 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 （3.3.3） • 　 本例的 为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看 • 作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间 无关。对任 • 意的时间 ， 都是位于 处的 函数。如图3.3.2所 • 示。

25. 图3.3.2　例3.3.2的WVD

26. 例3.3.3　 令 是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的，即 • 式中 ， ， 。 • 为某一基本频率。图3.3.3 • 是该信号的WVD。由该图可 • 清楚地看出WVD的时－频定 • 位功能。 • 注意，三段信号时频分布之间 • 有交叉项存在。 图3.3.3　例3.3.3的WVD

27. 例3.3.4、　令 ，求 。 • 　　解：　因为 ，由上例结果及WVD的运 • 算性质6，有 • （3.3.4） • 　 的谱线包含两个分量，它们分别位于 处，因此 • 可看作两个复指数 的和。但是 的WVD除了在 • 处各有一个不随时间变化的谱线外，在 处还引入了随时间作 • 余弦变化的交叉项，且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如 • 图3.3.4所示。图中点 处在频率轴的中点。

28. 图3.3.4　例3.3.4的WVD

29. 例3.3.5 令　 • （3.3.5） • 可求出其WVD为　　 • （3.3.6） • 这是一个二维的高斯函数， • 且 是恒正的， • 如图3.3.5所示。 图3.3.5　例3.3.5的WVD,（a）高斯信号，（b）高斯信号的WVD

30. 如果令 • ， • 则x(t)的谱图 • 它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到 时，椭圆 • 面积 。这一结果说明，WVD比STFT有着更好的时－频分 • 辨率。

31. 例3.3.6 令　　　　　　　　　　　　　　　　（3.3.10） • 的WVD是 图3.3.6　例3.3.6的WVD，（a）Chirp信号，（b）Chirp 信号的WVD

32. 例3.3.7 令 为一多普勒信号，图3.3.7给出了该信号的 • 时域波形、频谱及时－频分布。由该图可看出信号的能量随时 • 间和频率的分布。 • 图3.3.6　例3.3.6的WVD

33. 3.4 Wigner 分布的实现 • 若令对信号 的抽样间隔为 ，即 ，并令 ， • 则 ，这样， 中对 的积分变成对k的求和，即 • （3.4.1） • 若将 归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率 ，则 • 上式变为： • （3.4.2）

34. 将 变成 ，则 的频谱 将变成周期为 的频 • 谱 ，且 对应的抽样频率为 。同样， 的WVD • 也变成周期的 ，且周期为 ，即： • （3.4.3） • 若 的最高频率为 ，那么，抽样频率至少满足 • 如若按 对 抽样，那么用抽样后的 做WVD， • 由于其周期变为 ，因此在WVD中必将产生严重的混迭。解 • 决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求 至少要满足

35. 解决混迭问题的较为简便的方法有两个： • 采用解析信号 由解析信号的性质可知，将 作Hilbert变换得到 ，按构成 解析信号 。 只包含的正频率部分。这样，既 可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原 有抽样频率 的情况下，避免了频域的混迭； • 对 作插值 具体办法是：若想将抽样频率 提高一倍，则可将 每两点 之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从 而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值。

36. 图3.4.1　　 的解释 离散WVD • 令 （3.4.5） • k是信号x的时间序号，n代表时移 ，并假定的长度为N， • 即 ，现分析一下 的取值情况。

37. 当时N=6时，不难写出： • 假定将 都扩充成N点序列，即在其后补零，那么， • （3.4.2）式可写成 • （3.4.7）

38. 以上方法有明显的缺点，即在不同的n下，计算时所利用的以上方法有明显的缺点，即在不同的n下，计算时所利用的 • 的点数有着明显的不同。此外，由于WVD是二次函数 • 的分布，有交叉项存在。针对这两个原因，人们自然提出了 • “加窗WVD”，即“伪WVD（Pseudo WVD，PWVD）”。

39. 现将 离散化，可将 分成 等份，即 ，则上式变 • 为： • （3.4.10） • 式中 ，即 • （3.4.11） • 即 以L为周期。这样，若按（3.4.10）式计算2L点 • FFT，则求出 的将有一半的冗余。通常，我们假 • 定： （3.4.12） • 是（3.4.10）可变成

40. 3.5Wigner分布中交叉项的的行为 • 交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影 • 响了对信号时－频行为的识别。目前人们已提到了十多种具有 • 双线性形式的时－频分布，它们被统称为“Cohen类”。这些分 • 布提出的一个重要目的是削弱Wigner分布中的交叉项，并改进 • 自项的分辨率。

41. 例3.5.1 设信号由两个“原子”信号复合而成。 • 所谓“原子信号”，是指： 这一类信号，其中 • 为时域有限长的窗函数，在构成“原子”时，常用的是高斯 • 窗。因此，“原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。 • 设 、 是两个“原子”，信号 。下 • 面分两种情况来考虑它们的WVD： • 设 和 具有相同的频率，但具有不同的时间中心 即

42. 图3.5.1a 两个时－频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的频率) 显然，在 及 处是两个“原子”的自WVD，而二 者之间的是交叉项。该交叉项位于两个自项的中间，频率与 自项相同，其位置大致是

43. 图3.5.1b 两个时－频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的时间中心) • 和 具有相同的时间中心，但有不同的频率 令　 　　　　　　　　 其时－频分布如图3.5.1b所示。 显然，两个自项均位于同一时 刻 处，频率分别是 0.1和0.4；两个自项中间的是 交叉项，其位置大致是在

44. 例3.5.2 设 也是由两个原子复和而成。它们的位置分 • 别位于 ， 处，其时－频分 • 布如图3.5.2a所示。 • 显然，两个自项的位置 • 也分别在 ， • 处。交叉项在两个自项 • 的中心连线上，位值大 • 致在 • 处。 图3.5.2 （a）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD(两个时－频“原子”都为复信号时)

45. 如果对该信号的实部求WVD，其WVD如图3.5.2b所示。如果对该信号的实部求WVD，其WVD如图3.5.2b所示。 • 由于有两个原子复合而成的是解析信号，故无负频率存在，交 • 叉项只有一项（见图3.5.2a）。仅取它的实部，这时就有两个 • 负频率分量存在。 • 该信号的WVD共有 • 四个自项，分别位于 • ， 处。 图3.5.2 （b）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD——其实部的WVD

46. 例3.5.2 令 由四个“原子”复合而成， • 即 ， • 这四个“原子” 的位值分别是 ， ， • ， 。该信号的WVD如图3.5.3a所示。 • 如果我们在对该信号求WVD时用伪WVD，即对 • 作加窗处理，那么，所得WVD如图3.5.3b • 所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由 • 六个变成了两个 。

47. 图3.5.3　四个“原子”迭加后的WVD（a）没加窗的WVD，图3.5.3　四个“原子”迭加后的WVD（a）没加窗的WVD，

48. 图3.5.3　四个“原子”迭加后的WVD （b）加窗后的伪WVD

49. 例3.5.4　　令 • 　　　　　 （3.5.1） • 显然， 由两个频率调制高斯信号所组成，中心分别在 • 和 处。可求出 • （3.5.2） • 上式包含两项，第一项是的WVD的自项，中心也分别位于 • 和 处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项。

50. 图3.5.4　　两个高斯调制信号的WVD